CO ( II
A étant réel, et l'on aura
Si l'on applique à cette surface les méthodes indiquées plus haut pour la détermination de l'ordre, on reconnaîtra sans difficulté que les courbes désignées au n° 234- par (y), (y') sont ici symétriques l'une de l'autre par rapport à l'origine et qu'elles sont de l'ordre 6. Les points à l'infini étant des points simples d'intersection, il restera 3o points d'intersection à distance finie, et l'ordre de la surface sera, par suite, égal à 1 5 .
238. Considérons une courbe minima (K.), pour laquelle on connaît les nombres R, M. Si on la transforme par inversion, on obtiendra une nouvelle courbe minima (K^); soient R( et M, les nombres relatifs à cette courbe.
Une droite (d) rencontrant le cercle de l'infini coupe la développable formée par les tangentes de (K) en R — M points. L'inversion transforme la droite (d) en une droite (dt) rencontrant également le cercle de l'infini; elle transforme la développable formée par les tangentes de (K) dans la développable formée par les tangentes de (K-i). On aura donc
R M = Rt — M,.
D'autre part, considérons un cercle passant par le pôle de l'inversion; il coupera la développable formée par les tangentes de (K) en aR points; deux de ces points sont sur le cercle de l'infini
et comptent chacun pour M; enfin d'autres, en nombre que nous désignerons par Q, sont confondus avec le pôle. Le cercle coupera donc la développable en
points à distance finie et ne coïncidant pas avec le pôle.
Si l'on applique maintenant l'inversion, le cercle se transforme en une droite quelconque et le nombre précédent devient le rang de la courbe (K,). On a donc
La valeur de R< sera, dans tous les cas, positive et supérieure à 4? car il n'existe pas de courbe dont le rang soit inférieur à ce nombre; ù est nul si le pôle est quelconque, mais il peut devenir égal à 2 si ce pôle a été pris sur la courbe ( K) . On a donc, dans tous les cas,
ou
Cette inégalité met en évidence les résultats suivants, qui sont dus à Lie.
La classe d'une surface minima simple
est au moins égale à
c'est-à-dire au moins égale à 6. Parmi les surfaces simples, la surface d'Enneper est donc celle dont la classe est la plus faible. La classe d'une surface minima double
est toujours égale ou supérieure à 3 M, c'est-à-dire à 3.
Si l'on considère une cubique gauche qui soit, en même temps, une courbe minima, elle donne effectivement une surface double de troisième classe, mais cette surface est imaginaire. En effet, une courbe minima ne peut être identique à sa conjuguée que si elle est coupée par un plan réel quelconque en des points imaginaires
conjugués deux à deux. Elle doit être nécessairement d'ordre pair, si la surface double, lieu des milieux de ses cordes, est réelle.
Si l'on veut que la classe de la surface soil égale à 4> il faudra, R — M étant supérieur à 3, qu'on ait
Il existe effectivement une courbe minima répondant à la question. Mais nous avons déjà vu que, dans le cas où M = i, la surface double réelle la plus simple est celle de M. Henneberg.
Ainsi, il n'y a pas de surface double réelle de classe inférieure à 5.
239. Renvoyant, pour plus de détails, en ce qui concerne la détermination des surfaces minima de classe ou de degré donné, au Mémoire de Lie, nous terminerons ce Chapitre en étudiant les nappes infinies des surfaces minima algébriques.
Dans un Mémoire, inséré aux Mathematische Annalen ('), M. Geiser avait établi, par une méthode intéressante et féconde, que la section de toute surface minima algébrique par le plan de l'infini ne peut se composer que de lignes droites et du cercle de l'infini. Lie s'est servi du mode de génération qui l'a guidé dans ses belles études pour démontrer cette proposition et la rendre plus précise encore.
Considérons, en effet, la surface minima comme le lieu des milieux des segments dont les extrémités M, Mfl décrivent respectivement deux courbes minima (T), (T,). Tant que les points M, M, sont à distance finie, il en est de même du milieu du segment MMt. Si l'un des points, Mt par exemple, s'éloigne seul à l'infini, le milieu du segment s'éloigne à l'infini et vient, à la limite, coïncider avec M,. Supposons maintenant que les deux points M, M, s'éloignent simultanément à l'infini et viennent coïncider respectivement avec deux points m, mK des deux courbes (T), (r\), situés nécessairement sur le cercle de l'infini. Si les points m, m, sont dislincts, le milieu de mmt sera indéterminé et pourra occuper
(') Geiser (C. F.), Notiz ùber algebraischen Miniinurnsflâclien {Mathematische Annalen, t. III, 1870, p. 53o).
toutes les positions sur la droite mm{ ('). Nous obtenons ainsi ce premier résultat :
Toutes les droites obtenues en joignant un point à l'infini de (T) à un point de (T{) situé aussi à V in fini et distinct du premier appartiennent à la surface.
