LA SURFACE ADJOINTE DO. BO.WET. J
limites; dans l'exemple actuel, rien de pareil ne se produit etl'on peut continuer indéfiniment le mouvement de déformation d'une portion quelconque de surface jusqu'à ce que celle-ci revienne, lorsque a a cru de 27c, à sa position primitive. Nous laisserons au lecteur le soin de démontrer que cet exemple est le seul dans lequel une surface puisse se déformer de telle manière que ses différents points décrivent des coniques, et nous insisterons sur les propriétés géométriques suivantes, qui ont été signalées par O. Bonnet.
Nous avons vu que, si l'on considère la surface minima correspondante à un système de valeurs de $(u), §\ («i) et si l'on pose
fl"j -h n'i = I \/'a $(u) du, Xi — ij\.= f \i §i{ui) duu
les lignes de courbure sont définies par les équations a-j^const. jKi=const.
et les lignes asympto tiques par les équations
.ri-t-jKi= const., xx — yx = const.
Pour passer de la surface précédente à toute autre surface associée, il faudra remplacer^ m), §k (ui) par $( a) elrx, §\ (u{)e~lX et les nouvelles valeurs x\, y\ àexK,yK seront définies par les formules
.a x\-b-iy\= e^(x1-+-iy1),
x\*-iy\ = e l*-(a:l-+-iyl),
qui donnent
x\ = X\ cos Yï sm — '
y\ = Xi sin - -+- y y cos - •
Par suite, les lignes de courbure de la surface associée seront définies par les équations
a . a .oc a
X\ cos Yi sin - = const., Xi sin — l- Y\. cos = const.,
390 LIVRE IN. — CIIAP. V.
et les lignes asymptotiqnes par les équations
X\ cos y\ sin = const.,
X\ sin h n cos = const.
On voit que, sur la surface primitive, elles correspondent respectivement aux courbes qui coupent les lignes de paramètre^
sous les angles -> — | > -> — h - • c»i 1 on considère en
particulier la surface adjointe, on aura a= -; par suite, les lignes
de courbure de cette surface correspondront aux lignes asymptotiques de la proposée et vice versa. Traitons, par exemple, le cas où l'on a
Hu)=-^2, £(Bl) = --JL.
Les formules qui définissent la famille de surfaces associées sont les suivantes :
X = — lu -f- - H — «
4 \~ " m/ ' 4 V"1^ MJ
4 V ** / 4 VMi
[ Z= — — Lu Lu, -h G,
C désignant une constante quelconque. Posons
Ul = e-t*-*'v. « = e-JJ-H-iv,
et nous obtiendrons
l X = - e~\>- cos (v -4- a) -H - eV- cos (v — a),
■ ] Y = - e-f* sin (v -4- a) -t- - eV- sin (v — a),
| Z =|i cos a -4- v sin a.
Pour a = 0, on trouve la caténoïde. Pour a = -, on obtient
l'hélicoïde gauche à plan directeur. Ces deux surfaces sont appli-
LA SURFACE ADJOINTE d'û. BONNET. 3g I
cables l'une sur l'autre avec orthogonalité des éléments, et les lignes de courbure de l'une correspondent aux asymptotiques de l'autre. Les surfaces qui correspondent à une valeur quelconque de a sont les hélicoïdes déjà rencontrées aux nos 75 et 180.
216. Après avoir obtenu une famille de surfaces minima applicables sur une surface minima donnée, proposons-nous de rechercher, d'une manière générale, toutes les surfaces minima applicables sur une surface minima donnée (S). Soit
ds2 — (i -t- uui )2 § ( u ) §i ( U\ ) du du\
l'élément linéaire de cette surface et soit
ds2 = (i -j- vv^y- Q(v) Çi(pi) dv dvi
l'élément linéaire d'une autre surface minima (S'). Pour qu'elles soient applicables l'une sur l'autre, il faudra que l'on puisse déterminer r, t', en fonction de u et de U\, de manière à satisfaire à l'équation
(i + v^t)- Ç(v)(j\((>i) dv dvx = (i-f- uuiY $(u)§i(iii) du dux. Cette égalité ne peut être vérifiée (n" 121) que si l'on a
p=<p(ît), p1= «];(«!),
OU
p = cp(Mi), vx = (];(«),
o et <!/ désignant des fonctions à déterminer. En donnant un sens convenable aux normales des deux surfaces, on peut prendre
et l'équation à vérifier prendra la forme
Egalons les logarithmes des deux membres et prenons la dérivée seconde par rapport à u et à U\. Nous aurons
cpY i
(i -+- tp^)2 (i -+- uut)'2
ou encore
4 dv dv{ 4 du duy
(i + ppi/2 (i-t-««i)2'
