X- -+- T- = o ox ay
OU/ en intégrant,
L'élément linéaire prend la forme
(i3) ds'^^^f{x-y)dxdy.
La seconde hypothèse donne
L'élément linéaire correspondant
ds^ = 4fi(x)dx dy
se ramène à celui d*iine surface développable par substitution à x de la variable
On peut donc laisser de côté cette seconde forme de l'élément linéaire, qui devient un cas particulier de la première (i3).
Quant à celle-ci, on démontre aisément qu'elle caractérise les surfaces applicables sur une surface de révolution. Posons, en effet,
— W. -H iç>
îlle prendra la forme
14) ds-=^(^{u){du'^-\- dv'^),
où
cp(w) = -
ce qui établit le résultat annoncé. Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant, qui est dû à M. Massieu (').
Les surfaces de révolution et celles qui résultent de leur déformation sont les seules pour lesquelles Inéquation difjérentielle des lignes géodésiques admette une intégrale première
1 , . j . du dv
linéaire et homogène en -.-) -j-*
Quand l'élément linéaire est écrit sous la forme (i4), l'équation devient
rintégràle linéaire est alors
(') Massieu (F.)» '^"'' ^^* intégrales algébriques des problèmes de Mécanique. Thèse piésenléc à la Faculté des Sciences de Paris; Paris, 1861. Dans ce travail, l'auteur s'occupe d'une manière générale des pioblèmes de Mécanique dans lesquels il y a une fonction des forces; et, suivant la voie ouverte par M, J. Bertrand dans un beau Mémoire inséré en 1867 au Journal de Liouville, il recherche les intégrales algébriques par rapport aux vitesses.
M. Massieu, après avoir présenté quelques résultats sur la question envisagée dans toute sa généralité, étudie plus spécialement le mouvement d'un point sur une surface et il dcfioit tons les cas dans lesquels il y a une intégrale du premier ou du second degré pur rapport aux vitesses. Il suffit de supposer nulle la fonction des forces pour que ces résultats deviennent immédiatement applicables au problème des lignes géodésiques On pourra consulter aussi le Mémoire de Bour Sur l'intégration des équations différentielles partielles du premier et du second ordre {Journal de l'École Polytechnique, XXXIX* Cahier, p. 149; 1862), où les résultats de M, Massieu se trouvent rappelés. Le Chapitre V de ce Mémoire contient une étude sur l'intégration de l'équation générale des lignes géodésiques que nous aurons à citer plU£ loin.
On a
0 = Cv-h fs/<fiu)~C^du,
et l'on retrouve ainsi, avec de légers changements de notation, le résultat fourni par la première méthode (n** 580).
393. Nous allons maintenant étudier de la même manière le cas où il y a une intégrale cp du second degré par rapport k p et à q. Posons
<p = ap^ -+- 2bpq -+- cg^.
La condition (5) nous donnera ici
il ^àa db' ^àc\ a ( ^da dh „ dc\ p
Egalons à zéro les coefficients des diverses puissances de/? et de q. Nous aurons d'abord, en prenant les coefficients de q^ et de p^,
les deux équations
de ôa
ùx ày ~~ ^ qui nous donnent '
En raisonnant comme dans le cas précédent, on verra que, si l'on a choisi convenablement les coordonnées Xy y^ on peut toujours supposer, soit
soit
Commençons par examiner la première hypothèse. En prenant les coefficients de pq- et de p'^q dans l'équation de condition (ï8), on sera conduit aux deux relations
d{b\) àl à(bl) dl
dx ùy oy ox
INTÉGRALES DU PREMIER ET DU SECOND DEGRÉ. 3i
qui s'intègrent aisément et donnent
X== /(a7-+-7)-4-/i(T-jK),
/et //désignant deux fonctions arbitraires.
On aura donc pour l'élément linéaire l'expression
(19) ds'^= Mf{x-^y}'\-f^{x—y)\doi;dy, et l'intégrale cp deviendra
Le changement de notations défini par les formules
x = M -i- iV, y -- u — fV
•ramène l'élément linéaire à la forme de M. Liouvillè et montre aussi que la solution 9 dont les dérivées sont définies par l'équation précédente jointe à l'équation (9) est précisément celle que nous avons employée au n° 583.
Ainsi les surfaces dont l'élément linéaire est réductible à la forme de M. Liouyille constituent une première classe pour laquelle le problème des lignes géodésiques admet une intégrale homogène et du second degré par rapport à /> et à ^ (* ).
