RR' ~ U

Ainsi les seules surfaces qui puissent donner une solution du problème proposé sont celles dont la courbure totale est constante. Tel est le résultat fondamental obtenu par M. Beltrami.

599. Le lecteur pourra poursuivre et achever les calculs; mais il vaut mieux raisonner de la manière suivante.

Rapportons une surface à courbure constante au système de

coordonnées formé par une famille de lignes géodésiques et leurs trajectoires orthogonales : l'élément linéaire prendra la forme

(7) ds^-du'^^Odv'^,

et l'on devra avoir

Si la courbure k est nulle, G sera de la forme

(9) C = Va + V„

V et V< désignant des fonctions de r. Si la courbure k est positive et a pour valeur — « on aura

(10) G = Vsin — hViCos-.

Enfin, si la courbure est négative et égale à — -^^ on trouvera de même

/* Il II u

Écrivons les expressions correspondantes de l'élément linéaire en changeant dans les deux dernières u en au ; on sera conduit aux trois formes

(12) ds'^ = du-'-v- {yu 4- V,)2 dv^,

(13) û?52== a2[^f^2 i(VsinM-h ViCOSM)2â?t'2],

[/ pU p—u pu i^p~u\2 ~|

qui caractérisent les surfaces à courbure nulle, positive ou négative. Si nous supposons maintenant que les lignes géodésiques v=const. soient celles qui passent par un point donné de la surface, il faudra que l'on ait, dans les trois cas,

0 = 0 pour u = o.

Cela donne la condition

En choisissant convenablement la coordonnée v. on réduira en-

suite V à l'unité; de sorte que rélémenl linéaire se ramènera aux formes suivantes :

(i5) ds'^— da'^-h u^-dv^,

(i6) ds^—a^da'^-^sixi'^udv'^],

du^^ / \ ^p2 I

qui ne contiennent, comme on voit, aucune indéterminée.

L'application des méthodes que nous avons données plus haut (n^ 579) dans le cas des surfaces de révolution nous conduira ici sans difficulté à l'équation en termes finis des lignes géodésiques. On trouve ainsi les trois équations

(i8) A w cos(^ 4- Basinp 4- G -— o,

(19) A tangw cos(^-f- 13 tangw sinp -+- C =: 0,

qui conviennent respectivement aux éléments linéaires définis par les trois formules (i5), (16), (ly) et qui, d'ailleurs, donnent immédiatement la solution complète du problème proposé. On voit, en effet, que, si l'on représente l'une quelconque des surfaces sur le plan en prenant pour les coordonnées rectangulaires .x et y du point du plan les coefficients de A et de B dans l'une des équations précédentes, les lignes géodésiques de la surface correspondront aux droites du plan.

D'ailleurs, quand on a une telle représentation d'une surface sur un plan, on peut obtenir toutes les autres de la manière la plus simple; car, si P et Q sont les deux points du plan qui correspondent, dans deux représentations distinctes, à un même point M de la surface, la correspondance établie entre PetQ sera telle que les droites correspondront à des droites, et ne sera autre, par conséquent, que la transformation homographique la plus générale. Ainsi, quand on a effectué une représentation de la surface considérée sur le plan, on les obtient toutes en faisant suivre cette représentation, quelque particulière qu'elle soit, de la transformation homographique la plus générale dans le plan.

Si, à la place des coordonnées u et t^, on introduit les coordonnées rectangulaires a; et / du point du plan qui correspond de la manière indiquée au point de la surface, on obtient pour les trois

REPRÉSENTATION oéODÉSlQUE DE DEUX SURFACES. 47

formes de l'élément linéaire les expressions (2i) ds^ — dx'^-^dy^,

(23) ds^=a^^-^'^;''-[^^^y;;/^^^\

que nous retrouverons plus loin d'une autre manière et qui ont été signalées par M. Beltrami.

600. Les recherches que nous venons d'exposer conduisaient naturellement au problème suivant :

Étant données deux surfaces quelconques, peut^n les représenter l'une sur Vautre, de telle manière qu^à toute ligne géodésique de Vune corresponde une ligne géodésique de Vautre?

Nous dirons -alors que les deux surfaces sont représentées l'une sur l'autre géodésiquement.

Cette question, que M. Beltrami avait proposée à la fin de son travail, a été résolue par M. Dini (') dans un beau Mémoire inséré aux Annali di Matematica, La méthode de M. Dini repose sur un élégant théorème de M. Tissot, que l'on peut énoncer comme il suit :

Lorsque deux surfaces se correspondent point par point, il existe sur une des surfaces un système orthogonal, et en gé^ néral un seul, auquel correspond sur Vautre surface un système orthogonal.

