Examinons maintenant l'hypothèse
En opérant comme précédemment, on trouvera les conditions
d{h\) d\ djbl)
dy dx ^ dx ^
qui donnent
(') Voir les Mémoires déjà cités de Bour et de M Massicu. Il convient de remarquer que M. Massieu a négligé la seconde hypothèse (a = i, c = o) que nous allons étudier.
y, Y^ désignant deux forictions arbitraires de y. L'élément linéaire aura donc pour expression ( ' )
(ai) ds^=i{xY'-hYi)dxdy,
et l'intégrale du second degré sera
(22) p^—ijpg — 'iC.
On tire de là
^2=2Y + 2G, 9= / ^ ^; et, par suite,
Tel est le second cas dans lequel il y a une intégrale du second degré. Mais il convient de remarquer que la surface correspondante est, en général, imaginaire.
On peut, en effet, supposer ici que les coordonnées symétriques ^ et ^ sont imaginaires conjuguées. Pour que l'élément Jinéaiie soit réel, il faut qu'il ne change pas quand on y remplace toutes les imaginaires par leurs conjuguées. Si donc Yq, YJ désignent les fonctions imaginaires conjuguées de Y, Y<, il faudra que l'on ait
a;Y'-i-Yi=7X'o-f-X?.
Il suit de là que le premier membre doit être bilinéaire par rapport k x et à y. On a donc
X = axy -\-bx -+- b^y -\- A,
et la condition qu'il s'agit de vérifier exige que <2, h soient réels et 6, bo imaginaires conjugues. Des transformations simples permettent de ramener la valeur de \ aux deux types suivants
(') Cette expression de rélérnent s'est présentée à M. Lie dans l'élude d'un problème résolu par M. Diai et sur lequel nous reviendrons au Chapitre suivant.
IjNTÉgrales du premier et du second degré. 33
a étant une constante réelle. Les éléments linéaires correspondants
(24) cW^— !J^{x -¥^ y)dx dy,
( 25 ) ds'^ -- f^a ■■ ( xy -hi) dx dy
appartiennent l'un et l'autre à des surfaces applicaKles sur des surfaces de révolution. On le reconnaît immédiatement en efî'ectuant dans la première formule la substitution
57 = M -f- iV, y ~ il — iV, et, dans la seconde, la substitution
. X .— ue^^, y = ue—^^.
Remarquons-le, d'ailleurs, alors même que l'élément linéaire défini par la formule (21) appartient à une surface réelle, la iraleur correspondante (ao") de la solution 0 demeure imaginaire, comme on s'en assure aisément en y substituant les valeurs de "ï et de Y qui correspondent aux deux formes (24) et (25).
595. Les recherches précédentes conduisent aisément au résultat suivant :
U élément Linéaire dUine surface étant mis sous la forme la plus générale
(26) ds'^ =: E du"'-^ 1 F du (h -h G c?p«, soit
( 27 ) A0 = e/?- -t- ij'pq ^gq-^^x
V équation aux dérivées partielles dont dépend la détermination des lignes géodésiques^ S'il existe une intégrale du second degré
(28) ^>2+ '^fpi^g'q''^ G,
il pourra, se présenter deux cas distincts.
Lorsque les premiers membres des équations (27) et (28) n'ont pas de facteur linéaire commun de la forme cLp -j- 3^, Vêlement linéaire de, la surface est réductible à la forme de
Liouville
^^2 = ( Ui — V,)(«^w? -h dvX), D. -ÏII. 3
et les fonctions U,, V| sont^ à des facteurs constants près, les racines de V équation du second degré en k
que Von obtient en exprimant que la combinaison linéaire
des premiers membres des équations (^y) et (28) est un carré parfait.
On pourra donc, sans aucune intégration, ramener Vêlement linéaire à son expression réduite. Il suffira de choisir pour variables indépendantes, des fonctions quelconques des deux racines de V équation (29) (' ),
Si les premiers membres des équations (27) et (28) ont un facteur commun^ Vêlement linéaire est réductible à la forme (21).
