DÉTERMINATION DES GÉODÉSIQUES PAR LA MÉTHODE DE JACOBI
Surfaces de révolution; lignes géodésiques. — Équation de Glairaut. — Détermination des surfaces pour lesquelles les géodésiques sont généralement fermées; celles de ces surfaces qui ont un équateur sont applicables sur la sphère. — Géodésiques des surfaces dont l'élément linéaire est réductible à la forme étudiée par M. Liouville
Forme géométrique que l'on peut donner à l'intégrale première. — rremicre application au plan et à la sphère. — Géodésiques de l'ellipsoïde; leur discussion sommaire et leur division en trois espèces. — Propositions géométriques se rapportant à l'élément linéaire de Liouville; coniques géodésiques isothermes; familles de courbes qui peuvent être regardées de deux manières différentes jcomme formées de coniques géodésiques. — Extension de divers théorèmes de Graves et de M. Chasles.
578. Nous avons vu [II, p. 4^8] que si l'élément linéaire d'une surface est donné sous sa forme Ja plus générale
(i) ds^ ^ E c?m2 -| 2.F du dç-^ G dv^,
la détermination dès lignes géodésiques de la surface se ramène à D.- III. I
celle d'une solution, contenant une constante arbitraire C, de l'équation
/)A /ift
OU p et ^désignent, selon l'usage, les dérivées partielles j-'> -r-' Alors l'équation générale d'une ligne géodésique sera
C désignant une nouvelle constante; et, en chaque point de cette ligne, on aura
les différentielles du^ dv^ ds se rapportant à un déplacement sur la ligne géodésique.
579. Une solution 6 satisfaisant à la condition que nous venons d'indiquer s'obtient presque immédiatement dans quelques cas simples, que nous allons étudier en premier lieu.
Supposons d'abord que E, F, G dépendent de la seule variable u ; auquel cas, on le reconnaît aisément, l'élément linéaire (i) convient H une surface applicable sur une surface de révolution. On pourra prendre alors
G désignant une constante; et l'équation (2) fera connaître f'(w), d'où l'on déduira par une quadrature k fonction ^{u) et, par suite, la fonction B. On trouve ainsi
(5) e=zGp-+-/ 5^ ^ "^ —du,
et il suffira de porter cette valeur de 8 dans l'équation (3) pour obtenir l'équation générale des lignes géodésiques.
580. Gonsidérons, par exemple, une surface de révolution dont l'élément linéaire soit donné sous la forme
DÉTERMINATION DES GEODESIQUES. 3
OÙ /' est une fonction de u] u désignera l'arc du méridien compté à partir d'une origine fixe et r le rayon du parallèle passant par le point de coordonnées w, v. On aura ici, en mettant a au lieu de C
(6) e = av -h l\/r'-—a^~>
et l'équation générale des géodésiques sera
/du
avec les deux constantes arbitraires a et a! , L'équation différentielle du premier ordre
a du
r^ri—a'^
des lignes géodésiques qui correspondent à la même valeur de a peut se mettre sous la forme élégante
(9) /• sinw = «,
ta désignant J'angle que fait en chaque point la ligne géodésique avec le méridien de la surface. Cette dernière relation, qui est due à Clairaut et qui est très utile pour la discussion, n'est d'ailleurs qu'une conséquence du théorème des moments lorsqu'on regarde la ligne géodésique comme la trajectoire d'un point qui n'est soumis à aucune force.
Il résulte immédiatement de la formule (^ ) que toutes les géodésiques qui correspondent à la même valeur de a et à des valeurs différentes de d sont les différentes positions que prend l'une d'elles en tournant autour de l'axe, l^es trajectoires orthogonales de ces différentes positions s'obtiennent en égalant à une constante la fonction B définie par l'équation (6).
Sous l'une ou l'autre de ses formes (8) ou ('9), l'intégrale première admet une solution singulière qu'il faudra évidemment rejeter. En faisant, par exemple,
du = 0, r — a^
on obtiendrait un parallèle quelconque de la surface. Or il est
évident a priori qu'un parallèle ne peut devenir une ligne géodesique que dans le cas où son plan coupe la surface à angle droit, le rayon du parallèle passant alors, en général, par un maximum ou un minimum.
581. Sans nous ari^ter à expliquer comment s'est introduite cette solution étrangère, nous l'emarquerons que les équations (8) et (9) rendent possible une discussion générale de la ligne géodésique. On verra aisément que, si le méridien a des branches infinies, il y a des lignes géodésiques qui s'étendent elles-mêmes à l'infini. Elles deviennent généralement asymptotes à une section plane parallèle à l'axe; mais elles peuvent aussi tourner indéfiniment autour de cet axe, comme il arrive dans le cylindre et dans le paraboloïde de révolution. S'il y a sur la surface un parallèle minimum, il y aura généralement des lignes géodésiques se rapprochant indéfiniment de ce parallèle, sans jamais ^e confondre avec lui. C'est ce qui a lieu pour l'hyperboloïde de révolution ( * ). Dans ce qui va suivre, nous nous contenterons d'examiner le cas particulièrement intéressant où la surface admet un parallèle maximum^ et nous allons montrer qu'il existe une infinité de lignes géodésiques dont le cours se déroule tout entier dans la zone qui contient ce parallèle.
582. Soit MM' (^^^ 37) le pai^llèle maximum de rayon OM=R et soient PP' , QQ' deux parallèles de rayon égal à a qui limiteront une zone, divisée en deux parties généralement inégales par le parallèle MM'. Il est évident que les lignes géodésiques, toutes égales, définies par l'équation
/a du ^ -h const.
(') On pourra consulter, dans le bel Ouvrage de M. G.-Il. Halphen, une étude développée des lignes géodésiques des surfaces de révolution du second degré. Voir Traité des fonctions elliptiques et de leurs applications, t. II, Ghap. VI. Dans le cas de l hyperboloïde de révolution à une nappe, il y a trois espèces dif-' férentes de lignes géodésiques. Les unes sont tangentes à un parallèle de la surface, les autres rencontrent sous un angle fini tous les parallèles et le cercle de gorge; enfin, la troisième espèce est formée de géodésiques asymptotes au cercle de gorge.