On reconnaît ainsi que, si les deux courbes (T), (\\) coupent le cercle de l'infini en des points distincts les uns des autres, la section de la surface par le plan de l'infini se composera exclusivement des droites qui joignent les points à l'infini de la première courbe aux points à l'infini de la seconde. Si m et m! désignent les ordres des deux courbes, ces droites seront au nombre de mm' . Comme, dans ce cas, Tordre de la surface est précisément égal à mm', il est évident que chacune des droites sera simple.
240. Il nous reste à examiner le cas où les deux courbes (T), (T|) ont des points communs à l'infini et où les deux extrémités du segment MM,, dont le milieu décrit la surface minima, viennent coïncider avec l'un de ces points.
Soit
(10) (i — u'2)x -+- i(i -+- u-)y -+- iiiz -+- ^f (a) = o
l'équation du plan oscillateur de la courbe (Y). En joignant à cette équation ses deux premières dérivées par rapport à w,
(i i) — u(x — if) -+- z -hf'(u) = o,
(12) — x-+-iy -hf'(u) =o,
(l) Soient, en efTet, x, y, z, t; x', y', z', t' les coordonnées cartésiennes homogènes des deux points M, M,. Lorsqu'ils tendent vers leurs positions limites m, m1, ces coordonnées auront pour valeurs limites xu, y0, z0, o; x'0, y'n, z'0, o. Cela posé, les coordonnées homogènes du milieu de MMl ont pour expressions
X = xt'-h tx\ Y —yt -hty', Z = zt' + t z', T = a M'.
Faisons tendre t et t' vers zéro, de telle manière que l'on ait toujours
X désignant une constante. Les coordonnées de X, Y, Z, T divisées par t auront pour limites les valeurs suivantes :
x0 X + x'0 , r„ X + y\ , z0A-h z[n o, qui contiennent l'arbitraire X et définissent un point quelconque de la droite mml.
on aura les trois relations qui définissent, eu fonction de «, les coordonnées d'un point de la courbe. Elles nous donnent
( x — iy = /"(«), (i3) J z = uf(u) — f'(u),
f x -+- iy = — u'2f" (u) -+- i uf (u) — 2 /( m ),
ou encore
en posant
fj" = / c? (u) du,
z = lu § (u) du,
iy = — / u% 3 (u) du,
Choisissons les axes de manière que le point m de (T) situé à l'infini corresponde à l'hypothèse u = o, et admettons que la courbe (T) soit algébrique ou, du moins, présente en ce point une singularité algébrique. Alors, f(u) sera développable suivant les puissances croissantes de u et, si p et q désignent deux nombres entiers dont le second est positif, on pourra poser
f(u) = a0 W7-f- ai u 7 -+- a2 u 1 -h . , .= \^cc\u </ .
Nous supposerons toujours qu'aucun des exposants — ne prend
l'une des valeurs o, 1,2. On peut toujours, en effet, supprimer les termes correspondants à ces trois valeurs particulières des exposants en ajoutant des constantes convenablement choisies à.r, y, s, comme le montre l'équation (10) du plan oscillateur; et ces constantes pourront toujours disparaître dans tes formules finales par une translation convenable des axes coordonnés.
En mettant à profit cette remarque, nous écrirons f(u) sous la forme
9 \ 9 qui donne
p + >- (16) §(u) = Sa-« 1
et, par conséquent,
x — iy
Zd p -+■ X
Telles sont les expressions des coordonnées d'un point de la courbe en fonction de u.
Pour que le point m, correspondant à la valeur o de u, soit rejeté à l'infini, il faudra que l'un au moins des termes qui figurent dans les expressions précédentes devienne infini pour u — o. On aura donc nécessairement
Mais il y a ici plusieurs cas à distinguer : i° Si l'on a
f(u) etf'(u) deviendront nulles pour u = o. La tangente en m à la courbe (T) sera définie par les deux équations (10) et (1 1), où l'on fera u = o et qui se réduiront aux suivantes :
x -+- ij = o, z — o ;
elle restera donc à distance finie; il en sera de même du plan osculatenr qui est représenté par la première des deux équations précédentes.
20 Si l'on a
f'(u) sera infinie, mais non/(«). Le plan oscillateur en m, défini par l'équation
sera encore à distance finie; mais la tangente en m sera rejetée à l'infini et coïncidera avec la tangente en ce point au cercle de l'infini.
3° Enfin, si Ton a
le plan oscillateur lui-même sera rejeté à l'infini; quant à la tangente, elle sera la même que dans le cas précédent.
En résumé, la courbe (Y) ne sera tangente en m au plan de l'infini que si l'on a
241. Si, comme on l'a fait au n"229, l'on adopte pour la courbe (T)) un mode de représentation identique au précédent et si l'on pose
#i.(iti) = 2L6xt»i
on obtiendra des expressions des coordonnées de chaque point de la courbe en fonction de ut qui seront analogues aux formules (17); et l'on en déduira les expressions suivantes des coordonnées X, Y, Z d'un point de la surface en fonction de u et de U\ :
X — i Y = \ ${u) du-\- \ ë\(ii\) diii
Z= I u § (u) du -+- I U\ ^1 («i) dui
Pi+ki
Pi H- li