Il est aisé de vérifier tous ces résultats avec les variables indépendaTites que nous avons choisies; et comme ils sont, par leur nature même, indépendants du choix de ces variables, ils sont ainsi établis dans toute leur généralité. .
Si Ton a pu obtenir deux intégrales distinctes du second degré
e>» -h if'pq -\-g'q-, e"p^ -h ifpq H- g" q^,
il est clair qu'on pourra les combiner linéairement et en déduire la nouvelle intégrale
(e'H- ke")p'^-^i{f-^ kf")pq ^ (^'-h kg")q\
k désignant une constante quelconque. A chaque valeur de k correspondra une réduction déterminée de l'élément linéaire à la forme de M. Liou ville. Ainsi :
Lorsque Vêlement linéaire d^une surface est réductible de deux manières distinctes à la forme de M. Liouville, il est réductible à cette forme d^une infinité de manières différentes.
(•) Cette conclusion serait toutefois en défaut si Tune des racines se réduisait à une constante; dans ce cas, l'une des fonctions U„ V, se réduirait à une constante et la surface correspondante serait applicable sur une surface de révolution.
Ainsi se trouve expliqué le résultat que nous avions indiqué au n** 413 et sur lequel nous devions revenir. Nous avions, au n** 417, proposé de rechercher les surfaces dont l'élément linéaire est réductible de deux, manières différentes à la forme de Liouville.
On voit que cette question peut être considérée comme identique à la su:>'ante : Rechercher toutes les surfaces^ ou plutôt tous les éléments linéaires, pour lesquels le problème des lignes géodesiques admet deux intégrales distinctes du second degré ('). Dans le Mémoire que nous avons déjà cité [11, p. 218] M. Lie a fait connaître un certain nombre de solutions de cette question auxquelles on pourra ajouter celle que nous avons déjà donnée au n" 417. Nous nous contenterons de rechercher ici toutes les formes de l'élément linéaire pour lesquelles le problème des lignes géode siques admet deux intégrales, Tune du premier, l'autre du second degré.
596. Toutes les fois qu'il j a une intégrale du premier degré, la surface est applicable sur une surface de révolution. On peut donc écrire son élément linéaire sous la forme
ds"^^ du2-hF{u)di^K L'équation aux dérivées partielles à intégrer deviendra ici
(3o) ^'^Ff^.)="
L*intégrale du premier degré sera
et ily a à exprimer qu'il existe une intégrale du second degré
. cp — ep^ -h 'ifpg ■+■ gq'^'j
distincte du carré q^ de l'intégrale linéaire. Pour la commodité des calculs qui suivront, posons
(•) Dans ce cas, il suffit d'appliquer les méthodes du n° 591 pour reconnallre que l'équation en termes finis des lignes géodésiques sera du second degré par rapport aux deux constantes arbitraires.
36 LIVRE Vr. — CHAPITRE
L'équalion de condilion
(A,»)= o nous donnera alors
de df dg
En égalant à zéro les coefficients des diverses puissances de q, on obtient le système
de
,de
du
dv
eU'"
\ os ,,..07
que l'on peut intégrer sans difficulté en suivant l'ordre des équations. On trouve ainsi
g = VU"- v; u'+ V" — -4- V2 ,
V, Vi, V2 désignant des fonctions arbitraires de v. En portant les valeurs de / et de g dans la dernière équation (82), on est conduit à la relation
(33) V'(2U"2+U'U'")-f-V'"U'2U"-ViU'-'^— 2V'lU'U"-i-2V'2U"=o,
qui doit avoir lieu identiquement.
Si l'on donne à v une valeur numérique quelconque, on obtiendra une relation de la forme
(34) a{'iW^-^U'U"') -^ b\]'^{]" -^ cV"'-+- dl]'U"-h eV" = o,
où a, by c, dj e seront des constantes, et qui sera une équation différentielle propre à déterminer U. On verra aisément que la fonction U ne peut, si l'on écarte un cas tout à fait exceptionnel qui conduirait aux surfaces à courbure constante, satisfaire à une autre
équalion de même forme où les constantes a, b, c, c/, e prendraient d'autres valeurs. Il faudra donc que, pour chaque valeur particulière donnée à p», l'équation (33) soit identique à la précédente. On devra donc avoir, pour toute valeur de t^,
abc d e
et ces équations serviront à déterminer les fonctions V, Vj, V2.