392 LIVRE III. — CIIAP. V.
Cette égalité exprime que les représentations sphériques de deux figures correspondantes sur les deux surfaces sont égales ou symétriques (Livre I, Chap. III). Comme, par hypothèse, v est une fonction de u, ces représentations sont ici égales et, par conséquent, ou pourra, en orientant convenablement la seconde surface, prendre
11 restera donc à satisfaite uniquement à l'équation #( m) &(«!) = £( h) ÇukO, et cette équation ne peut être vérifiée que si Ton a
a étant une constante quelconque. Les seules surfaces minima applicables sur une surface donnée sont donc les surfaces associées à la surface proposée ( l ).
217. Il nous reste maintenant à examiner une dernière question qui se rapproche de celles qui ont été étudiées dans ce Chapitre. Proposons-nous de déterminer toutes les surfaces minima applicables sur des surfaces de révolution. Comme une surface de révolution est applicable sur elle-même d'une infinité de manières, il suffira de rechercher les surfaces minima qui jouissent de la même propriété.
Reprenons les formules de Weierstrass et soient (t^, w(), (c, vt ) les valeurs de u et de uK relatives à, deux points de la surface. Nous chercherons s'il est possible de satisfaire à l'équation
(1 -H uiiiY § (u) i \{u\) du dui= (n- cc'i )2 $ ((') Si(i'i) dv dvu
en prenant pour v et vK des fonctions de u et de uh qui devront même contenir un paramètre variable et se réduire, pour une
( 1 ) La détermination de toutes les surfaces minima applicables sur une surface minima donnée est due à O. Bonnet. ( Voir, en particulier, le Mémoire sur la théorie des surfaces applicables sur une surface donnée, inséré au XL1I0 Cahier du Journal de l'École Polytechnique, p. 8 et suiv., p. ;3 et suiv.; 1860, 1867).
LA SURFACE ADJOINTE d'o. BONNET. 3g3
valeur de ce paramètre, aux suivantes :
v = ?/, (■[ = ii\ ;
v ne pouvant dépendre que de m ou de u{ sera, par suite, une
fonction de u el, en raisonnant comme dans le numéro précédent,
on trouvera encore
du dii\ dv dv\
(i -H uni)- (i -H ct-'i )2
La solution la plus générale de cette équation est donnée par
les formules
mu -t- n m0 u\ -+- n0
— n0u-i-m0 — nU[-\- m
et l'équation à vérifier deviendra
*(«.) *,(*,) = (mm°+ft/?0)4 rj( mU^U V J »*»*+*
(m — nu1)*(mQ — n0u)+ \ — n0u -{- m0/ \ — niiy+- m
Elle se décompose évidemment dans les suivantes :
/ j (/nm0-f- n/i0)2 g. / mt< -r- n
1 (m0— nQu)'+ \— n0u-+- 7
J j (mm0+n"o)2rf /hî0î*i+^o
( m — «Mi )+ \ — nu -h m
où G désigne une quantité nécessairement constante, puisqu'elle ne dépend, ni de ii\ en vertu de la première équation, ni de u en vertu de la seconde.
Les équations précédentes devront avoir lieu pour une infinité de systèmes de valeurs de m, /2, /?z0, n0 fonctions continues d'un paramètre et se réduisant, pour une valeur déterminée de ce paramètre, aux valeurs suivantes : 1, o, 1, o. Différentionsla première, par exemple, par rapport à ce paramètre. Nous aurons, en désignant par des lettres accentuées les dérivées par rapport à ce paramètre,
•2(mmQ-{- nn0y i(m'0 — n'ou)
mnin^r- nn0 mn — iin u
3' V ( m' u -+- ii ) ( m0 — n0 u) — (m« + n)( mr0 — n'0 u) ~| § L (/«o— "o")'2 J
Faisons dans cette équation
3g4 LIVRE III. — CIIAP. V.
elle se réduira à la suivante :
où l'on devra regarder m', 'm!0, n' , 7î'0, 9' comme des constantes. On pourrait intégrer cette équation et déterminer § (u) ; mais il est préférable de montrer que l'on peut toujours choisir les axes, de telle manière que les constantes m1 ', m'0, n', n'0 prennent des valeurs très simples.
