I.ES FORMULES DE MONGE ET LEUR INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE

Recherches de Lie. — Génération de toute surface minima par la translation de deux courbes minima. — Étude de ce mode de génération, détermination nouvelle des surfaces algébriques et des surfaces réelles. — Surfaces minima doubles. — Détermination des surfaces doubles réelles. — Courbes minima qui sont identiques à leurs conjuguées. — Les surfaces minima clans le premier système de coordonnées tangentielles étudié au Livre II, Chap. VII. — Propriété géométrique qui distingue les surfaces doubles des surfaces simples. — Surfaces découvertes par Môbius et dans lesquelles on peut passer d'une face à l'autre par un chemin continu.

218. Les Chapitres précédents contiennent l'exposition d'une série de résultats qui reposent sur la forme particulière donnée aux formules de Monge par Weierstrass. Dans ses travaux plus récents ( ' ), Lie est revenu aux équations de Monge ; il en a donné l'interprétation géométrique la plus élégante et il a mis en évidence tout le parti que l'on peut en tirer dans l'étude et dans la théorie algébrique des surfaces minima. Nous allons développer, dans ce Chapitre, les principes de la méthode an Lie.

Reprenons les formules de Monge

( z = C(*)'-r- Ci(-û),

où les fonctions A, . .., A(, ... satisfont aux conditions

dk* -+- rfB2 -+- <r/C2 = o,

dk\ -+- dB\ -+- clC\ = o.

(*) S. Lie, Beitràge zur Théorie der Minimal flâchen : I. Projectivische Untersacliungen iiber algebraische Minimalflàchen (Mathematische A/inalen, t. XIV, 1878, p. 33i). — IL Metrische Untersuchungen iiber algebraische Minimalflàchen, même Recueil (t. XV, 1879, p. 465). Les recherches de Lie avaient déjà été publiées en partie dans les Archiv for Mathematik og Naturvidenskab (t. II. 1877, p. 187 et 338; t. III, p. 166, 224 et 34o).

3g8 LIVRE III. — CIIAP. VI.

Elles nous montrent immédiatement que les surfaces minima sont des cas particuliers des surfaces de translation; seulement les courbes dont la translation engendre la surface sont ici imaginaires et leurs tangentes vont rencontrer le cercle de l'infini. Nous obtenons ainsi la génération suivante des surfaces minima, qui sert de base aux travaux de Lie :

La surface minima la plus générale peut être engendrée de deux manières différentes par la translation d'une courbe imaginaire dont les tangentes vont rencontrer le cercle de V infini, le déplacement étant complètement défini par la condition qu'un point déterminé de la courbe décrive une autre courbe quelconque de même définition que la première.

219. Cette interprétation évidente des formules de Monge offre l'avantage de montrer immédiatement que la théorie des surfaces minima dérive de celle des courbes dont les tangentes vont rencontrer le cercle de l'infini et auxquelles nous donnerons, avec Lie, le nom de courbes minima. En se plaçant à ce point de vue, on peut retrouver facilement les différents systèmes de formules qui ne contiennent aucun signe de quadrature et déterminent les points d'une surface minima.

En effet, puisque les tangentes d'une courbe minima rencontrent le cercle de l'infini, la développable qui est l'enveloppe des plans oscillateurs de cette courbe devra contenir le cercle de l'infini.

Si l'on prend l'équation d'un plan tangent à cette développable sous la forme

x -+- aj-H i y/c -+- a2 z -+-/(a) = o,

le point correspondant de la courbe minima sera déterminé par les formules suivantes :

qui conduiraient aux équations de Legendre (n° 187).

