RS
ce qui est la généralisation d'une formule bien connue relative aux courbes planes ( ' ).
637. On pourra lire dans le Traité de Calcul différentiel de M. J. Bertrand des démonstrations purement géométriques qui permettent de rattacher les unes aux autres les propriétés précédentes. Nous rencontrerons plus loin (n° 641) d'autres expressions de la courbure géodésique. Pour le moment, nous nous contenterons de signaler la déOnition suivante, dans laquelle on sort de la surface pour construire le centre de courbure géodésique.
Étant donnée une courbe AB {fig^ 67), imaginons que l'on mène en ses différents points les tangentes MK, M'K', ... de la surface qui sont normales à la courbe. Ces tangentes forment une surface réglée : Le point de chaque génératrice MK pour lequel le plan tangent à cette surface réglée est normal au plan tangent en M est précisément le centre de courbure géodésique de la courbe AB y pour le. point M.. Si la surface réglée est développable, le centre de courbure géodésique sera le point de contact de chaque génératrice rectiligne avec V arête de /v?broussemerit.
Pour établir cette proposition, supposons la surface rapporlée au système de coordonnées déterminé par les géodésiques perpen-
(') Le signe — provient de ce que p„ est considéré comme positif quand il est porté dans le sens correspondant à l'angle w 4- - •
Il8 LIVRE VI. — CHAPITRE VI.
diculaires à AB et par leurs trajectoires orthogonales. L'élément linéaire de la surface aura la forme si souvent employée
(6) ds'^ = du^ -h C-2 dvK
Considérons le trièdre (T) déjà défini et dont l'axe des x est la tangente à la géodésique. Si on lui imprime un déplacement de telle manière que le sommet décrive une courbe quelconque, un point de l'axe des x décrira un arc infiniment petit, dont les projections sur les arêtes du trièdre seront respectivement
du-^dx, {C -\- FiX) dv, — {q du-^ qxdv)x,
d'après les formules du n° 499 [II, p. 3^0]. Supposons d'abord qu'on se déplace suivant la courbe AB; v variera seule et, pour
Fig. 57.
que le déplacement s'effectue dans un plan perpendiculaire au plan tangent en M, c'est-à-dire pour que le plan tangent au point considéré à la surface réglée engendrée par MK soit normal au plan tangent en M, il faudra que la projection du déplacement sur l'axe desjK soit nulle, c'est-à-dire que l'on ait
On tire de là
du
et cette valeur de x détermine précisément le centre de courbure géodésique de la courbe AB. Notre proposition est donc établie. On en déduit la conséquence suivante :
Imaginons qu'on mène toutes les tangentes aux géodésiques i' = const., c'est-à-dire aux géodésiques normales à la courbe
donnée. On formera une congruence recliligne admeltaut une surface focale dont J'une des nappes sera la surface proposée. Nous allons montrer que la seconde nappe sera le lieu des centres de courbure géodésique de AB et des courbes parallèles à AB.
Remarquons d'abord que les droites de la congruence, étant tangentes à une famille de géodésiques tracées sur la surface proposée, sorit, par cela même, normales à une surface (n"" 4-41). Par suite, si l'on envisage une surface réglée quelconque formée avec les droites de la congruence, les plans tangents à cette surface aux deux points focaux de l'une quelconque de ses génératrices seront nécessairement rectangulaires.
Si l'on applique cette remarque à la surface réglée engendrée par MK quand le point M décrit la courbe AB, on reconnaîtra immédiatement que le second point focal de MR est le point où le plan tangent à la surface réglée est perpendiculaire au plan tangent en M. C'est donc, d'après ce que nous avons établi, le centre de courbure géodésique de AB.
Ainsi, lorsque des droites sont normales à une surface (2") et forment une congruence dont la surface focale est constituée par les deux nappes de la surface des centres de courbure de (2), les arêtes de rebroussement des développables que Von peut obtenir avec ces droites engendrent deux familles de géodésiques situées respectivement sur les deux nappes de la surface des centres. Les courbes parallèles qui coupent à angle droit l'une de ces familles de géodésiques ont leurs centres de courbure géodésique situés sur l'autre nappe de la surface dès centres.
