SOLUTION DUN PROBLEAIE FONDAMENTAL

drons la suivante

Si A^ n'est pas une fonction de cp, A' cp, ne sera pas une fonction de (fi ; autrement les deux surfaces ne pourraient être applicables Tune sur l'autre; Acp et A' cp, pourront donc jouer le rôle des fonctions que nous avons appelées plus haut '^ et 6,. Le SYStème des équations (8) et (9) se réduira ici au suivant

Acp = A'o,, (10) <

A(cp, Ao) = AH'cpi, Aïo,),

AA(p = AiAi<pi,

et il suffira que les deux dernières équations soient des conséquences des deux premières pour que les su'rfaces (S), (I,) soient applicables l'une sur l'autre.

Notre raisonnement ne suppose en rien, on le voit, que cp soit la courbure totale et il s'appliquerait sans modification si l'on savait a p?iori que deux fonctions quelconques cp(w, ç), cpi (f^,, (;,) doivent prendre la même valeur aux points correspondants des deux surfaces. Le théorème de Gauss n'intervient dans cette analyse que pour nous faire connaître une fonction invariante. Le fait que cette fonction est la courbure ne joue qu'un rôle secondaire dans nos raisonnements; mais il n'en est plus ainsi, et la signification de <p reprend une grande importance, dans les cas particuliers que nous avons écartés et que nous allons maintenant examiner.

688. Supposons que, pour la surface (S), Acp soit une fonction de cp, F(cp); il en sera de même pour l'autre, et l'on devra avoir évidemment

Al cp, = 1^-^(9,),

sans quoi les deux surfaces ne seraient pas applicables Func sur l'autre. Nous supposerons cette première condition satisfaite.

L'équation

exprime que les lignes sur lesquelles la courbure totale est la

même forment une famille de courbes parallèles. Nous avons

D.— III. l'i

226 LIVRK VU. — CHAIMTKI' II.

déjà rencontré au n'' 671 les surfaces jouissant de celte propriété etnous avons même donné la forme de l'élémenljinéalre lorsqu'on prend un système de coordonnées formé de ces courbes parallèles et de leurs trajectoires orthogonales. Il nous suffira de remarquer ici que Télément linéaire est de la forme bien connue

où l'on a (n" 67!2)

(II) du= -^•

On peut établir entre les invariants de la surface une relation qui nous sera utile. Si l'élément linéaire d'une surface est ramené

à la forme

ds^^^dir-^C^dv^^ on a

L du ' kH g du-

el de là on déduit

(i2) ^{u, ^2l() = — '■^ — {^iuy^^

Celle équation est tout à fait générale. Mais, si nous supposons maintenant que la surface soit une de celles que nous voulons étudier et que les courbes de paramètre u soient celles sur lesquelles la courbure cp demeure constante, A'^p deviendra une fonction de cp ; u sera aussi une fonction de <p, définie par l'équation ( i i ), et la relation (12) se transformera dans la suivante

qui convient aux surfaces dont nous nous occu[)ons et ne eontienl d'ailleurs qu'en apparence des intégrales et des jadicaux.

Prévenons auK deux surfaces (ï), (^»)- A^ous sa\ons qu'aux points correspondants on doit avoir

j Acp(a, (•) -^ Aic&,(i/i, v^)\

mais ces deux relations, en vertu des liy[)Ollièses actuelles,"se ramènent à une seub'. Nous obtiendrons une équation nouvelle en

SOLUTION d'un l'KOBLÈiMi: K 0 N D A M RNT A L. l'i-J

exprimant que les invariants du second ordre sont égaux, c'està-dire que l'on a

Pour la simplicité des raisonnements," nous écrirons cette équation soiîs la forme équivalente

Acp

et nous 'ui adjoindrons la suivante

/ r do \ f . r a<Pi

Cela posé, si nous supposons que A^ / -— ne soit pas une fonction de C2 et que A! / ll ne soit pas une fonction de o,, les deux

équations (i4) [qui se réduisent à une seule] et l'équation (i5) définissent une ou plusieurs correspondances entrç les points de deux surfaces. Si l'une de ces correspondances entraîne comnje conséquence l'équation (i6), les deux surfaces seront applicables l'une sur l'autre.

En effet, en vertu de l'identité (i3), les équations (i4) et (i5) entraînent la suivante

et enfin l'identité, démontrée au n'' 673,

62(0, A,) ^ A2(cp, A2) = Acp AAo,

qui a lieu pour les deux surfaces, nous donnera de même

do /• do 1