Considérons un faisceati de courbes (cp) représenté par

l'équation

(p(M. p) = const.

et une courbe fermée (A) {Jig. 65), Calculons, en chaque point de (A), Tangle 8 de la courbe (A) et de la courbe (<p)qui passe en ce point, supposées l'une et l'autre parcourues dans le sens indiqué par les flèches. Si l'élément linéaire est donné sous la forme de Gauss, on aura

(i) cosO = ^-^ »

^ ' ds ùs

les symboles delose rapportant respectivement à la courbe (A) el à la courbe (^). On aura donc

do ^ do ^

-^ ÙU -+- ^^ ùv = o,

ou âç

LES CERCLES GEODESIQUES.

et, par conséquent.

tu

5^ H v/Ac5

do Iv du

Ts ''

H /Ao

H désignant le radical y/EG — F- et Acp étant le paramètre différentiel déjà rencontré dans la théorie des lignes géodésiques. Le radical aura son signe déterminé par la condition que les valeurs

Fi g. 65.

de (ju^ ôp» correspondent au sens marqué par les flèches sur les courbes (cp). En portant les valeurs de S<<, Zv dans l'expression de cos8, on trouvera

i.-^ ^ F ^ G ^ — F -"^ " ôv ')u , du dv ,

as cos8 = ~z — du t=z — av.

ou, plus simplement

ds cos6 =:= H ^^ du - H ^^^T- dv.

Par suite, l'intégrale

cosO d:i

étendue au contour (A) sera égale, d'après le théorème de Green,

à l'intégrale double

\ Ou

du dv,

étendue à toute l'aire limitée par le contour.