CHAPITRE IL

SOLUTION d'un problème FONDAMENTAL '. RECONNAITRE SI DEUX SURFACES SONT APPLICABLES l'uNE SUR l'auTRE.

Deux surfaccb pour lesquelles la courbure totale est constante et a la même va leur sonr toujours applicables l'une sur l'autre; mais on ne sait réaliser cette application des deux 'surfaces l'une sur l'autre que dans le cas où la courbure totale est nulle. — Si l'on savait déterminer les géodésiques des deux surfaces, on pourrait réaliser l'application; mais la détermination de ces géodésiques dépend de l'intégration d'une équation de P.iccati. — Méthode permettant de reconnaître si deux surfaces à courbure variable sont applicables l'une sur l'autre. — Cas général. — Emploi des paramètres différentiels. — Cas particulier où les courbes sur lesquelles la courbure totale conserve une même valeur sont parallèles les unes aux autres. — Cas plus spécial encore ou ces courbes forment en outre une famille isotherme; les surfaces sont alors applicables sur des surfaces de révolution. — Étude de deux problèmes particuliers; recherche des surfaces réglées qui sont applicables sur des surfaces de révolution ; recherche des surfaces gauches qui sont applicables sur une autre surface réglée sans que les génératrices rectilignes soient des courbes correspondantes sur les deux surfaces.

683. La théorie des paramètres différentiels permet de résoudre simplement la question suivante :

Reconnaître si deux surfaces sont applicables l'une sur l'autre ou si deux formes de l'élément linéaire^ sont équivalentes.

Voici la solution que nous donnerons de cette importante question.

Commençons par considérer le cas exceptionnel où la première surface (S) a une courbure constante; d'après le théorème de Gauss, la seconde surface (S') ne pourra être applicable sur la première que si elle a une courbure constante, égale à celle de la première. Supposons que cette condition, qui est nécessaire, soit remplie : nous allons montrer que les deux surfaces seront applicables l'une sur l'autre.

En effet, considérons, sur une surface à courbure constante -^\

SOLUTION d'un problème FONDAMENTAL. 219

un système de coordonnées formé par les lignes géodésiques qui passent par un point fixe quelconque de la surface et leurs trajectoires orthogonales. Nous avons vu (n° 599) que l'on aura pour l'élément linéaire la forme réduite

(i) ds'^= a'^{du'^^^\n'^ud^>'^).

Si, au contraire, la courbure est négative et égale à -^^ on trouvera de même

(2 ) ^^2 -3 a2 du'^ -+- ( — — \ dv^\.

Enfin, si la courbure était nulle, on aurait, pour le même système de coordonnées,

(3) ds'^ - dii^ -\- ir- dvK

Ces trois formes réduites nous permettent de résoudre complètement la question proposée. Etant données deux surfaces (S), (S'), de même courbure totale, nous allons démontrer qu'elles sont applicables Tune sur l'autre, et cela d'une infinité de manières.

Prenons un point quelconque M sur (S) et faisons-lui correspondre un point quelconque M' de (S'). Cela posé, à un point P de (S) ne peut correspondre sur (S') qn'un point P' dont la distance géodésique à M' égale la longueur de la ligne géodésique PM. Je prends un point quelconque P' satisfaisant à celte condition et je dis qu'on peut, de deux manières différentes, appliquer les deux surfaces l'une sur l'autre de telle sorte qu'à M et P correspondent respectivement M' et P'.

En effet, rapportons les deux surfaces aux systèmes de coordonnées polaires dont les pôles sont M et M'. En écrivant que les arcs correspondants sont égaux, on sera conduit à une équation

du^-^(f^{u)dv'^= du'^-h o2(w')<fp'2,

OÙ 'f{u) désigne l'une des fonctions w, sinw, qui figurent

dans les fprmules (i), (2), (3). Si M doit correspondre à M', on devra avoir aux points correspondants u = «', et, par suite, l'équation précédente deviendra

dv- — dv'-

tl20 LIVRE VU. — CHAPITRE II.

