CHAPITRE XIII

Développements analytiques se rattachant aux transformations précédentes 445

Détermination de surfaces particulières à courbure constante négative.

— Rappel des surfaces de révolution et des hélicoïdes. — Surfaces à lignes de courbure planes ou sphériques dans un système. — Recherches de. M. A. Enneper et de M. H. Dobriner. — Comment on exprime qu'une surface rapportée à ses lignes de courbure a ses lignes de courbure sphériques dans un système. — Application aux surfaces à courbure constante négative. — Intégration des deux équations auxquelles doit satisfaire simultanément la fonction u) qui se présente dans l'élément linéaire de la surface rapportée à ses lignes de courbure. — Propriété géométrique de la surface : les sphères qui contiennent les lignes de première courbure ont leurs centres en ligne droite. — Cette propriété permet de ramener à des quadratures la détermina.tion des trois coordonnées d'un point de la surface. — Comment on exprime qu'une surface a ses lignes de courbure planes dans un système. — Application aux surfaces à courbure constante; si les lignes de courbure sont planes dans un système, leurs plans passent par une droite et, par suite, les lignes de courbure de l'autre système sont situées sur des sphères ayant leurs centres sur cette droite et coupant la surface à angle droit. — Détermination effective de ces surfaces. — Développements analytiques sur les fnéthodes de transformation de MM. Bianchi, Lie et Backlund. — On peut réduire l'application de ces méthodes à de simples calculs algébriques précédés d'un certain nombre de quadratures. -^ Les deux équations de Riccati qui se présentent dans celte théorie et qui contiennent un paramètre arbitraire.

— Véritable origine de ces équations et leur réduction au système qui se présente dans l'application de la méthode de M. Bâcklatid. - Théorème général résumaiit les résultats obtenus.

5l2 TABLE DES MATIERES.