Mais, le cercle de l'infini étant une courbe unicursale, on peut

prendre l'équation du plan tangent à la développable sous la forme rationnelle

(4) (1 — u2)x -+- 1(1 -4- u-)y-\- iuz -t- 2/(11) = o,

qui donne, pour un point de l'arête de rebroussement, les expressions suivantes des coordonnées :

' y = i a / ( m) — *'«/'(») H- if{ u),

Si l'on associe ce système au système analogue où l'on changera c'en — e, on retrouvera les formules de Weierstrass. Les deux courbes minima qui interviennent dans ces formules sont les arêtes de rebroussement des deux développables, enveloppes des plans

( (1 — u2 )x -+- i(i -+- uP-)y -t- 111 z -+- 2/(11) = o,

[ (1 — u\)x — 1(1 -t- u\ )y -t- 2 iiiz -f- 2/1 ( «1) = o.

220. Revenons aux équations qui déterminent la surface minima sous leur forme la plus générale et au mode de génération employé par Lie. Si l'on veut éviter la considération d'une translation imaginaire, il suffira d'appliquer le théorème donné au n° 82; ce qui conduit à la proposition suivante :

Soient les deux courbes minima (T), (I\), définies respectivement par les équations

a? = 2A(/), o?=2A1(t), 7 = 2B(0, jk = 2B1(t), z = iG(t), z — aCi(x).

Le milieu de la droite qui Joint un point quelconque de Vune à un point quelconque de V autre décrit la surface minima la plus générale définie par les formules (i).

La surface demeurera la même si l'on substitue à (T), (T,) les

deux courbes suivantes :

x = ik{t) -+- h, x = iAi(-) — h.

y = ïB{t) ■+- k, 7 = 2Bi(t)-^ *=*C(0-f-*, z = 2Gl(x)-l,

où h, A", l désignent trois constantes quelconques, c'est-à-dire si l'on imprime à la courbe (L) une translation déterminée quelconque, à la condition d'imprimer à (T,) la translation égale et contraire.

Soit MM, {fig- 12) une droite dont les extrémités s'appuient sur les courbes (T), (T, ). Si le point M reste fixe, le milieu p de MM, décrira une courbe minima de la surface, liomo thé tique à (T,), le

rapport de similitude étant -• Si, au contraire, le point M, reste

fixe, le point p décrira une autre courbe minima homothétique à (T). Cette simple remarque, qui a déjà été présentée d'une ma-

Fig. 12.

nière générale au n° 82, suffit à montrer que, si l'on a obtenu deux générations différentes de la surface au moyen de deux courbes (T), (T,) et de deux autres courbes minima (T'), (T\), ces dernières ne sont autres que les précédentes déplacées parallèlement à elles-mêmes. Soient, en effet, MM,, M'M, deux droites appartenant aux deux modes différents et ayant leur milieu en un même point/» de la surface. Si le point/? décrit une des courbes minima de la surface, l'un des points M, M, et l'un des points M', M', demeureront fixes. Supposons que ce soient les points M et M'. La droite M, M, demeurera constamment égale et parallèle à M'' M. Par conséquent, la courbe (f,) se déduira de (T,) par une translation constante et égale à M' M. Si le point y? décrit maintenant l'autre courbe minima de la surface, M, et M', demeureront fixes et la ligne M'M demeurera constante en grandeur et en direction.

LES FORMULES DE MONGE. fol

On voit donc que, si l'on a obtenu un mode de génération de la surface, on obtiendra tous les autres en imprimant aux deux courbes (T), (T,) deux translations égales et opposées.

Le résultat précédent joue un rôle essentiel dans les développements qui vont suivre. Il permet en particulier de résoudre la question suivante :

Considérons un mode de génération de la surface, obtenu au moyen de deux courbes (T), (r,). Est-il possible que les différents points de la surface soient donnés de plusieurs manières par cette génération, c'est-à-dire soient les milieux de deux ou plusieurs segments appuyant leurs extrémités sur ces deux courbes?

S'il en est ainsi, soient MM,, M' M', {fig- 12) deux droites donnant le même point p de la surface. La trajectoire de l'un des points M', M', du point M; par exemple, se déduit de la trajectoire (T) du point M par une translation constante MM'. Cela posé, si le point M' appartient à la courbe (T,), celte courbe devra dériver de (T) par une simple translation. Ecartons ce cas intéressant qui sera soumis plus loin à une étude approfondie. Si, au contraire, le point M' appartient à la courbe (T), le point M, appartiendra à (T,) et les deux courbes (T), (T,) pourront être soumises à deux translations égales et contraires MM', M1M'1, sans cesser de coïncider avec elles-mêmes. Elles seront deux courbes périodiques et, par conséquent, transcendantes, admettant la même période ( ■ ).

