RR

où les intégrales simples et double ont la signification plusieurs fois rappelée. Le théorème de Gauss et la formule plus générale de M. O. Bonnet reposent sur l'équation

d^ HR'

que l'on déduit de la précédente en supposant que le contour est

l38 LIVRE VI. — CHAPITRE VI,

exclusivement formé de lignes géodésiques. La question que nous avons maintenant à nous proposer est donc la suivante : Est-il nécessaire , pour que V équation (29) ait lieuj que le contour soit formé de lignes géodésiques? Or, si nous comparons cette équation (29) qui doit avoir lieu à la relation (28), qui est absolument générale, nous reconnaissons qu'elle équivaut à la suivante

(30) rf^=o.

où l'intégrale est étendue à tout le contour. Cette condition est

évidemment vérifiée si — est nul en chaque point du contour,

c'est-à-dire si le contour est formé de lignes géodésiques; mais elle aura lieu encore dans le cas bien plus général où toutes les courbes qui composent le contour satisferaient à l'équation du second ordre

('3 0 — =f/cp(i/, 0,

cp étant une fonction arbitraire assujettie à l'unique condition d'avoir une valeur bien déterminée en chaque point de la surface. Nous sommes donc conduits à la conclusion suivante.

Le théorème de Gauss ne constitue nullement une propriété caractéristique des lignes géodésiques; il est encore vrai pour toutes les courbes qui satisfont à l'équation (3i), c'est-à dire pour lesquelles l'angle de contingence géodésique est la différentielle exacte d'une fonction de point.

'C'est ainsi que, si l'on considère dans le plan les courbes qui satisfont à l'équation différentielle

ds , .

X et y désignant les coordonnées cartésiennes, la somme des angles d'un triangle curviligne quelconque formé avec trois de ces courbes sera égale à deux droits.

Plus généralement, si l'on considérait une intégrale double quelconque

— — - ) au clv

ôv ou

LA COUIlBURE GEODÉSIQUE. iSq

et les courbes satisfaisant à réqnalion différentielle

l'intégrale double, étendue à tout polygone formé de ces courbes, s'exprimerait en fonction de la somme des accroissements que prend la fonction cp quand on passe d'un côté du polygone au suivant. Ces remarques n'ont peut-être pas d'importance pratique; mais elles font mieux comprendre les méthodes précédentes (').

(') Darboux, Sur une série de lignes analogues aux lignes géodésiques {Annales de l'École Normale, t. VIÏ, i" série; 1870).

l4o LIVRE VI. — CHAPITRE VII.