CHAPITRE XIV

Pag| Rapprochements et analogies entre les surfaces à courbure constante

et les surfaces minima /j-

Recherche des surfaces (M ) telles que deux familles de lignes conjuguées aient pour tangentes des droites qui soient, en même temps, tangçntes à une même surface du second degré. — Quand cette quadrique se réduit au cercle de l'infini, on doit retrouver les surfaces minima; mais, quand elle est de la classe la plus générale, la détermination des surfaces cherchées se ramène à la même équation aux dérivées partielles que celle des surfaces à courbure constante. — Signification géométrique des résultats précédents; généralisation des notions de distance €t d'angle due à M-. Cayley. — Relation avec les définitions données au Livre V, Chapitre VIII. — Les lignes géodééiques dans la Géométrie de M. Cayley. — Leur plan osculateur est toujours normal à la surface sur laquelle elles sont tracées. — Les lignes les plus courtes dans l'espace sont encore des lignes droites. — Généralisation des principales propriétés des lignes de courbure. — Formules analogues à celles d'Olinde Rodrigues et relatives aux lignes de courbure généralisées. — Les surfaces (M) étudiées au début de ce Chapitre ont, dans la Géométrie cayleyenne, leurs rayons de courbure égaux et de signes contraires; elles sont les seules qui jouissent de cette propriété. — Elles se rapprochent encore des surfaces minima par la propriété de rendre minimum la portion de l'aire cayleyenne comprise dans un contour donné. — Étude d'une transformation qui permet de transportera h. Géométrie euclidienne toute relation entre les angles dans la Géométrie de M. Cayley. — Cette transformation fait correspondre une sphère à un plan et un cercle à une droite. — Généralisation de la théorie des tangentes conjuguées de Dupin. — Propriétés diverses des surfaces ( M') qui dérivent des surfaces (M) par la transformation précédente.