LE PLUS COURT CHEMIN ENTRE DEUX POINTS DUNE SURFACE. I

contenterons de ceux qui précèdent. Mais nous ajouterons la remarque suivante, qui montrera toute l'extension que l'on pourrait donner à ce genre de recherches.

Considérons sur une surface quelconque tous les chemins possibles réunissant deux points donnés. Les études approfondies que l'on a été conduit à entreprendre dans la théorie moderne des fonctions ont montré qu'il existe un grand nombre de surfaces pour lesquelles on ne peut passer de l'un de ces chemins à tout autre, réunissant les mêmes points, par une déformation progressive et continue. Par exemple, sur un cylindre circulaire droit, il y aura des chemins allant d'un point A à un autre point B en faisant un nombre quelconque de tours, soit dans un sens, soit dans l'autre; et ces chemins ne seront pas réductibles les uns aux autres. Si l'on veut considérer une surface limitée, on pourra prendre le tore, pour lequel il y a lieu de faire les mêmes distinctions, la surface d'un ellipsoïde ou une portion de surface plane dans lesquelles on aurait enlevé les parties de la surface comprises à l'intérieur de différents traits fermés, etc. Dans un très intéressant Mémoire publié en 1866 (^), M. Jordan a montré comment on peut classer toutes ces routes différentes et les réduire à certains chemins élémentaires parfaitement définis. De cette manière, le problème que nous avons étudié dans ce Chapitre se présentera sou» uuv, forme nouvelle et plus générale. On pourra l'énoncer comme il suit :

Parmi tous les chemins réunissant deux points K etB d'une surface et réductibles les uns aux autres par une déformation continue, déterminer celui qui est le plus court.

Les propriétés différentielles que nous avons établies plus haut permettront d'étudier cette intéressante question, dont la discussion complète appartient évidemment à la Géométrie de situation. Le lecteur pourra examiner quelques cas simples, se rapportant à des cylindres ou à des surfaces planes percées de trous circulaires.

(') Jordan (C), Sur la déformation des surfaces {Journal de Liouville, a* série, t. XI, p. io5; 1866).

Des contours tracés sur les surfaces (Même Recueil et même tome, p. iiô).

633. Nous terminerons ce que nous avons à dire sur ce sujet en donnant quelques indications sur une notion nouvelle, celle de la longueur réduite, introduite par M. Cliristoifel dans la théorie des lignes géodésiques (*).

Soit {g) {fig- 53) une ligne géodésique dont les différenls

Fi-. 53.

points seront déterminés par leurs abscisses r, comptées à partir d'une origine fixe 0 prise sur cette ligne. Nous avons vu que, pour définir toute ligne géodésique infiniment voisine de (^), il faut élever au point d'abscisse t> une perpendiculaire/? satisfaisant à l'équation du second ordre

le lieu de l'extrémité de cette perpendiculaire sera la ligne géodésique cherchée. Par conséquent, si l'on veut obtenir celles de ces lignes qui passent en Mo, il faudra prendre les solutions de l'équation précédente qui se réduisent à zéro pour le point Mq. Ces solutions ne diffèrent les unes des autres que par un facteur constant; distinguons et désignons par la notation [Mo M] celle dont

la dérivée -~ se réduit à i pour le point Mq. On pourra dire alors

que toute ligne géodésique passant par Mq est définie par l'équation

(20) /) = a[MoM],

où a désigne une constante infiniment petite. Proposons-nous de déterminer l'angle ô que fait en Mq cette ligne géodésique avec la ligne (^). Nous considérerons pour cela le triangle MoM,K, en

(') Ghristoffel (E.-B.), Allgemeine Théorie der geodàtiiclien Dreiec/ce {Abhandlungen der KônigUchen Akademie der Wissenschaften zu Berlin,

LE PLUS COURT CHEMIN ENTRE DEUX POINTS DUNE SURFACE. lll

supposant le point Mi infiniment voisin de Mo- CoTime il est rectangle en Mi , nous aurons

''-Mo Ml Idçhu

en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur au premier. En vertu de la définition de la solution [Mq M], on aura donc

De là résulte le théorème suivant, dû à M. ChristofTel.

Donnons à la solution [MoM] de l'équation (19), qui est définie par la double condition de se réduire à o pour M© et d'avoir sa dérivée égale à i pour le même point, le nom de longueur réduite du segment géodésique M© M. Si, par le point Mq, on mène une ligne géodésique faisant avec la première Van g le infiniment petit 8 et qu^on élève en M l'arc perpendiculaire MH jusqu'à la rencontre de cette ligne géodésique, on aura

(2[) MH=:e[MoM].

Si Vq et V sont les abscisses des points Mo et M, on aura, comme nous l'avons déjà vu (n® 628),

(2^) [MoM] = cp(Po)?(p) jT"^,

(f{v) désignant une solution de l'équation difFéréntielle qui ne s'annule pas pour ç =Vq.

Nous voyons, d'après cette formule, que l'on a

JMoM]-f-[MMo] = o.

Si l'on connaît deux solutions ^(^), ^{^) de l'équation difFéréntielle, satisfaisant nécessairement à une relation de la forme

cp(i^)^^'(p)-^(p)cp'(p) = G, on trouvera

(23) [M„M] = ii^:»I:!li:l^^iMi^),

G et cette nouvelle expression de la distance réduite permet de

112 LIVRE VI. — CHAPITREV.

démontrer immédiatement une relation

(24) [ab][cd\ -h [ac][db] -h [ad][bc] = o,

qui a été donnée par M. Christoffel.

Si, sur toutes les lignes géodésiques passant par M© {Jig- 53), on porte une longueur égale à M^M, on obtiendra -une trajectoire orthogonale à toutes ces lignes géodésiques qui passent en Mq. Le rayon de courbure géodésique de cette trajectoire orthogonale au point M sera donné par la formule

pg. ~~ [MoM] dv

que nous nous contenterons d'indiquer.

II. résulte des développements donnés plus haut que les propriétés essentielles de la longueur réduite avaient été utilisées par M. O. Bonnet avant que cet élément eût été défini par M. Christoffel.

LA COUKBt'RK GEODKSIQIIE. ||3