Réciproquement, toutes les fois que les courbes seront périodiques et admettront la même période, chaque point de la surface sera le milieu d'une infinité de segments. Car soient M0, N0 deux points pris respectivement sur les deux courbes : en appliquant dans les deux sens la translation à laquelle on peut soumettre les courbes, on en déduira deux séries de points en ligne droite {fig- i3)

..., M 2, M l5 M0, M,, M2, ..., ..., N 2, N„ N0, Nl5 N„ ....

Les segments M0]N0, M,N,, M 1N1, ... auront évidemment le

(') Nous donnerons ici, et dans la suite, le nom de périodiques aux courbes ou aux surfaces, nécessairement transcendantes, qui ne cessent pas de coïncider avec elles-mêmes quand on leur imprime une translation déterminée.

même milieu et donneront le même point de la surface. La considération des cordes M0N, , M0N 2 montre d'ailleurs que la surface minima sera périodique comme les courbes, et la translation/;/), à laquelle on peut la soumettre sera la moitié de celle qui convient aux deux courbes.

En dehors du cas que nous venons de signaler et de celui où la courbe (F,) n'est autre que la courbe (T) déplacée parallèlement à elle-même, les points de la surface qui sont les milieux de deux segments différents ne pourront s'étendre sur une nappe et formeront tout au plus une ou plusieurs courbes qui seront des lignes multiples et, en général, des lignes doubles de la surface.

221. Après avoir étudié d'une manière générale la construction géométrique qui sert de base aux travaux de Lie, proposons-nous d'obtenir toutes les surfaces algébriques et toutes les surfaces réelles. La surface sera évidemment algébrique si les deux courbes (K.), (K.,), dont la translation peut engendrer la surface, sont ellesmêmes algébriques. Réciproquement, si la surface est algébrique, ces deux courbes doivent l'être aussi. Soient, en effet, (À), (k1) deux positions de l'une d'elles. Il existe une translation qui amène (A-) en (A-'). Appliquée à la surface, cette translation l'amène dans une position nouvelle où elle contiendra encore (k1). La courbe (k1), étant l'intersection complète, ou une partie de l'intersection, de deux surfaces algébriques, sera nécessairement algébrique. Ainsi :

Pour obtenir toutes les surfaces algébriques, il faudra prendre pour les courbes (T), (T,), ou pour les courbes (K), (K,) dont la translation engendre la surface, deux lignes algébriques.

222. Proposons-nous maintenant d'obtenir toutes Jes surfaces réelles; désignons par (M) une telle surface et soit p un quelconque de ses points réels; soient

les équations qui définissent l'une des deux courbes minima de la surface passant par le point p. La courbe conjuguée, qui est aussi minima, sera définie par les équations

ar = A'(T), J'=B'(t), z = G'(t),

où A', B', C désignent les fonctions conjuguées de A, B, C. D'ailleurs, elle se trouve évidemment sur la surface, passe par le point p et y admet une tangente qui est imaginaire conjuguée de la tangente à la première courbe. Elle est donc la seconde courbe minima de la surface passant par le point p. Ce résultat étant admis, désignons par a?0, y0, z0 les coordonnées du point/?; les équations

déterminent une surface minima qui contient les deux courbes précédentes et coïncide, par conséquent, avec la surface donnée

(M). Si l'on augmente A, A' de ^, B, B' de £>, C, C de ^-, on

peut les écrire sous la forme plus simple

x = A(0 + A'(t), 7 = B(0 + B'(x), * = C(0-hC'(t),

A, A': B, B'; C, C désignant encore des fonctions imaginaires conjuguées. Réciproquement, il est évident que les formules précédentes donneront toujours une surface réelle; car il suffit, pour obtenir des points réels, d'y remplacer t et ~ par des imaginaires conjuguées. Ainsi :

Pour obtenir toutes les surfaces réelles, on associera à une courbe minima quelconque la courbe imaginaire conjuguée, qui est aussi minima. Le milieu de la droite qui joint un point

quelconque de la première courbe au point imaginaire conjugué, nécessairement situé sur la deuxième courbe, décrira une nappe réelle de la surface minima réelle la plus générale.