Soient, en effetyM, Mi deux points correspondants, pris respectivement sur les deux surfaces considérées (S) et (84); à toute tangente M^ en M correspond une tangente M| ^4 en M4, en ce sens que toute courbe de la première surface tangente en M à M^ a pour homologue une courbe de (Sj) tangente en M| àM^ t^. Il est à peu près évident, et l'on établira aisément qu'à quatre tangentes

( *) Dini ( U. ), Sopra un problema che si présenta nella teoria générale délie rappresentazioni geografiche di una superficie su di un* altta {Annali di Matematica, t. III, p. 269; 1869).

Mt correspondent quatre tangentes M, ti de même rapport anharmonique. D'après cela, soient Mî, My les deux tangentes de la première surface qui vont rencontrer le cercle de Tinfini et Mu, M V les tangentes qui correspondent aux deux tangentes analogues de (S4). Deux tangentes rectangulaires de (S) sont conjuguées, comme on sait, par rapport au faisceau des deux droites M^', My. Pour qu*eiles correspondent à deux tangentes rectangulaires de (Si), il faudra encore qu'elles divisent harmoniquement l'angle des deux tangentes Mw, Mt^. On aura donc, pour les déterminer, à construire les rayons communs aux deux involutions dont les rayons doubles sont respectivement Mf, My et Mw, Mi^. Le problème comporte, en général, une seule solution. D'ailleurs si les surfaces sont réelles et si la correspondance, comme il arrive ordinairement, est établie entre des points réels, les rayons doubles des involutions que nous venons de considérer seront imaginaires conjugués et, par suite, les rayons communs aux deux involutions seront nécessairement réels.

Considérons sur la surface (S) les courbes qui admettent pour tangente en chaque point l'une des droites que nous venons de construire. Ces courbes formeront un système orthogonal, et ce système sera évidemment le seul auquel correspondra sur (S^) un système orthogonal.

A cette conclusion il y a deux exceptions : 1*^ si les deux involutions précédentes ont leurs rayons doubles communs, la correspondance entre (S) et (Si) aura lieu avec conservation des angles; et, par suite, tout système orthogonal tracé sur l'une des surfaces aura, dans ce cas, pour homologue un système orthogonal tracé sur l'autre; 2° si les deux involutions ont un seul rayon double commun, c'est-à-dire si les lignes de longueur nulle d'une seule famille se correspondent sur les deux surfaces. Alors les deux familles qui composaient le système orthogonal viennent se confondre en une seule, formée de ces hgnes de longueur nulle qui se correspondent sur les deux surfaces. Ce cas exceptionnel, sur lequel nous aurons l'occasion de revenir, a été signalé par M. Lie (^) ; il ne peut évidemment se présenter lorsque la correspondance a

(') Mathematische Annalen, t. XX, p. .4217 Note I du Mémoire! déjà cité : Untersuçhungen ûber geoddtische Curven.

lieu entre les points réels de deux surfaces réelles. On peut donc énoncer la conclusion suivante :

Lorsqu*on a établi une correspondance entre les points réels de deux surfaces réelles, il existe certainement sur chacune des surfaces un système orthogonal réel admettant pour homologue un système orthogonal. Ce système est unique si la cor-respondance n^a pas lieu avec conservation des angles,

601. Voici maintenant comment M. Dini a fait usage du théorème précédent. Supposant implicitement que la correspondance établie entre les surfaces (S) et (Si) a lieu entre des points réels^ l'éminent géomètre rapporte ces deux surfaces au système de coordonnées formé par les lignes orthogonales qui se correspondent sur les deux surfaces. Ce système «era unique si la correspondance n*a pas lieu avec similitude des éléments infiniment petits; dans le cas contraire, l'un des systèmes orthogonaux pourrait être choisi arbitrairement. Soient

û?52=Eû?M2H-G<iv«, ds\=¥.^du'^-\-Gxdv^

les expressions des éléments linéaires de (S) et, de (S,). L'équation différentielle des lignes géodésiques de (S) sera (n** 514)

^ ^ G dp \Q eu E du/

ti dE I dG\ . . , I <^G^ ,

et Ton obtiendrait de même celle des lignes géodésiques de (Si) en remplaçant E, G par Ej, Qt^. Pour que les lignes géodésiques se correspondent, il faut et il suffit que les équations différentielles soient identiques. On est ainsi conduit aux conditions