OU, en intégrant,

i>± v' = const.

Soient Wo, ^o les coordonnées du point P; u'^, v'^^ celles de P'. En écrivant que P et P' se correspondent, on détermine la valeur de la constante, et Téquation entre ç et v' devient

Il y a deux solutions, correspondantes au double signe du second membre.

Considérons, par exemple, deux sphères égales et deux arcs de grand cercle égaux MP, M'P^ pris respectivement sur ces deux surfaces. On peut amener les sphères à coïncider de manière que M', P soient respectivement en M et P. Alors on peut établir la correspondance entre les deux surfaces, soit en regardant comme homologues les points de deux surfaces qui sont maintenant confondus, soit en faisant correspondre à l'un de ces points son symétrique par rapport à l'arc MP. Telle est ici l'interprétation géomé-^ trique des deux solutions précédentes.

684, Nous venons de démontrer que deux surfaces à courbures constantes et égales sont applicables l'une sur l'autre, et d'une infinité de manières; mais il ne résulte pas de là que l'on puisse toujours réaliser l'application et établir les équations qui relient les deux points correspondants. Pour être effectivement appliquée, la méthode que nous avons suivie exige évidemment que l'on connaisse les lignes géodésiques sur les deux surfaces données: Nous sommes dpnc conduits à nous proposer la question suivante :

Etant donnée une surface à courbure constante, peut-on déterminer ses lignes géodésiques?

Dans le cas où la courbure totale est nulle, la réponse à cette question n'est pas douteuse. Étant donné l'élément linéaire d'une surface développable, on peut toujours, par de simples quadratures, le ramener à la forme

Par suite, l'équation des géodésiques, qui est une relation

SOLUTION d'un problème FONDAMENTAL. 221

linéaire entre x et y y s'obtiendra dans tous les cas par de simples quadratures.

Soit, en effet,

ds'^ =z E du"^ -^ iF du di> -^ G dv^

un élément linéaire pour lequel la courbure totale, définie par la formule (58) du Chapitre précédent, est éjrale à zéro. Il résulte de la signification même de cet invariant et de la méthode que nous avons suivie au n"* 682 que Ton pourra ramener l'élément linéaire précédent à la forme

(4> ds^ = dx^ -i- dy^;

et, par suite, il existera une fonction X telle que les deux expressions

X ( /Ë du

du.-\ r^ — di^

soient, l'une et l'autre, des différentielles exactes d(a: -{- iy) el d{^x — iy). Si nous écrivons les conditions d'intégrabilité, nous aurons les équations de condition

à F-hill^

-au ^Ê '

0 F — iH

Remplaçons dans ces équations X par e'V- et résolvons par rapport aux dérivées de [x; nous aurons

\ du~ H Ou ~ 2EH dû 2H "^

^ ^ ' Oix i OG F • ()E

dv 2 H du •>EH dv

H suffit de se rappeler que la courbure totale est nulle et de comparer'à l'équation (58) du Chapitre précédent pour reconnaître qu'il existe effectivement une fonction |jl satisfaisant à ces deux équations. Cette fonction une fois déterminée par une quadrature.

on portera la valeur e^l^ de X dans les expressions (5) et l'intégration de ces différentielles fera connaître x H- iy et x — iy. Il suffira donc de trois quadratures effectuées sur des différentielles à deux variables pour ramener l'élément linéaire à la forme (4) et, par suite, pour trouver les lignes géodésiques.