Cette proposition si générale, sur laquelle nous reviendrons plus loin, permet de démontrer directement l'un des beaux théorèmes que la Géométrie des surfaces doit à M. Weingarten. Pour le moment, nous en déduirons seulement le corollaire suivant.
Nous avons considéré les géodésiques normales à AB. Dans le plan et, par conséquent, pour les surfaces développables, la définition de la courbure peut se rattacher au point d'intersection de deux géodésiques normales infiniment voisines. On n'obtiendrait rien en essayant, pour une surface quelconque, une généralisation dans cette voie; car, en modifiant la définition de la surface à une
distance finie de la courbe AB, on change complètement le cours et les intersections successives des lignes géodésiques. Mais on peut opérer de la manière suivante.
Traçons {fig> 58) les géodésiques successives MH, M'H', . . . , normales à la courbe AE, et là tangente MK en M à la géodésique MH. Si l'on mène à la seconde géodésique M^H' une tan-
Fie. 58.
gente PI dont le point de contact sera choisi par la condition qu'elle rencontre MK, il est clair que le point d^ intersection C des deux droites sera le centre de courbure géodésique de Varc MM'. Car, dan» la congruence formée par les tangentes aux géodésiques, le point G, étant l'intersection de deux droites infiniment voisines, sera le second point focal de MR.
Quand la surface devient plane, la construction précédente se réduit à celle qui donne le centre de courbure par l'intersection de deux normales infiniment voisines (*).
Si l'on construit les diff'érentes géodésiques M'H' voisines de MH, le lieu du point P relatif à chacune d'elles sera évidemment celle des courbes conjuguées de toutes ces géodésiques qui passe au point M.
( ' ) Cette construction du centre de courbure géodésique est due à M. Beltrami. Voir le Mémoire intitulé Ricerche cli Analisi applicata alla Geometria {Journal de Rattaglini, t. II; 1864 ).
LA COURBURE GEODESIQUE. Ï2I
Dans le cas d'une ligne de courbure, cette conjuguée des géodésiques normales coïncide avec la ligne de courbure elle-même. Nous avons donc le théorème suivant :
Le lieu des centres de courbure géodésique d^ une ligne de courbure est celle des développées de cette courbe qui est V enveloppe des normales à la courbe situées dans le plan tangent à la surface, ou, ce qui est la même chose, qui est V arête de rebroussem,ent de la développable enveloppée par les plans tangents à la surface en tous les points de la ligne de courbure.
638. Si la ligne de courbure a son rayon de courbure géodésique constant, la développée précédente devra se réduire à un point et, par conséquent, la ligne de courbure devra être située sur une sphère coupant la surface à angle droit.
Cette dernière conséquence a été déjà signalée par M. Ribaucour ('). Elle a permis à cet habile géomètre de donner une solution géométrique d'une question déjà résolue analjtiquement par M. O. Bonnet ( -) : Déterminer toutes les surfaces pour lesquelles toutes les lignes de courbure ont leur courbure géodésique constante.
Il résulte, en effet, de la remarque faite par M. Ribaucour que les lignes de courbure de chaque famille devront être sur une série de sphères coupant la surface à angle droit. Comme les sphères qui contiennent deux lignes de courbure appartenant à des familles différentes se coupent nécessairement à angle droit, nous aurons en premier lieu à résoudre le problème suivant :
Déterminer deux familles de sphères jouissant de la propriété que chaque sphère de Vune des familles coupe à angle droit toutes celles de Vautre.
On connaît la solution de cette question et l'on sait que^ par une inversion réelle, on peut toujours amener l'une des familles à être composée, soit de sphères concentriques ou de plans parallèles.
(') Ribaucour, Sur la théorie des surfaces {Bulletin de la Société philomathique, p. 24; 1870).
(*) O. Bonnet, Mémoire sur la théorie des sur/aces applicables {Journal de l'École Polytechnique, XLÎI' Cahier, p. 182 et suivantes; 1867).
