CHAPITRE VII

Détermination de la classe et de l'ordre de la surface minima algébrique engendrée par la translation de deux courbes minima données^ — Application au cas particulier où la fonction / (u) est rationnelle. — Détermination de la surface minima réelle, simple ou double, de la classe la moins élevée. — Points à l'infini des surfaces minima. — La section de la surface par le plan de l'infini se compose exclusivement de droites simples ou multiples.' — Points multiples à distance finie. — Surfaces minima à point conique.

233. Après avoir exposé, en suivant les méthodes de Lie, la solution des problèmes Jes plus élémentaires de la théorie, nous allons indiquer comment cet éminent géomètre a déterminé l'ordre et la classe d'une surface minima algébrique, lorsqu'on suppose données les deux courbes minima dont la translation peut engendrer la surface.

La détermination de la classe repose sur le théorème suivant, qui est un cas particulier d'une proposition générale déjà énoncée au n° 84 et relative aux surfaces engendrées par la translation d'une courbe invariable.

La développable circonscrite à la surface en tous les points de V une des courbes minima dont la translation engendre cette surface est un cylindre dont les génératrices vont concourir en un point du cercle de i infini.

Soient (y) la courbe minima donnée, m un de ses points et (y.,) la seconde courbe minima de la surface passant par le point m. La tangente en m à (y,) est une des génératrices du cylindre qui est circonscrit suivant (y).

Ce point étant rappelé, considérons le cône circonscrit à la surface ayant pour sommet un point quelconque jji du cercle de l'infini; soit um une génératrice du cône, tangente en m à la surface. 11 passe en m deux courbes minima de la surface (y), (y,) dont

l'une, que nous désignerons par (ri), est tangente à u.m; et il résulte du théorème précédent que la développable circonscrite à la surface suivant (y) est un cylindre dont les génératrices sont parallèles à ;j.m, c'est-à-dire un cône de sommet ku.. Donc

Le cône circonscrit à la surface minima, ayant son sommet en un point quelconque du cercle de l'infini, se décompose en cônes plus simples, dont chacun est circonscrit à la surface suivant une courbe minima.

Ce point étant admis, commençons par considérer une surface simple et soit ]x un point du cercle de l'infini. Désignons par (K) et (K') les deux courbes différentes dont la translation peut engendrer la surface. Les génératrices du cône circonscrit suivant une des positions de (K') sont tangentes aux diverses positions de la courbe (K). Le nombre des cônes de sommet u, circonscrits chacun suivant une des positions de (K'), sera donc égal au nombre des tangentes qu'on peut mener du point u. à l'une des positions de la courbe (lv). Ce nombre, que nous désignerons par M, est évidemment l'ordre de multiplicité du cercle de l'infini sur la développable formée par les tangentes de (K). // y a donc M cônes de sommet u. circonscrits suivant une des positions de (K')eiM' cônes de même sommet circonscrits suivant une des positions de (K), M et M' désignant les ordres de multiplicité du cercle de l'infini sur les développables formées par les tangentes aux deux courbes. La classe de la surface sera celle de cet ensemble de cônes.

Envisageons l'un des cônes circonscrits suivant une position de (K'), par exemple, et soit (<r/) une droite quelconque passant par le sommet u. de ce cône. Pour qu'un plan tangent à ce cône contienne la droite (d), il est nécessaire et suffisant que la tangente à la courbe (K'), menée au point de contact de ce plan et de la surface minima, rencontre la droite (d) en un point situé à distance finie. La classe du cône est donc égale au nombre des tangentes de (K/) qui viennent rencontrer la droite (d) à distance finie. Or ces tangentes forment une développable dont l'ordre, que nous désignerons par R', a reçu, comme on sait, le nom de rang de la courbe. Cette développable est déjà coupée par la droite (d) au point u., qui est multiple d'ordre M'. Elle rencontrera donc la

droite (d) en R' — M' points à distance finie et, par suite, la classe du cône considéré sera

On trouvera de même

R étant le nombre analogue à R', pour la classe du cône circonscrit suivant une position de la courbe (K). La classe de la surface, c'est-à-dire de l'ensemble des cônes définis précédemment, sera donc

Tel est le nombre obtenu par Lie.

Dans le cas où la surface minima est double, il n'y a plus lieu de distinguer deux séries de cônes circonscrits, et la classe devient

égale à

les nombres R et M se rapportant à la courbe unique dont la translation engendrera deux fois la surface.

Si la surface est simple et réelle, les deux courbes dont la translation engendre la surface sont imaginaires conjuguées. On a évidemment

et la classe de la surface sera

aM(R-M).

On voit que toutes les surfaces minima réelles dont la classe est un nombre impair sont nécessairement doubles.