223. Les raisonnements précédents laissent toutefois de côlé une question dont l'examen offre quelque intérêt. Pour que le milieu de la droite qui joint deux points soit réel, il n'est pas nécessaire que les deux points soient imaginaires conjugués. Ne serait-il pas possible d'obtenir des nappes réelles en joignant les points de la première courbe à des points de la seconde qui ne seraient pas imaginaires conjugués des premiers? Les résultats obtenus au n" 220 donnent la réponse à cette question.

En effet, soient M un point pris sur la première courbe (T), N0 un point pris sur la conjuguée (V) (Jig. 1 4)» et soient M0, N les

Fier. iL

points imaginaires conjugués de M, N0, le premier se trouvant sur la seconde courbe et le second sur la première. Si le milieu de la droite MN0 est réel, il coïncidera avec le milieu de NM0, et, par conséquent, chaque point de la nappe réelle étant obtenu de deux manières différentes, il faudra, d'après les résultats du n° 220, que l'une des droites MM0, MN soit de grandeur et de direction constantes. Si cette propriété appartient à la droite MM0, la courbe (f) se déduira de (T) par une translation déterminée; nous avons déjà réservé (n° 220) celte hypothèse pour une discussion spéciale, et nous pouvons admettre ici que la droite dont la grandeur et Ja direction sont invariables est le segment MN. Comme la figure M N N0 M0 est un parallélogramme, la droite MN est égale et parallèle à sa conjuguée M0N0 et elle est, par suite, de grandeur et de direction réelles. La courbe (T) sera donc une courbe périodique admettant une période réelle MN et il en sera de même de la courbe conjuguée (!'). La surface minima sera

LES FORMULES DE MONGE- i\o5

aussi périodique et pourra être soumise à la translation réelle

MN

— — sans cesser (Je coïncider avec elle-même. Quant au milieu p

de MN0, il se déduira du milieu/?' de MM0 par la même translation. Par suite, en joignant seulement les points imaginaires conjugués, M, M„ par exemple, sur les deux courbes, on n'aura pas toute la partie réelle de la surface, mais on obtiendra du moins une portion

de la surface dont on peut faire dériver toutes les autres en la sou-

. , , . MN mettant a la translation

224. Il nous reste à examiner l'hypothèse particulière, réservée dans les raisonnements qui précèdent, où les deux courbes (T), (T, ) peuvent se ramener l'une à l'autre par une simple translation. Cette élude nous conduira à la notion importante et nouvelle des surfaces doubles, qui est due tout entière à Lie.

Nous avons vu que l'on peut, dans la génération de la surface, substituer aux deux courbes (T), (T, ) deux autres courbes (T'), (T'J qui s'en déduisent respectivement par deux translations égales et opposées. D'après cela, si nous désignons par (d) la translation qui, dans le cas actuel, amène (T) à coïncider avec (T,), nous

pourrons imprimer à (T) la translation ( — ) et à (F,) la translation — ( — ) : nous obtiendrons ainsi une seule et même courbe (D)

qui remplacera à la fois (Y) et (T,), en sorte que la surface proposée deviendra le lieu des milieux de toutes les cordes de cette courbe minima (D).

Réciproquement, si une surface admet la génération précédente au moyen de la courbe (D), il résulte de la proposition démontrée au n° 220 que l'on obtiendra tous les systèmes différents de courbes (JT), (T,) au mojen desquels on peut engendrer la surface en imprimant à la courbe (D) deux translations égales et opposées. Par suite, les courbes (T), (Y { ) relatives à tout système de génération de la surface pourront toujours se déduire l'une de l'autre par une simple translation.