I dE

G ôv ~

I dE, Gi dv

2 dG

I dE 2

dG,

dË,

G du

' E dw ~ Gi

2 dE

I dG 2

dE,

dG,

Ë dv

' G dp ~ E,

I dG

I dG,

E du~

E, du

D. - ÏII.

5o LIVRE VI. — CHAPITRE III.

qui devront avoir lieu identiquement. La seconde et la troisième s'intègrent aisément et peuvent être remplacées par les suivantes

où U désigne une fonction de w et V une fonction de (^. On en déduit '

et il ne restera plus qu'à satisfaire à la première et à la quatrième des relations (26). La substitution des valeurs précédentes de E< et de G< nous conduit ainsi aux deux équations

d'où l'on déduit, en intégrant ('),

Ui désignant une nouvelle fonction de u et Yi une nouvelle fonction de t^.

La question est maintenant résolue. Les éléments linéaires des deux surfaces sont donnés par les formules suivantes :

(30) ds^= (U~V)(Uîrfa2 -^Y\dvi),

ils ont l'un et l'autre la forme de Liouville.

Au reste, en appliquant la formule (28) (n** 583), on reconnaît aisément que les lignes géodésiques de l'une et l'autre surface sont représentées par l'équation

(') On néglige ici l'hypothèse V = U = const., qui conduirait à deux surfaces homothétiques.

Celle équation ne change pas, en efTet, quand on y remplace U, U,, Y, Y,, a, a' par — g, —, — :^, —, — -, aya, ce qui revient à passer de (S) à (S|).

602. Telle est la solution que l'on doit à M. Dini. Elle donne une nouvelle et remarquable propriété des surfaces dont réiément linéaire est réductible à la forme de Liouville.

Mais il importe d'observer, en outre, qu'à chacune de ces surfaces on peut faire correspondre géodésiquement non pas une seule surface, mais une infinité de telles surfaces. En elFet, l'élément linéaire de (S) peut aussi s'écrire

(33) ds^ = [m(U H- h) — nt{\ -\- h)]\^ du^ + ^ ^^^2! .

La forme primitive est conservée. Mais U. Y, U|, Y, sont remplacés respectivement par m(U + /i), m{y -\- h)^ -^7 -7=* En effectuant ce changement dans l'élément linéaire de (Sj), on aura

<34) ds-,= - {^y-^^ ^^^j(^^^^ + ^-^y

et cette expression varie avec les constantes h et m. On pourrait à la rigueur faire abstraction de jh dont la variation remplacerait chaque surface par une surface homolliétiquc; mais il n'en est plus de même pour A. A chaque nouvelle valeur de h correspondra un élément linéaire distinct.

603. M. Dini a montré comment on peut déduire de la solution précédente les résultats obtenus en premier lieu par M. Beltrami. Pour ne pas étendre outre mesure cette exposition, nous nous contenterons de la remarque suivante.

Considérons la transformation homographique la plus générale dans le plan. Il résulte du théorème de M. Tissot que, dans celte transformation comme dans toutes les autres, il existera un système orthogonal qui se transformera en un système orthogonal. El, de plus, les résultats que nous venons d'établir permettenl d'afïîrmer que l'élément linéaire du plan rapporté à ce système sera néces-

52 LIVhE; VI. — CHAPITRE III.

sairement de la forme

rf5« = (u — y)(^w2^. rf(,î).

Or, d'après une proposition établie par M. Liouville (*) et que le lecteur retrouvera aisément en appliquant les méthodes du n° 413, les seuls systèmes orthogonaux pour lesquels l'élément linéaire du plan prenne la forme précédente sont ceux qui sont formés de deux familles de coniques homofocales et de leurs variétés. De là résulte une propriété de la transformation homographique établie en premier lieu par M. Richelot (2) : Dans toute transformation de ce genre, il existe un système orthogonal, et un seul, qui demeure orthogonal après la transformation, et ce système est^formé de deux familles de coniques homofocales. Au reste, cette proposition peut être démontrée de la manière, la plus simple par la Géométrie. Soient, en effet, (S) et (Si) deux figures homographiques dans deux plans différents. Soient A et B les points de (S) qui correspondent aux points à Pinfini sur le cercle, I| et J^, de (S^). Soient de même A| et B, les points de (S|) qui correspondent aux points I et J de (S). Les coniques (K) de (S) qui ont les points A et B pour fojers sont inscrites dans le quadrilatère dont les sommets opposés sont A, B et I, J. Elles auront donc pour homologues dans (Si) des coniques inscrites dans le quadrilatère dont les sommets opposés sont I, , Ji et A, , B, , c'està-dire les coniques (K^) dont les, foyers sont A| et Bi. D'ailleurs, d'après le théorème de M. Tissot, les deux familles de courbes que nous venons de définir dans chaque figure sont les seules qui conservent leur orthogonalité après la transformation.