Nous signalerons une relation d'inégalité à laquelle satisfont les nombres R et M relatifs à toute courbe minima. La développable formée parles tangentes à cette courbe est coupée par une droite située à l'infini en deux points au moins, qui sont situés sur le cercle de l'infini et sont multiples d'ordre M. On a donc

Il résulte de cette inégalité que, dans l'expression M(R — M) de la classe d'une surface double, le plus grand facteur ne peut être que R — M. Si la classe est un nombre premier/), on aura néces-

sairement

ce qui donne

R=jDH-I.

231. Passons maintenant à la détermination de l'ordre de la sui^face, qui se fait, d'ailleurs, d'une manière moins précise. Nous couperons la surface par une droite (d) assujettie à la seule condition de ne pas rencontrer la surface à l'infini. Supposons d'abord, pour plus de netteté, que cette droite ait été choisie pour axe des z. Ses points d'intersection avec la surface seront déterminés par les deux équations

Si l'on construit les deux courbes planes (y) et (y') définies par les équations

(Y) a? = A(0, JK = B(*)

et

le problème sera ramené à la recherche de ceux de leurs points communs qui sont à distance finie. Soient (K) et (K') les deux courbes dont la translation engendre la surface. La courbe (y) sera la projection de (K) sur le plan des xy\ (y') sera la symétrique, par rapport à l'origine, de la projection de (K') sur le même plan. Les ordres de (y) et de (y') seront les mêmes, en général, que ceux de (K) et de (K'). Si donc nous désignons ces ordres par m et m', le nombre des intersections cherchées, égal à l'ordre de la surface, sera, en général,

Toutefois, si les courbes (K) et (K') ont des points communs à l'infini, il en sera de même de leurs projections. Soit o> le nombre des points communs à l'infini, qu'on déterminera par les

méthodes connues ('). Dans ce cas l'ordre de la surface sera

Enfin, si la surface est double, chaque point de la surface correspondra à deux systèmes de valeurs de t et de t, car les véritables paramètres de chaque point sont les fonctions symétriques t -{-~, t-z (n°22i). Le nombre précédent devra être réduit de moitié et l'ordre aura pour expression

- (mm — io ).

Si l'on veut éviter le changement d'axes, qui consiste à prendre pour axe des z la droite donnée, on écrira les équations de cette droite sous la forme

x = mz -+- p, y=nz -+- q,

et l'on sera conduit à considérer le système

Â(0+A1(T) = m[C(f) + C1(T)]+jp, B(0-+-B,(x) = « [G(0 + C1(x)] + <7,

c'est-à-dire à déterminer le nombre des points d'intersection des deux courbes

(2) x = A(t) — mC(t) — p, y = ~B(t) — nC(t) — q et

(3) a?=mG1.(T)-A,(T)I y.= nC,-(t)- B,(.*).

Les résultats précédents, relatifs à l'ordre et à la classe, peuvent être vérifiés dans chacun des exemples que nous avons étudiés. Considérons, par exemple, la surface d'Enneper. Les courbes (K) et (K') sont ici des cubiques gauches définies par les équations

(') Voir, en particulier, les différents travaux d'Halphen insérés dans le Bulletin de la Société mathématique de France, le Journal de Liouville et la traduction française des Courbes planes de Salmon.

LES SURFACES M INI M A ALGEBRIQUES. 4'27

On a

M'=M = i, Rt=R'=4, m = ??i'=3, co = o.

La surface est simple, d'ailleurs; son ordre sera 9 et sa classe 6, comme nous l'avons déjà reconnu (n° 207).

23o. Lie a fait une application détaillée des méthodes précédentes aux surfaces engendrées par des courbes minima dont les tangentes forment une développable qui contient une seule fois le cercle de l'infini.

Si l'on prend l'équation du plan oscillateur à la courbe minima sous la forme

(4) (1 — u-)& -+- i(i -t- u-)y -+- 2 «2 -4- if(u) = o,

/(m), étant ici une fonction algébrique de u1 sera déterminée par une équation de la forme

Le degré de cette équation par rapport à f{u) donne évidemment l'ordre de multiplicité du cercle de l'infini sur la développable dont la courbe minima est l'arête de rebroussement. Dans le cas que nous voulons étudier, cette équation sera donc du premier degré et f(u) sera une fonction rationnelle de u. Les résultats obtenus au n° 198 en ce qui concerne la transformation des coordonnées nous montrent d'ailleurs que, si les axes sont quelconques, le degré du numérateur de f(u) sera supérieur de deux unités seulement à celui du dénominateur. On pourra donc poser

les termes du second degré n'auront aucune influence surie résultat, et peuvent même être supprimés si l'on imprime à la courbe une translation convenablement choisie.

Si l'on substitue cette valeur de f(u) dans l'équation (4), on voit qu'il passera, par chaque point de l'espace, des plans tangents de la développable en nombre égal à

(6) G = Zmi-h 1.