122 LIVRE Vï. — CHAPITRE VI.
soit de plans passant par une droite. Dans le premier cas, la surface, étant coupée à angle droit par une série de sphères concentriques ou par une série de plans parallèles, ne peut être qu'un cône ou un cylindre. Dans le second cas, la surface, étant coupée à angle droit par tous les plans qui passent par une droite, est nécessairement une surface de révolution, admettant cette droite pour axe. Nous avons donc le résultat suivant :
Les seules surfaces dont toutes les lignes de courbure aient leur courbure géodésique constante sont les surfaces de révolutlonj les cônes, les cylindres et les transformées de ces surfaces par inversion.
639. Nous aurons, dans ce qui va suivre, à nous appuyer sur le théorème de Green qui donne la transformation d'une intégrale curviligne en une intégrale double. Nous allons d'abord présenter quelques remarques sur ce théorème et ses applications à la théorie des surfaces.
Considérons une portion de surface à connexion simple, limitée par un contour AA^BB^ {fi^* ^9)*> ^^ soit
{Mdu-^^dv)
une intégrale relative à ce contqur, que l'on supposera parcouru dans le sens de la flèche.
Supposons que les fonctions M et N de u et de p restent finies, uniformes et continues et qu'elles admettent des dérivées pour tous les points à l'intérieur du contour. Le théorème de Green nous apprend que l'intégrale simple précédente peut être remplacée par une intégrale double relative à toute l'aire limitée par ce contour. Les remarques suivantes conduisent à ce résultat par la voie qui nous paraît la plus naturelle.
Le caractère essentiel d'une intégrale double, d'une fonction de surface, est évidemment le suivant : si l'on'décompose par des sections la surface en deux ou plusieurs parties, l'intégrale totale est la somme de celles qui sont relatives à ces diverses parties. Or il est aisé de voir que cette propriété appartient à notre intégrale curviligne; car, si Ton découpe l'aire en deux parties par la ligne AHB, l'intégrale relative au contour primitif A A'BB' est la somme
des intégrales relatives aux deux contours partiels AA'BHA, AHBB'A que Ton peut former avec AB. En continuant ainsi à effectuer des sections et à décomposer les contours, on verra que rintégrale primitive peut être remplacée par la somme des intégrales relatives à des contours infiniment petits, parcourus dans le
Fig. 59.
même sens que le contour primitif. Or il est très aisé de montrer que de telles intégrales curviligiiÊS sont proportionnelles à l'aire du contour auquel elles se rapportent.
Considérons, en effet, un contour infiniment petit mnp {fig- 60); nous commencerons par supposer que les courbes coor-
données qui se croisent dans son intérieur forment un système de mailles analogue à celui que l'on obtient dans le plan avec les coordonnées de Descartes. Alors les coordonnées u et v varieront infiniment peu dans i'intérieur du contour, et, si Uç,, v^, désignent les valeurs de ces coordonnées pour un point A de l'intérieur,
124 LIVIlE VI. — CHAPITRE VI.
les difTérences u — «o^ ^ — ^o seront infiniment petites pour tous les points à l'intérieur du contour. C'est ce qui n'aurait pas lieu si l'on employait, par exemple, des coordonnées polaires ayant leur pôle en A; i' désignant l'angle polaire, cette coordonnée prendrait toutes les valeurs possibles à l'intérieur du contour.
Puisque les différences u — Uq, v — Vq sont infiniment petites, on pourra développer M et N par la série de Tajlor. On aura
l'indice o indiquant les valeurs des fonctions pour le point A. Par conséquent, on aura
J{Mdu-^Ndi>)= Mo fdu-^{~\ r(u-u,)du-^(^^\ fii>^Vo)du
les termes non écrits n'ayant, on le reconnaîtra aisément, aucune influence sur le résultat final parce qu'ils sont infiniment petits par rapport à l'aire comprise à l'intérieur du contour.
La première, la deuxième, la quatrième et la sixième intégrale de la formule précédente sont évidemment. nulles quand on les étend à tout le contour. Il nous reste donc à examiner seulement les deux termes
r on a
( 7 ) / ( w — Uq) dv = — l {v ^- Vq) du ^ j l du dv y
l'intégrale double étant étendue à toute l'aire limitée par le contour. On peut donc écrire
Il suit de là que l'intégrale curviligne primitive peut être remplacée par l'intégrale double dont l'élément est le second terme
LA COURBURE GÉODESIQUE. 125
de la formule précédente, et l'on a
C'est la formule de Green(').