Revenons à la génération de la surface au moyen de la courbe unique (D); elle permet de reconnaître que les deux courbes minima dont la translation engendre la surface sont identiques l'une à l'autre. Si l'on considère, en effet, une corde MM, de la

courbe (D), les deux courbes minima de la surface passant par le milieu de celte corde sont les homotliétiques de (-D), avec le

même rapport de similitude -> par rapport aux points M, M,.

Elles sont donc égales et peuvent être amenées à coïncider par

une translation éiiale à - MM,, imprimée à l'une d'elles. Nous

pouvons ajouter que les deux séries de courbes minima tracées sur la surface ne peuvent plus être distinguées l'une de l'autre et forment une seule famille, composée de toutes les courbes que Von obtient en prenant les homotliétiques de la courbe (Y)) par rapport à chacun de ses points. Ces courbes sont évidemment tangentes à la courbe (D), chacune au centre d'homotbétie qui lui correspond, et elles admettent cette courbe pour enveloppe. Mais, comme il en passe deux par chaque point de la surface, qui est ainsi engendrée deux fois, Lie a donné le nom de surfaces doubles à toutes les surfaces minima que nous étudions ici et qu'on peut caractériser, comme on le voit, en disant qu'elles sont le lieu des milieux des cordes d'une courbe minima (D). Si la courbe (D) est définie par les équations

x = iX{t), jk = 2B(«), * = aC(0>

la surface double correspondante le sera par le système

x = A(*)-kA(T),

.t = b(o'-hB(t),

où < et t entrent symétriquement, en sorte que le même point de la surface correspond à deux systèmes différents de valeurs de t et de t se déduisant l'un de l'autre par l'échange de ces deux variables.

225. La définition que nous avons adoptée permet de reconnaître qu'il existe des surfaces doubles réelles. Mais, pour faciliter cette recherche, nous commencerons par examiner s'il existe des surfaces doubles qui soient le lieu des milieux des cordes de deux courbes différentes (D), (D').

Nous pouvons appliquer ici les résultats du n° 220 en considérant (T) et (rf) comme confondues avec (D), (T') et (T',) comme

confondues avec (D'). Il faudra que (D) puisse se déduire de (D') par deux translations égales et opposées et, par conséquent, que (D) soit une courbe périodique. Réciproquement, si la courbe (D) est périodique, soit (d) la translation à laquelle on peut la soumettre sans qu'elle cesse de coïncider avec elle-même. On reconnaîtra aisément qu'en lui imprimant une translation égale seulement à (—)} on obtient une nouvelle courbe (D') qui donne la

même surface que la première.

Un raisonnement analogue montrera que, si un point quelconque de la surface correspond à deux cordes différentes de la courbe (D), cette courbe est nécessairement périodique.

En dehors du cas exceptionnel où (D) est périodique, on peut donc affirmer qu'à chaque surface minima double correspond une seule courbe (D), et que les points de la surface qui sont les milieux de deux cordes ne peuvent former une nappe et se distribuent tout au plus sur certaines lignes, nécessairement multiples, de la surface.

Ce point étant établi, proposons-nous de trouver toutes les surfaces doubles réelles. Soit (D) la courbe au moyen de laquelle on peut engendrer la surface; on reconnaît immédiatement, en changeant i en — z, que la surface peut aussi être engendrée au moyen de la courbe imaginaire conjuguée (D'). Donc :

Pour que la surface minima double soit réelle, il est nécessaire que la courbe (D) coïncide avec sa conjuguée, ou puisse, du moins, s'en déduire par une translation.

Réciproquement, supposons que la condition énoncée soit remplie. Si la courbe coïncide avec sa conjuguée, elle contiendra, en même temps que le point imaginaire M, le point imaginaire conjugué M0, et le milieu de la corde MM0 décrira une nappe réelle.

Si, au contraire, la courbe (D) ne coïncide pas avec sa conjuguée (D'j, mais peut s'en déduire par une translation, la surface double correspondante à la courbe (D) pourra, si elle est réelle, être engendrée aussi au moyen de la courbe (D;), et la remarque faite plus haut nous apprend qu'elle sera nécessairement transcendante et périodique. Nous sommes ainsi conduits au résultat suivant :

4o8 LIVRE III. — CHAP. VI.