Ce nombre est la classe de la courbe : son expression ne nous est pas nécessaire, mais elle interviendra pour simplifier les formules.

Si l'on substitue les valeurs de /("), f'(u), f"{u) dans les formules (5) (n° 219) qui donnent les coordonnées x, y, Z d'un point de la courbe, on reconnaît immédiatement que les termes en

( u — ai)"h+*' (u — a2)"^-t-2'

figurent dans les expressions de x, y, z. La courbe est donc unicursale, et le degré du dénominateur commun de x1 y, z sera

^nii-\- iq,

q étant le nombre des racines a,. Comme les numérateurs de x, y, z sont de degrés égaux ou inférieurs à celui du dénominateur commun, l'ordre O de la courbe minima sera

O = Swif-H- iq = G -t- iq — i.

Proposons-nous maintenant de déterminer le rang de la courbe, c'est-à-dire le nombre des génératrices de la développable qui rencontrent une droite donnée.

Une génératrice de la développable est définie par les deux équations

(i — u^)x -+- i(i -t- uï)y -H iuz -+- if{u) = o, — ux -+- iuy -+- z -+-f'(u) = o.

Si l'on exprime qu'elle rencontre une droite donnée par les équations

Bz

Cy=A.', Ca? — A* = B', Aj — Bx = G',

où l'<

AA'+BB'+CC'=o, on est conduit à une équation de la forme

A[(l — «»)/'(«) H- 2W/(K)]-+-Bi[(l -H «»)/'(«) — 2U/(U)\

+ 2G[b/(«)- /(k)]h a'i(i— a*) — B'(n-a2)-K2i'C'M = o, dont le degré donnera le rang cherché. 11 suffit de se reporter

à l'expression de f{u) pour reconnaître que ce degré est

(8) R = Sflî;+? + 2 = G + ?.

Telles sont les formules qui font connaître les deux nombres dont dépendent l'ordre et la classe de la surface minima.

236. Proposons-nous, par exemple, de déterminer, parmi les surfaces que nous étudions, celles qui ont la classe la plus faible.

Supposons d'abord qu'il s'agisse de surfaces simples. La classe sera égale à

q et m étant au moins égaux à î , il faut prendre

q = m = i ; on aura donc

/(") = -^zr^ +a«2 + P" + ï.

C'est, on s'en assure aisément, la valeur de f(u) qui correspond à la surface dEnneper.

Si l'on veut obtenir les surfaces de huitième classe, il faudra prendre

S/Wi--+- q = 3.

Celte équation admet l'unique solution

lui donne

A Ai

f(u)= — H h a u2 -+■ Qu-+-y.

L'ordre de la surface correspondante sera 16.

237. Proposons-nous maintenant de rechercher les surfaces doubles réelles les plus simples. L'équation à laquelle satisfait la fonction /(«) (n°227)

nous montre que, dans ce cas, à chaque infini ai correspondra un

43o LIVRE III. — CHAP. VII.

infini T de même degré de multiplicité, «■■ désignant la conju-

guée de ai. Les nombres im étant deux à deux égaux, la somme Sm; sera paire, ainsi que le nombre q.

La classe

Sffli+ # -H i

sera donc toujours un nombre impair ei, comme on a évidemment

la classe sera au moins égale à 5. La surface double réelle la plus simple correspond donc à l'hypothèse

q = 2, mi=m5 = i,

Ou obtient ainsi, nous allons le reconnaître, la surface de M. Henneberg.

Au reste, on peut obtenir très simplement, sous sa forme la plus générale, la valeur de f(u) qui correspond aux surfaces doubles réelles.

Nous avons vu, en effet, qu'à chaque infini a; correspond un infini r • Choisissons dans chaque groupe, d'une manière arbi-

traire, l'un des infinis a;. ;) et réunissons tous les termes qui

Cl) '

correspondent à ces infinis. Si nous désignons par o( m) l'ensemble de ces termes, la fonction

où ot désigne la conjuguée de ©, satisfera encore à l'équation fonctionnelle suivante, qui caractérise les surfaces doubles,

F(u) Fl(

mais, comme cette fonction ne contient plus les infinis a/, elle ne

pourra pas contenir non plus les infinis et se réduira, par

conséquent, à un polynôme du second degré, que déterminera l'équation fonctionnelle précédente, et qui sera de la forme

«(i — u- ) -+- ib(i -f- u-) -+- ici/,

«, b, c désignant Irois constantes réelles. On pourra le faire disparaître, si l'on veut, par une translation réelle et l'on aura, dans tous les cas, l'expression

f(^u) = <p(w) — «2<pi I ) -T- a(\ — u%) -+- ib(i -+- il-) -+- 2 eu,

qui définira toutes les surfaces doubles réelles.

Dans le cas de la surface de M. Henneberg, on peut, en choisissant convenablement les axes, prendre