La démonstration précédente est évidemment inférieure sous le rapport de la rigueur à celle que l'on donne habituellement et que Ton pourra consulter, par exemple, dans le Cours de M. Hermite (2)- mais elle offre l'avantage de bien faire saisir la raison de cette transformation si curieuse d'une intégrale simple en une intégrale double; elle nous montre aussi que, s'il existe des points où toutes les courbes coordonnées d'un système viennent se croiser, il faudra les entourer d'une petite courbe, et l'intégrale curviligne primitive sera égale à la somme des ijitégrales relatives à ces courbes infiniment petites, augmentée de l'intégrale double étendue à toute la portion de l'aire qui est extérieure à ces courbes.
640. Appliquons lé théorème de Green à l'équation qui donne le rayon de courbure géodésique
(q) ' — = dtii -{- r du -\- t'i dç.
(') D'après la manière même dont on a obtenu cette formule, on déterminera sans difficulté le signe qu'il faut donner, dans l'intégrale double, à rélémenl dudv. Il résulte, en effet, des équations (7) que, si l'on considère, par exemple, l'élément de surface compris entre les courbes de paramètres w, u-hdu, v, V H- dv, on a
du dv =^ - / {u dv — vdu),
l'intégrale curviligne s'appliquant au contour qui limite cette aire, parcouru dans le même sens que le contour primitif. De là on déduira facilement la règle suivante.
Définissons comme-sens positif sur chacune des courbes coordonnées le sens dans lequel augmente la coordpnnée qui demeure variable sur cette courbe. L'élément dudv devra être positif si, pour un point à l'intérieur de cet élément, la rotation qui amène la partie positive de la courbe de paramètre v du côté de la partie positive de la courbe de paramètre u est de même sens que la rotation autour du contour total; il sera négatif dyns le cas contraire.
(») Hermite, Cours autographié de la Faculté des Sciences, 3« édition, 8« Leçon: 1887.
126 LIVllE VI. ~ CHAPITRE VI.
Nous aurons donc
/ dtM — / — = — j (r du -^ /'i di>),
les intégrales étant étendues à tout contour fermé. On a, d'ailleurs, en vertu de la formule (8),
On est ainsi conduit à la relation fondamentale
où l'on peut transformer le second membre, en employant l'expression delà courbure totale donnée au n° 496. On obtient ainsi la formule entièrement géométrique
p-fî-Jh
(»') /rfto-/ - = / /^:
l'intégrale double étant étendue à toute Taire comprise dans le contour et d(7 désignant l'élément de cette aire, pris avec le signe qui lui appartient (*).
Cette équation, où figure le rayon de courbure géodésique, a été donnée pour la première fois par M. Bonnet (2). Toutes les quantités qui j figurent sont parfaitement définies; w est l'angle de la tangente au contour supposé parcouru dans le sens direct avec l'axe des x du trièdre (T); le rayon p^ doit être considéré comme positif ou négatif suivant qu'il est porté dans le sens correspondant
à l'angle w 4- - ou en sens contraire. Elle ne peut cesser d'être
vraie que s'il est impossible de rapporter l'intérieur de l'aire à
(*) Voici comblent on déterminera ce signe. Soient A un point quelconque delà surface à l'intérieur de rfa et (T) le trièdre relatif à ce point. On peut considérer dz comme un petit élément situé dans le plan des xy de ce trièdre. Si l'on tourne, dans ce plan autour de l'origine et dans le même sens que sur le contour limite, il faudra donner à d<s le signe -f- ou le signe — suivant que la rotation se fera de Faxe des a? vers l'axe des y ou en sens contraire. C'est la règle suivie habituelle* ment, d'après Gauss et Môbius, pour fixer le signe d'une aire.
(») O. Bonnet, Mémoire sur la théorie générale des surfaces {Journal de l'École Polytechnique, XXXII» Cahier, p. 124; 1848).