Pour obtenir toutes les surfaces doubles réelles non périodiques et, en particulier, toutes les surfaces doubles algébriques, il suffit de déterminer toutes les courbes minima qui sont identiques à leur conjuguée ( ' ).

226. On peut signaler d'abord une solution évidente du problème ainsi posé. Considérons la développable circonscrite à une surface réelle quelconque, transcendante ou algébrique, et au cercle imaginaire de l'infini. Cette développable sera, en général, indécomposable et, comme elle est définie par des équations réelles, son arête de rebroussement sera une courbe minima qui coïncidera avec sa conjuguée et donnera, par conséquent, naissance à une surface double réelle.

Soit

l'équation tangentielle homogène d'une surface réelle quelconque.

(') On peut ajouter les remarques suivantes relatives au cas où la courbe (D) peut être amenée par une translation à coïncider avec sa conjuguée. Si la translation qui amène (D) en coïncidence avec (D') est réelle, la surface minima correspondante le sera aussi. Soient, en effet, a, b, c les quantités réelles qui sont les composantes de la translation. A un point M(x,y, z) de (D) correspond un point N de (D') dont les coordonnées sont

Le point N', imaginaire conjugué de ce point, se trouvera évidemment sur la courbe (D) conjuguée de (D') et il aura pour coordonnées

#<,+ «> jK0-t- b, z,-hc,

ir0, y0, z0 désignant les quantités conjuguées de x, y, z. Il suit de là que le milieu de la droite MN', qui est une corde de (D), sera réel et décrira une nappe réelle de la surface.

Si la translation qui amène (D) sur (D') est imaginaire, la surface ne sera pas (nécessairement réelle. Considérons, par exemple, la courbe (D) définie par les équations

x = i cos t, y = i sin t, z = t + p i,

où p désigne une constante réelle. Cette hélice peut être amenée à coïncider avec sa conjuguée par une translation iz — i j3£ parallèle à l'axe des z. La surface lieu des milieux de ses cordes n'est réelle que si la constante p est nulle.

L'équation d'un plan tangent au cercle de l'infini est

Exprimons que ce plan est aussi tangent à la surface; nous aurons l'équation

(9) F[' — II2, Ï(I+ «2), 2«, l\] = O,

ou plus simplement, en tenant compte de l'homogénéité,

(io) <£ u, il \- u \, — = o,

le symbole <î> désignant une fonction réelle quelconque. La valeur de £ tirée de cette équation sera la fonction f(u) qui figure dans les formules (5). En changeant i en — «', on aura la fonction conjuguée y, (m, ) et la surface minima correspondante sera pleinement déterminée.

Supposons, par exemple, que l'on considère la développable circonscrite à la fois au cercle de l'infini et à la parabole dont l'équation tangentielle est

U2 = WP.

On aura ici

4«/0) = (i— u"-y et, par conséquent,

En substituant ces valeurs dans les formules (18) (n° 188), on aurait les équations qui déterminent la surface. C'est la plus simple des surfaces minima doubles; elle a été découverte par M. L. Henneberg ('). Nous la retrouverons plus loin.

227. On peut se placera un aulre point de vue dans la recherche des surfaces doubles et se demander, par exemple, à quelle condi-

(l) L. Henneberg, Ueber solche Minimalflàchen welche eine vorgeschriebene ebene Curve zur geodàtischen Linie haben. Zurich, 1875.

Ueber diejenige Minimal/lâche, welche die ' NeiVsche Parabel zur geodàtischen Linie hat (Vierteljahrschrift der Zûrcher Naturf. Ges., t. XXI).