Ce raisonnement s'étend de lui-même à la transformation homographique dans l'espace. Considérons, en effet, dans l'espace deux figures homographiques, et soient A et B les deux coniques qui correspondent au cercle G de Tinfini, considéré successivement comme appartenant à chacune des figures. Il est évident que la développable (A, G) circonscrite à A et à G correspondra à la dé-

(*) LiouviLLE (J. ), Sur quelques cas particuliers où les équations du mouvement d'un point matériel peuvent s'intégrer {Journal de Liouville, t. XI, p. 36o; 1846).

(») Richelot, Ueber die einfàchste Corrélation in zwei ràumlichen Gebieten {Journal de Crelle, t. LXX, p. 187; 1868).

veloppable (C, B), circonscrite à C et à B. Par suite, au système des surfaces du second degré ayant A pour focale correspondra le systèrne des surfaces de même ordre ayant B pour focale. Il est du reste facile de prouver que le système triple orthogonal ainsi formé est le seul qui demeure orthogonal après la transformation. En effet, si Ton se propose de déterminer trois directions passant par un point et telles que les trois directions correspondantes soient rectangulaires, cela revient à trouver un trièdre conjugué à deux cônes de même sommet, et le problème n'a qu'une solution (♦).

604. Les méthodes que nous avons suivies et qui sont celles de MM. Beltrami et Dini présentent en elles-mêmes un grand intérêt. C'est ce qui nous a déterminé à les reproduire. Mais on peut traiter aussi les questions précédentes en se plaçant à un. point de vue plus général, qui permet une étude plus approfondie et plus complète des résultats que nous avons trouvés. C'est ce*qi\e nous allons montrer rapidement.

On sait que tous les problèmes du calcul des variations dans lesquels il s'agit de trouver le maximum ou le minimum d'une intégrale simple

conduisentà une équation différentielle du second ordre à laquelle doit satisfaire la fonction v et qui est

(36) ^/A/^/ ^ ^ ôs> du \ùv'

ou, en développant,

av - dv ôv ôv ou Ov

Réciproquement, donnons-nous a priori une équation différentielle quelconque du second ordre

(38) v" = cp(M, V, v')]

( ') Darboux (G.), Note sur un Mémoire de M. Dini {Bulletin des Sciences mathématiques, t. l, p. 383; 1870).

54 LIVRE VI. — CHAPITnE III.

et proposons-nous de rechercher si elle donne la solution d'un problème de calcul des variations, c'est-à-dire s'il existe des intégrales de la forme (35) pour lesquelles l'équation différentielle (87) soit identique à l'équation donnée (38). Pour qu'il en soit ainsi, il sera nécessaire et suffisant que la valeur de k/' tirée de l'équation (38) et portée dans l'équation (87) donne naissance à une relation qui soit vérifiée pour toutes les valeurs de w, v^ v'. On trouve ainsi la condition

qui est une équation aux dérivées partielles du second ordre à laquelle doit satisfaire la fonction /(w, ï^, 9') des trois variables u, Vy (/. Comme cette équation admet toujours des solutions, on peut énoncer le résultat suivant :

Étant donnée une équation différentielle quelconque du second ordre, elle peut être assimilée d''une infinité de manières différentes aux équations du même ordre qui se présentent dans la recherche du maximum ou du minimum d'une intégrale simple de la forme (36), En d'autres termes, il existe une infinité de fonctions f{Uf p, p') telles que leur intégrale, prise entre deux points quelconques de l'une des courbes intégrales de Véquation considérée, soit maximum ou minimum,

605. La détermination de la fonction / dépend de l'intégration de l'équation aux dérivées partielles (39). Cette intégration est beaucoup facilitée par les remarques suivantes.