LA COURBURE GEODESIQUE. 1%-^
un syslème de coordonnées satisfaisant à toutes les conditions énoncées dans la démonstration du théorème de Green. Nous allons en faire différentes applications.
641. Considérons d'abord un triangle géodésique ABC (yZ^. 6 1). vSi le contour ne présentait pas les points saillants A, B, C, l'intégrale / <iw serait évidemment égale à 27:; car la tangente a fait un tour complet quand on revient au point de départ. Pour
Fie. 61.
avoir la valeur de cette intégrale, il faudra donc retrancher de 27c les angles dont la tangente tourne en A, B, C, c'est-à-dire tt — A,
7: — B, Tc — C. Comme la courbure — est nulle en chaque point
du contour, la formule (11) nous donne
C'est le théorème célèbre de Gauss.
La démonstration précédente suppose évidemment que le triangle géodésique suffit à limiter une portion de la surface, ce qui n'a pas toujours lieu dans les surfaces à connexion multiple, telles que le tore. Mais on pourrait objecter encore que, peut-être, toutes les conditions indiquées pour l'application du théorème de Green ne se trouveront pas réalisées. Pour écarter toutes ces difficultés, on peut remarquer avec M. Bertrand que le théorème de Gauss est nécessairement vrai pour un triangle géodésique fini dès qu'il est établi pour un triangle infiniment petit. Si l'on décompose en effet, par des sections géodésiques, le triangle ABC en triangles plus petits, on reconnaîtra que l'égalité relative à ce
triangle résulte de l'addition de toutes celles qui se rapportent aux triangles partiels. Il résulte de cette remarque que le théorème de Gauss est toujours vrai dès que le triangle géodésique suffit, à lui seul, à limiter une portion continue de la surface, ne contenant aucun point singulier dans son intérieur; car toutes les conditions supposées dans la démonstration sont évidemment vérifiées pour des triangles suffisamment petits limitant une aire qui ne renferme aucune singularité.
La démonstration précédente s'applique également à un polygone dont les côtés sont des lignes géodésiques ; et elle nous montre que La courbure totale d'une portion de la surface limitée par un polygone dont les côtés sont des lignes géodésiques est égale à V excès de la somme des angles de ce polygone sur autant de fois le nombre tz qu^il y a de côtés moins deux. Au reste, cette proposition plus générale est un simple corollaire du théorème de Gauss et peut s'en déduire par la décomposition du polygone en triangles.
Il est inutile de faire remarquer que le théorème de Gauss peut être envisagé comme une belle généralisation de la proposition d'Albert Girard relative à l'aire du triangle sphérique. Si on l'applique, en effet, à une surface de courbure constante et égale à l'unité, on reconnaît immédiatement qu'il donne l'aire d'un triangle géodésique en fonction des angles de ce triangle; et l'expression ainsi obtenue est identique, comme il fallait s'y attendre, à celle que l'on connaît depuis longtemps pour le triangle sphérique. Le même théorème, appliqué à une surface de courbure constante mais négative, nous montre que, dans toute surface de ce genre, la somme des angles d'un triangle géodésique est inférieure à deux droits, et que le déficit mesure précisément l'aire du triangle géodésique. Nous aurons l'occasion de revenir sur ces remarques.
642. Nous allons maintenant indiquer une application d'une nature toute différente, qui nous conduira à une expression nouvelle de la courbure géodésique. Soit AB {fig. 62) un arc de courbe quelconque; menons les géodésiques AC, BC tangentes en A et B. Nous formerons ainsi un contour ABC auquel 6n pourra appliquer là formule générale.
En raisonnant comme dans le cas du triangle géodésique, on trouve
Cddi = A + B-f-G-7c = - BGH,
et, par conséquent, la formule (lo) nous donne ici
Fiff. 62.
Si nous supposons Tare AB infiniment petit, l'intégrale double du second membre est du troisième ordre, comme l'aire du triangle ABC. On a d'ailleurs, en négligeant les infiniment petits du second ordre.
r^ds ds
p^A désignant le rayon de courbure géodésique en A. Il vient donc (.3) — =-BCH,
le rayon de courbure étant, d'après nos conventions, considéré comme positif lorsqu'il sera dirigé du côté de G.
