Soit d^abord Téquation du second ordre

Les intégrales du système (43) seront ici

p'=a, f — ap'=p, M = Y« .*

Par suite, Tinlégrale générale de Téquation linéaire en M sera donnée par la formule

et la fonction /la plus générale définie par réquation(4i)aura ici pour expression

f (i>'— a)^(a, p — Ma)rfa H- p'X(m, p)-f- [ji(m, c).

(•) Il résulte même des propositions de Jacobi que, dans ce cas, on poutra obtenir par uae quadrature Tintégration complète de l'équation différentielle proposée. Mais la proposition énoncée dans le texte, et qui résulte immédiatement des remarques précédentes, suffit pour l'objet actuel de nos recherches.

RE^PRÉSENTATION GÊODÉSIQUE DE DEUX SURFACES- Sq

Uéqualion (89) à laquelle /doit satisfaire devient

Si l'on y substitue la valeur précédente de /, on trouve, après quelques réductions, la condition

d\ dix

qui permet d'égaler ). et [jl aux dérivées partielles d'une même fonction 6, On a ainsi la valeur définitive de / sous la forme

(52) y=:y (p'a)#(a,P — Ma)û?aH-~i^'-4-^.

607. Arrivons maintenant à l'objet que nous avons en vue, et proposons-nous d'abord le problème de M. Beltrami : Trouver toutes les sur/aces qui peuvent être représentées géodésiquement sur le plan.

Soient ar et ^ les coordonnées rectilignes d'un point du plan. L'équation différentielle des droites sera

et cette équation subsisterait si Von faisait une transformation homographique quelconque.

Les variables x ety peuvent encore être considérées comme les coordonnées curvilignes du point de la surface cherchée qui correspond au point du plan. Soit alors

ds^—Edx^-\-%Ydxdy'\~Qdy^

l'expression de l'élément linéaire de la surface. D'après la question proposée, il faudra que l'intégrale

/ /E -+- a F^' H- Gy'^ dx

soit rendue minimum par les courbes intégrales de l'équation différentielle

et, par suite, que là fonction

satisfasse à l'équation

Or on a

Hy\y-

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