Diffiérentions l'équation (89) par rapport à v'] nous aurons

et cette équation nouvelle, qui est du troisième ordre, se réduit au premier si l'on prend comme inconnue auxiliaire la quantité

On obtient ainsi pour M l'équation linéaire

Cette équation définit ce que Jacobi, généralisant une théorie d'Euler, a appelé le multiplicateur du système d'équations diffé* rentielles ordinaires ( ♦ )

du di> __ dv'

Nous aurions pu d'ailleurs déduire notre théorie des résultats que nous devons sur ce sujet à l'illustre géomètre; mais il nous a semblé préférable de développer tous les raisonnements sans rien emprunter à la théorie du multiplicateur.

Pour obtenir l'intégrale générale de l'équation linéaire (4^), il faudra intégrer le système d'équations différentielles ordinaires

. jj. du dv dif' —dM

âv

Si nous prenons d'abord les équations

(44) dç=iv'du, dv'—tfdu,

obtenues en égalant les trois premiers rapports, elles ne contiennent pas M et, par suite, peuvent être intégrées séparément. D'ailleurs l'élimination de p' conduit à l'équation

d^v I dv\

qui n'est autre que la proposée. Donc les intégrales du système (44) sont les deux intégrales premières

de l'équation proposée.

Supposons qu'on ait obtenu ces intégrales. En égalant le pre-

(») Vorlesungen ùber Dynamikt Dixième Leçon.

mier elle dernier des rapports (43), on aura

dM âo ^

-^ -h ^, du =^ o.

On peut, en tirant ç, p' des équations (45), exprimer -r^, en fonction de m. L'équation précédente prend alors la forme

-i^ -f- 6(m, a, p) du = o.

Une quadrature nous donnera une relation telle que

Mff»,a, a, p) = Y,

Y désignant une nouvelle constante. Si Ton remplace a et ^ par leurs valeurs (45), on aura la troisième intégrale du système (43) sous la forme "

Par suite, la solution M la plus générale de l'équation (42) sera déterminée par la formule

(47) MiI;,(«,P,p') = ^(tj;,+0,

où ^ désigne une fonction entièrement arbitraire. Il résulte de là que le quotient de deux valeurs particulières de M sera nécessairement une intégrale première de l'équation proposée,

La valeur de M une fois obtenue, on déterminera celle de / au moyen de l'équation

qui s'intègre par une double quadrature. Désignons par/o une solution particulière quelconque de cette équation : la solution la plus générale sera

X et [JL désignant deux fonctions arbitraires de u et de ^. Mais, il importe de le remarquer, celte valeur de /, qui satisfait à l'équation (4o) dont elle est la solution la plus générale, ne vérifiera pas nécessairement la véritable équation du problème, c'est-à-dire l'équation (39). On peut affirmer seulement que la valeur précé-

REPRÉSENTATION GÉODÉSIQUB DE DEUX SURFACES. 5y

dente de /, substituée dans l'équation (Sg), rendra son premier membre égal à une fonction de u et de i^, puisque la dérivée de ce premier membre par rapport à ç' est nulle en vertu de Féquation (4o).

Effectuons cette substitution; en désignant par P^ la fonction de M et de v qui résulte de la substitution de /«, nouis trouverons Téquation

Po-v- 3 :r- =0-

du dv

Telle est Punique relation que devront vérifier les fonctions^, [x. Soit Xo) P-o ^^ système de valeurs de X, |jl satisfaisant à cette équation, système que Ton pourra obtenir, par exemple, en se donnant arbitrairement ^o ^^ déterminant [jl© par une quadrature. Les valeurs les plus générales de \ jx seront données par les formules

B désignant une fonction quelconque de m et de i^. On aura donc Texpression suivante

pour la solution la plus générale de Téquation (Sg). La présence de la différentielle exacte

ov du

s'explique sans difficulté. On sait, en effet, que cette différentielle n'a aucun rôle à jouer et que l'on obtient la même équation différentielle du second ordre en cherchant le minimum ou le maximum de l'une ou l'autre des intégrales

Jfdu, f{fdu-^d%).

En résumé, on peut énoncer les résultats suivants ;

Toutes les fois que Pon pourra intégrer une équation différentielle du second ordre, on saura déterminer par de

simples quadratures toutes les intégrales

telles que le problème de calcul des variations qui leur correspond conduise à V équation différentielle proposée.

Si Von a obtenu par un procédé quelconque deux fonctions

A fi correspondantes à une même équation différentielle, ^>

-T^^ seront des solutions de C équation linéaire en M (42); et, par suite, le quotient

sera une intégrale première de l'équation différentielle proposée (^).

Nous allons maintenant indiquer quelques applications.