L'angle BGH de deux géodésiques tangentes infiniment voisines a reçu de M. Liouville le nom à''angle de contingence géodésique (^). On voit que son expression, tout à fait semblable à celle que l'on emploie dans la théorie des courbes planes, nous fournit une définition nouvelle de la courbure géodésique. Gette
(') Liouville (J.), Sur la théorie générale des surfaces {Journal de Liouville, t. XVI, p. i3o; i85i).
l3o LIVRE VI. — CHAPITRE VI.
définition, que Ton peut d'ailleurs établir directement, permet de rattacher la formule générale de M. Bonnet à celle de Gauss : il suffira de remplacer chaque courbe par un polygone circonscrit formé d'un nombre illimité de lignes géodésiques.
Comme on a, en négligeant seulenient les termes du troisième ordre,
on pourra substituer à la relation (i3) la suivante
(14) ^ (-1- + -!-)=- BGH,
dans laquelle les erreurs commises sont seulement de l'ordre de ds^.
643. Il ne nous reste plus, pour achever l'étude de la courbure géodésique, qu'à faire connaître une formule élégante, due à M. Liouville, qui permet d'exprimer la courbure totale de la surface au moyen des rayons de courbure géodésique des courbes coordonnées.
Supposons l'élément linéaire donné par la formule
(i5) û?52 = A2c?M2-H2AGcosatf?w«?ç'^-G2c?t^2.
Nous avons obtenu, pour les courbures géodésiques des lignes coordonnées, les expressions suivantes [II, p. 891]
, ^, Ça dn A dm-
(16) — = — H-n, -— = — --hr.
Si l'on porte les valeurs de r, /^ déduites de ces équations dans l'expression (i 5) de la courbure [II, p. 364], on aura
ACsino( d / k\ à / C \ ^ ^*^^ RR' ~~dv\pgu/ du\pgj'^âu
dudv
C'est la formule de M. Liouville (* ). Dans le cas des coordonnées rectangulaires, elle est susceptible d'une transformation élégante.
C) On la trouvera dans l'article que nous venons de citer.
LA COURBURE GÉODÉSIQUE. lil
Eflectuons les dérivations et remarquons que l'on a
dA — AC ^ A5 .
àv ~ Pffu ' au ~ p^^,'
en remplaçant les dérivées de A et de G par ces valeurs et divisant par AC, nous -trouverons
RR' Cd, Xdu p|„ p2/
ou encore, en désignant Adu^ Cdv respectivement par (?^„, dSi,^
^ ^ RR' ^>^. as,, ~ p2^ p|/
La courbure totale de la surface se trouve ainsi exprimée d'une manière entièrement géométrique, en fonction des courbures géodésiques de deux courbes coordonnées appartenant à un système orthogonal et de leurs dérivées par rapport à la normale.
M. Bertrand a montré que la formule de M. Liouville résulte immédiatement du théorème de Gauss.
Appliquons, en effet, la formule générale de M. Bonnet au quadrilatère curviligne formé par quatre lignes coordonnées (w), (« +. Ai^), ((^), {v H- Ap) {fig. 63). On aura d'abord
diii = 21: — (tt — M') — (tt — P') — (tc — P) — (tt — M),
M, M', P, P' désignant les angles intérieurs du quadrilatère. MM'P'P. Si a désigne l'angle des lignes coordonnées, on aura évidemment
I d(xi = A„(,a,
^uv désignant, selon l'usage, la différence seconde de a lorsque u et V reçoivent respectivement les accroissements Aw et Ac
/ds — étendue à tout le contour.
On aura
rds r^' A du r^Gdv r^'kdu r^Cdi>
J 9e ~Jh P« ^Àr 9^ Jp P'* du P«/
c'est-à-dire
rds ^ r^^kdu ^ r^Cdç
et, par conséquent, la formule de M. Bonnet nous donnera
l'intégrale double étant étendue à tout l'intérieur du quadrilatère. Si Au et A(^ deviennent infiniment petits, cette formule se réduit évidemment à celle de M. Liouvîlle.