Bestimmung der niedrigsten Classenzahl der algebraischen Minimalflàchen (Annali di Matematica, 2e série, t. IX, 1877, p. 54).

tion doivent satisfaire, si la surface est double, les fonctions 3(u)i #"i (ii\) de Weierstrass. Si nous considérons les deux courbes

ï x = — / (i — u-) $(u)du, I x = — / (i — u\ ) §\(ii\) dui,

} y = - / (n- uï)§{u)du, I y = /(! + u\)§i(ui)duly

[ ~ = lu §(u)du, \ z = ! ici 3i(u1)diii,

dont la translation engendre la surface, il faut exprimer que l'une d'elles se déduit de l'autre par une simple translation, c'est-à-dire qu'on peut prendre pour ut une fonction de u permettant de satisfaire aux relations

( i — u2) $(u) du = ( i — u \ ) S"i ( «i ) dui ,

i(\ -+- u'2) § (u) du — — ï(i H- u\ ) ffi(ui) du{,

u$(u)du= iii&i(ul)dui.

En divisant membre à membre, on trouve les deux égalités

qui donnent

Si l'on porte cette valeur de ui dans l'une quelconque des équations précédentes, on obtient la relation

(12) §i(ui)u\ = — u?§(u),

qu'on peut mettre aussi sous la forme

C'est la condition cherchée, et le raisonnement prouve bien qu'elle est suffisante.

Si l'on applique un raisonnement analogue au cas où les deux courbes sont définies par leurs plans oscillateurs

(i — U\)X -— j'(l+ U\)y -H 2UyZ •+■ ifl(ui) = o,

on trouvera, en exprimant que ces deux plans coïncident, les relations

/on I f(ll) /'< M')

(lo) Ui = , : =

Le problème de la recherche des surfaces doubles est ainsi complètement résolu.

228. Si l'on veut que la surface double soit réelle, il faudra que les deux fonctions f elf{ ou 5% éf, soient conjuguées. On est ainsi conduit à une équation fonctionnelle dont la solution est d'ailleurs très facile.

Posons, en effet,

et désignons par 0((«) la fonction conjuguée de 0(w). On devra avoir

Mettons en évidence la partie réelle P(m) et la partie imaginaire c'Q(«) de la fonction 0. Nous aurons

et, par conséquent,

les symboles p et q désignant des fonctions réelles, d'ailleurs quelconques. On déduit de là, pour @(m), l'expression

6(a) = /»(*«)+/>(— ^) -+-iq{u) — iq(— i

ou, plus simplement,

co désignant une fonction imaginaire quelconque p(u) -+- 1 q{u) et o, la fonction conjuguée de <p.

On trouverait de même pour §(u) l'expression analogue

(l5) M2^(M) = Cp(tt)cfl/ij.

En s'appuyant sur les résultats précédents, on peut démontrer que le procédé indiqué au n° 226 donne la courbe minima la plus générale coïncidanl avec sa conjuguée. Prenons, en effet, l'équation du plan oscillateur de cette courbe sous la forme

où l'on a remplacé f(u) par sa valeur tirée de l'équation (i4)- En identifiant l'équation précédente avec celle d'un plan quelconque

Uï + V/ + W.-+ P = o, on trouve

et, par conséquent,

■Pi

Cette équation définit évidemment une surface réelle à laquelle sera circonscrite la développable qui est l'enveloppe des plans oscillateurs de la courbe considérée.

229. Jusqu'ici nous avons employé les formules de Weierslrass, qui sont parfaitement appropriées à l'étude des surfaces réelles. Dans la théorie des surfaces doubles, où il s'agit de comparer les deux courbes minima dont la translation engendre la surface, il sera avantageux de représenter les deux courbes minima de la même manière et de les considérer respectivement comme les enveloppes des deux plans

(1 — «2 )x -+- î{i-\- iC- )y -+- iu z -+- 1 f(u) = o, (1 — u\ )x ■+■ i(i -+- u\ )y -+- iuxz -4- ifi(ui) = o.

LES FORMULES DE MONGE. 4l3

Alors, les deux plans seront parallèles si l'on a uK = u, et les deux courbes seront identiques si l'on a

Les formules qui définissent un point de la surface seront les suivantes ( ' ) :

] y = i — -iL/"(M) — in /'(n) +i/(n)