CHAPITRE V

LA SURFACE ADJOINTE d'o. BONNET.

Définition des surfaces miniina associées à une surface donnée. — La surface adjointe d'O. Bonnet. — Quand on connaît une surface minima on peut obtenir la surface adjointe par des différentiations et des éliminations, sans aucun signe de quadrature; mais il importe de connaître des formules de M. Schwarz qui exigent, au contraire, l'emploi de deux quadratures.

Si deux surfaces sont applicables l'une sur l'autre et si les plans tangents aux points correspondants sont parallèles, elles sont nécessairement des surfaces minima associées. — Examen d'un problème posé par Mathet: Deux surfaces peuvent-elles se correspondre point par point avec similitude des éléments infiniment petits, les éléments correspondants faisant un angle constant.

Propriétés relatives aux lignes de courbure et aux lignes asymptotiques des surfaces associées. — Détermination de toutes les surfaces minima applicables sur une surface minima donnée, sur une surface de révolution, ou sur une surface spirale.

210. Considérons une surface minima, définie par les formules

générales de Monge

; x = A(<) + Ai(t), (■) jk = B(0 + B1(t),

où les fonctions A, B, C; A,, B,, C| satisfont respectivement aux

deux conditions

l d\* ■+- tL'B2 -+- dC9- = 0,

( dk\ ^-dB\^-dO\ '= o.

L'élément linéaire de cette surface sera donné par la formule ds°~ =i(dk d\i ■+- dB dB{ -+- dC dCt ) ;

par conséquent, il aura la même expression pour toutes les surfaces minima définies par les formules

/ ;r = «'«A(«) + e-i'aA1(T), (3) J y= e'"aB(*)-|-e-''aB1(T),

( z = e'«C(0 + e-'aCi(i),

où a désigne une constante quelconque. Toutes ces surfaces sont évidemment applicables les unes sur les autres, et les points

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correspondants sur deux quelconques d'entre elles sont ceux qui sont déterminés par les mêmes valeurs de t et de t. On reconnaîtra aisément qu'en ces poinls les plans tangents aux surfaces sont parallèles.

Nous dirons que les équations (3) définissent une famille de surfaces associées. Pour a = o, on retrouve la surface définie par les équations (i); poura = 7C, on obtient la symétrique de cette surface par rapport à l'origine des coordonnées.

Parmi les surfaces associées à une surface donnée, on doit distinguer particulièrement celle qui correspond à la valeur - de a. Elle est définie par les formules

(4) !ro = ^[B(0-Bi(T)]:

I z0 = »[C(0 — Ci(x)].

Nous lui donnerons le nom de surface adjointe à la proposée. Elle a élé découverte par O. Bonnet (*). Ses relations avec la surface dont elle dérive jouent un rôle essentiel dans la théorie des surfaces minima.

Si, dans les formules (i), on remplace A(i) par A(t) — im, A,(-:) par A, (t) -f- im, m désignant une constante, la surface primitive ne sera pas changée, mais la valeur de xQ sera augmentée de im. Comme on peut opérer des changements analogues poury0, s0, on voit que la surface adjointe peut être déplacée parallèlement à elle-même et subir une translation quelconque. Si, d'ailleurs, on échange les termes relatifs à l et à t, cette surface sera remplacée par sa symétrique relativement à l'origine des coordonnées. Ainsi, la surface adjointe à une surface donnée n'est pas complètement définie de position.

Quand on emploie les formules de Weierslrass

/ C • "2 rr , s 7 C ! — U\ j> . .

\ x = I $(u)du-+- I cTi( a, ) dui,

(5) / jk= i ri + M2 §{u)du — i fî~hU*$i(ul)dul, F z = j u § (u) du -+■ I U\ 3\{ii\) dui,

(l) O. Bonnet, Note sur la théorie générale des surfaces ( Comptes rendus, t. XXXVII, i853, p. 529-532).