Fig. 63.
v+Avi
Hu+Au)
Nous allons indiquer quelques applications. Supposons d'abord
que les lignes coordonnées soient toutes des géodésiques;
seront nuls et l'on aura, pour l'expression de la courbure.
AC sina ()-a ^'^^ RR' ^ ôû~ch^'
Si l'élément linéaire de la surface a été ramené à la forme
( 20) ds- —- du- ■+- dv' -h 7. du dv- cos oc,
oa aura
du
Ov
et, par conséquent,
sina d'^%
RR' ôudv
La forme (20) de l'élément linéaire, sur laquelle nous aurons roccasion de revenir, offre quelque intérêt au point de vue géométrique ; si Ton fait croître les variables u el<^ par degrés égaux, on obtient une division de la surface en losanges infiniment petits dont les côtés sont tous égaux, mais dont les angles sont variables. Considérons, avec M. Tchebj'chef (* ), une étoffe formée par deux systèmes de fils croisés à angle droit. Si l'on admet, avec l'éminent géomètre russe, que, dans toute déformation de l'étoffe, le point d'intersection de deux fils rectangulaires quelconques n'est pas changé, mais que Pangle seul de ces deux fils a pu varier, il est clair que l'élément linéaire de la surface formée par l'étoffe, primitivement défini par la formule
prendra, par la déformation de l'étoffe, ,1a forme
ds- = du- ~ di>- -h 2 cos a du dç,
où a sera une fonction quelconque de a et de i^. Ainsi, d'après les idées que nous venons d'exposer, il faudrait, pour habiller une surface, résoudre le problème de Géométrie suivant :
Ramener, par un choix convenable des courbes coordonnées , r élément linéaire de la surf ace proposée à la forme (20).
644. Revenons maintenant au théorème de Green et supposons que plusieurs courbes soient nécessaires pour limiter la portion de surface que l'on considère. Ce cas peut se présenter pour les surfaces les« plus simples, comme le plan, la sphère, etc. Par exemple, on peut considérer {fig. 64) la portion d'une surface comprise entre la courbe (A) et les courbes (B) et(C). On suivra, dans ce cas, la méthode bien connue et l'on fera des sections qui nous ramèneront à l'hypothèse examinée en premier lieu. Ici, par
(') TcHEBYCHEF, Sur la. coupe des vêtements {Association française pour l'avancement des Sciences. Congrès de Paris, p. i54;.i878).
l34 LIVRE VI. — CHAPITRE VI.
exemple, nous joindrons par des traits a^ el os les courbes (A) el (B), (B) et (C), transformant ainsi la portion de surface considérée en une aire à connexion simple; puis nous suivrons le contour total apySeÇvieSSj^axXa, dans un sens ou dans l'autre, par exemple de manière à laisser toujours l'aire à notre gauche. Les chemins ap, 8î étant parcourus deux fois en sens contraire, les valeurs de Tintée^rale
{Udu-h^dv)
relatives à ces portions du contour se détruiront si, conformément à l'hypothèse, les fonctions M et N sont uniformes; et il restera
Fig. 64.
feulement à étendre l'intégrale précédente aux trois courbes (A) (B), (C), parcourues chacune dans un sens tel que Taire considérée soit toujours à la gauche du mobile. On aura donc, en répétant la démonstration que nous avons donnée plus haut,
du ->^Y^ dv
im-
'dv )
du dv ,
le signe \] indiquant que l'intégrale du premier membre doit être
étendue à toutes les courbes limites. Et, s'il existe, à l'intérieur de l'aire, des points pourlesquels les conditions deconlinuité ne soient pas satisfaites, on les isolera par une courbe que l'on joindra à celles qui limitent la région considérée.
Faisons l'application à la formule qui donne le rayon de cour-
LA COURBURE GÉODÉSIQUE. l35
bure géodésiqtie*, nous aurons
les signes ^ <^t / ayant la même signification que précédemment.