Gomme la dérivée U" figure seule dans l'expression de l'élément linéaire, on pourra toujours ajouter une constante à U' et disposer de celte constante de manière à annuler le coefficient c dans l'équation (34); alors les relations (35) nous donneront
et, par suite,
Ainsi on peut toujours, sans diminuer la généralité, introduire l'hypothèse
c = rf = 0.
L'équation (34) devient alors
(36) a(2U"^H-U'U"')^-^U"^U"-4-eU"'--:
Posons
Alors les équations (35) qui déterminent V et V2 prendront la forme
et, en intégrant une première fois, on pourra les remplacer par les suivantes
(39) V"-h4/^iV = o, V2 = -2/iV.
On s'assure aisément qu'il est permis, toutes les fois que m n'est pas nul, de négliger les constantes introduites par les intégrations; les conserver, ce serait ajouter à l'intégrale cherchée une fonction
oii A et B désignent deux constantes, et qui peut être négligée.
L'équation en U deviendra maintenant
En multipliant par U' et intégrant les deux membres, nous trouvons
(40) U'2U''=mU'*-4-2AiL'2-f-m',
m! désignant une nouvelle constante. Remplaçons U'' par -j-? nous aurons <iw et, par suite,
, . ^ r u^vu^
Il suffît de joindre cette équation à la précédente pour obtenir l'expression de U" en fonction de u.
L'intégrale cherchée du second degré sera
ou, en remplaçant V' et V2 par leurs valeurs,
(42) V/>2- M'Ypq -\- (YU"-. 2mVU''— 2 /iV)^», la fonction V étant une solution de l'équation
(43) ¥" = — 4mV.
Mais ici se présente un résultat tout à fait inattendu. En prenant successivement
V = ^■iv^'^n et V = e-'^^'^-^,
on obtient non plus une, mais deux intégrales du second degré
(44) ^2.v^ j^(^/zr^U'gr)^-+- ^l^^îj,
auxquelles on peut joindre le carré
de l'intégrale linéaire. Il y a donc ici trois intégrales distinctes du second degré.
L'équation des lignes géodésiques se déterminera aisément; il suffira d'appliquer ici les remarques du n° 591. Le système (6)
admet les quatre intégrales
e^^'^^ hp /Z-;iU'7?-+- QTi ^'1 = G',
qui sont d'ailleurs en nombre trop grand d'une unité. Et, en effet, on reconnaît que l'on peut éliminer entre elles w, Vy /?, q et que les constantes G, G', G' doivent être liées par la relation
(46) G'G" = (i-2AtG)^-4'^/?i'GV
Si Ton élimine ensuite p et q^ on sera conduit à l'équation en termes finis
(-;rg 2t,\C^^C//^2W^ 2-— 4G(/nU'*-h n),
qui représentera les lignes géodésiques.
Il est clair que les surfaces remarquables dont l'élément linéaire est défini par les formulés (24) et (26) appartiennent à la classe que nous venons de déterminer (^).
(') La question que nous venons d'étudier a été résolue d'une autre manière par M. L. Raffy dans un travail récemment publié (voir Comptes rendus, t. CVIII, p. 493, mars 1889, et Bulletin des Sciences mathématiques, t. XIII, 2* série). M. Raffy prend l'élément linéaire de la surface cherchée sous la forme
ds^ — t\\ dx dy
et il trouve que \ doit avoir l'une des valeurs suivantes
^^ PH-Q(g*-4-g-')
X=:Pe*-hQe«,
où P et Q désignent des constantes arbitraires et ^ la somme x -\-y.
Un calcul auquel le lecteur suppléera aisément permet de reconnaître que celte élégante solution concorde avec celle que nous avions obtenue tout d'abord et qui se trouve développée dans le texte.
40 LIVREVI. — CHAPITREII