Reprenons les formules de substitution
?nu -+- n ?n0 Ui -+- n0
— /Iq u -h m0 m — niiy
Nous savons qu'elles définissent un déplacement à la surface de la sphère. Si, en particulier, nous prenons les valeurs de m, m0, /?, n0 très voisines de i , i, o, o, elles définiront un déplacement infiniment petit du point (u, ut) à partir de sa position initiale. Ainsi, les formules
( dm -+- 1 ) u -+- dn ut (i"-f- dm0 ) -+- dn0
— u dn0 ■+- (i -+- dm0 ) — u^ dn -+- (i -+- dm )
représentent une rotation do. autour d'un certain diamètre de la sphère. Si nous prenons ce diamètre pous axe des ,3, il faudra que
l'on ait
7 , , . da , . da.
dn = an0 = o, dm = i — > dm0 = — i —
et, par conséquent,
.oc' .a'
Portant ces valeurs dans l'équation à laquelle doit satisfaire ${u)j nous trouverons
et, par suite,
£ désignant une constante. En intégrant, on a (27) #(ft) = Ca*.
LA SURFACE ADJOINTE DO. BONNET. 3gS
On trouverait de même (27') #i(ai) = Gi«f.
Les surfaces qui correspondent à ces valeurs des fonctions &(u)y $t(u\) jouissent bien de la propriété indiquée et sont, nous l'avons déjà vu (203), applicables sur des surfaces de révolution. La méthode par laquelle nous les avons obtenues a été indiquée par M. Schwarz (•).
Nous signalerons une remarquable propriété dont elles jouissent. Remplaçons, dans les formules de Weierstrass, 3(u), ^t(ut) par leurs valeurs précédentes où, pour plus de netteté, on aura mis m — 2 à la place de k, en sorte que l'on aura
Si l'on fait tourner la surface de l'angle a autour de l'axe des £, les nouvelles valeurs de $(u), $t(ut) seront, d'après les formules (a3 ) du n° 200,
On voit que, lorsque m n'est pas nul, ces nouvelles valeurs conviennent à une des surfaces associées à la proposée. Le cas où m estnul correspond, nous le savons (n°200), aux hélicoïdes. On est ainsi conduit an théorème suivant :
Si V on considère toutes les surfaces minima, autres que les hélicoïdes, qui sont applicables sur des surfaces de révolution, elles sont superposables à leurs surfaces associées; si Von fait tourner la surface d'un angle quelconque autour de son axe, on obtient Vune des surfaces associées.
Par suite, pour obtenir toutes les applications de la surface sur elle-même, il suffira de la faire tourner d'un angle quelconque autour de son axe et de faire correspondre dans les deux positions les points où les plans tangents sont parallèles.
(!) Schwarz, Miscellen aus dem Gebiete der Minimalflàchen, p. 296. — Voir aussi Bour, Théorie de la déformation des surfaces, p. 99.
3g6 LIVRE III. — CHAP. V. — LA SURFACE ADJOINTE d'û. BONNET.
Si l'on veut de même obtenir toutes les surfaces minima applicables sur une surface spirale, il faudra prendre (')
( 28 ) § (m) = C «"<+'"', §i ( Kj-) = Gt u'[l-ni ;
l'application de la méthode précédente conduit, sans difficulté, à ce résultat, que nous nous contentons de signaler. Le lecteur démontrera sans difficulté que les surfaces obtenues sont semblables à celles qui leur sont associées.
(') S. Lie, Beitràge zar Théorie der Minimal flàclien {Mathematisclie Annalen, t. XV, 1879, p. 5o3).
LES FORMULES DE MONGE. 3o,7