64o. Dans le cas où la surface n'a pas de limites et où les conditions que nous avons énoncées sont remplies en chaque point de la surface, on aura
C'est ce qui a lieu, par exemple, pour le tore engendré par un cercle tournant autour d'un axe situé dans son plan mais ne le rencontrant pas. Si l'on rapporte cette surface au système formé par les méridiens et les parallèles, toute région infiniment petite de la surface sera traversée par le réseau de ces lignes comme une région du plan l'est par des droites parallèles à deux axes coordonnés. La courbure totale du tore sera donc nulle. On peut confirmer ce résultat en considérant successivement la portion convexe et la portion à courbures opposées de la surface. La portion convexe, par exemple, est limitée par les deux parallèles extrêmes de la surface. Pour chacun d'eux, on a évidemment
rds
et, par conséquent, cette portion convexe a pour courbure 4'^^- Quant à la courbure de l'autre portion, elle est exprimée par des intégrales étendues aux mêmes contours, mais dont tous les éléments sont égaux et de signe contraire à ceux des intégrales précédentes. Elle est donc égale à — 4"^ et la courbure totale est nulle.
Une sphère, un ellipsoïde ont évidemmient une courbure totale égale à ^tz. Les remarques précédentes nous conduisent par suite à cette conclusion qu'il est impossible de rapporter ces surfaces à des systèmes de coordonnées permettant de découper chaque région de la surface en mailles rectangulaires. Et en effet, quel que soit le système de coordonnées employé sur une sphère, il y aura toujours, dans l'application de la formule générale, des points ou des
l3G LIVRE VI. — CHAPITRE VI.
lignes à isoler. Si Ton rapporte, par exemple, la sphère au système formé des méridiens et des parallèles, il faudra isoler les deux pôles; si Ion emploie les coordonnées elliptiques, il faudra isoler les quatre foyers, etc. Mais on peut appliquer la formule générale à la zone comprise entre deux parallèles de colatitudes 8q et hi . On aura, pour le premier parallèle,
/ duj = o.
rds
— 1 = 1T. COSOo
et, pour le second,
rds
— 1 — = — 9. r cos
La formule générale deviendra
(25) 2r^COSf)o— COSeiJ= / I ^,
ce qui est bien d'accord avec les résultats connus.
646. Nous doDoerons. en terminant, une transformation de la formule générale qui permet d'éliminer la courbure géodésique. Nous avons vu (n° 631) qu'étant donné un arc de courbe MM', si l'on porte sur les normales géodésiques des longueurs infiniment petites ).. la variation de cet arc a pour expression
^*ivi' r^\ds
Si nous appliquons cette formule à un contour fermé et si nous supposons /. constant et égal à o^, elle nous donnera
s désignant l'arc de la courbe et l'ioLégrale étant étendue àtoutle contour. L'emploi de cette relation permet d'écrire la formule (24) A sous la forme -^
Mais il importe de remarquer que, d'après la convention relative au signe de 0^, la longueur constante on doit être portée sur
LA COUKBLRE GÉODÉSIQUE. 187
la portion des normales géodésiques du contour dirigée vers V intérieur de l'aire^ si le contour est supposé parcouru dans le sens direct. Pour définir d'une manière tout à fait précise le sens direct, il suffit d'imaginer un observateur placé sur la surface du même côté que la partie positive 0^ de l'axe des z du trièdre (T). Le sens direct sera celui dans lequel cet observateur suivrait les diverses parties du contour en laissant toujours à sa gauche l'aire considérée.
Les intégrales / d<ji qui figurent dans la formule (27) sont
étendues aux différentes courbes qui forment le contour. Soit (C) l'une de ces courbes: si elle n'a aucun point saillant, l'intégrale correspondante sera évidemment un multiple de 27r, puisque, après un tour complet, les lignes trigonométriques de w reprennent la même valeur ; si , au contraire, Ja courbe est brisée, on aura
d(M = ihr. — I.^,
h étant entier et 2Q désignant la somme des angles Q dont la tangente tourne brusquement à chaque point saillant.
647. Les propriétés que nous venons de faire connaître successivement se ramènent en dernière analyse au beau théorème de Gauss sur la courbure du triangle géodésique. Il est naturel de se demander si ce théorème constitue une propriété caractéristique des lignes géodésiques. La réponse à cette question n'offre aucune difficulté.
Reprenons la formule (9) qui donne le rajon de courbure géodésique et qui conduit à l'équation
<-> l'-ffrJI