685. Passons aux surfaces à courbure constante et, pour fixer les idées, supposons que la courbure soit positive et égale à — (pour une surface à courbure négative, il suffira de changer a en a\/ — I dans les résultats que nous allons obtenir). Conservons toutes les notations du Livre V (Chap. I); il est clair que, lasurface ou l'élément liiiéaire étant donné, si l'on détermine pour chaque point la position du trièdre (T) par rapport aux lignes coordonnées, on aura, en chaque point de la surface, les translations ?, il, r^. Y], et, par suite, les rotations ret r^ (n° 484). Ces six quantités ne changent pas lorsqu'on déforme la surface; par conséquent, si l'on veut l'appliquer sur une sphère (S) de rayon a, elles auront les mêmes valeurs aux points correspondants de (S) et de (2). Mais, pour le point de (S), les deux rajons de courbure principaux sont égaux à a et, de plus, les directions principales sont indéterminées. Il faut donc que les deux équations (lo) [II, p. 352], qui définissent les directions principales, soient identiquement vérifiées quand on y fait p = a. On obtient ainsi les

équations

^ -^ aq = o, T^ — ap — o,

qui déterminent p, q^ /?<, ^, ; de sorte que l'on connaît toutes les rotations et les translations du trièdre (T). La détermination effective du mouvement de ce trièdre et, par suite, l'application de la surface (2) sur la sphère (S) dépendent donc, d'après les principes exposés au Livre I, de l'intégration d'une équation de Riccati. Or, lorsque cette application des deux surfaces l'une sur l'autre sera effectuée, on connaîtra évidemment les lignes géodésiques de (S); elles correspondront aux grands cercles de (S). Ainsi :

La détermination des géodésiques d'une surface à courbure

SOLUTLON d'un PROBLÈME FONDAMENTAL. '223

totale constante et différente de zéro dépend de l' intégration d^une équation de Riccoti

686. Supposons maintenant que les deux surfaces (S),(S|) soient, Tune et l'autre, à courbure variable; soient u. v les coordonnées qui déterminent un point de (S), Wi v^ celles qui déterminent un point de (S,). Pour que les deux surfaces soient applicables l'une sur l'autre, il faudra que l'on puisse déterminer pour u ei V des fonctions de u^^ v^ donnant identiquement

^ du'^ -^ i¥ du dv -\- Gâ?i^2= Ej du\-^ i¥^ du^ dv^-^~ Gi dv\,

et cette équation nous montre tout de suite que u Ql v doivent être des fonctions indépendantes*, car, si u était fonction de v^ le second membre serait un carré parfait.

L'application des méthodes générales conduirait pour u eX s^ k trois équations aux dérivées partielles du premier ordre. Le problème posé, envisagé sous ce point de vue, consisterait donc à reconnaître si ces trois équations peuvent être vérifiées par un ou plusieurs systèmes de valeurs de u et de v. •

Mais les propositions que nous avons établies précédemment vont nous permettre de reconnaître par de simples éliminations si les deux surfaces (S), (S,) sont applicables l'une sur l'autre. Nous savons d'abord qu'aux points correspondants des deux surfaces les courbures totales doivent être égales. Si nous désignons, par conséquent, par cp(w, v) et (p,(w,, v^) les expressions de la courbure totale, formées respectivement avec les éléments des surfaces (2), (Si), nous devrons avoir l'équation^

(7) ?,(", t;) = ?i(wi, Vi).

D'autre part, s'il existe une transformation de coordonnées permettant de passer de l'élément linéaire de la surface (S) à celui de la surface (24), tout invariant de la fonction cp, formé avec l'élément linéaire de (S), devra être égal à l'invariant correspondant de cpi formé avec l'élément linéaire de (S<). Cette remarque nous permet de former une suite illimitée de relations entre w, v^ Wj, (^,, qui seront toutes nécessaires.

Le principe suivant va nous aider à nous reconnaître au milieu

^^i LIVRE Vil, -- CHAPITRE II.

de toutes ces relations et d'écrire seulement celles qu'il est indispensable de considérer.

Soient

(8) ^(i^, ^) = ?i(^u t^i), ^(u, V) =^t{ui, Vi)

deux quelconques d'entre elles, que -l'on choisira de manière à satisfaire à cette unique condition que les deux fonctions cp et tj> soient indépendantes. Alors il devra eh être de même des fonctions cp, et ^x ; sans cela, les surfaces ne pourraient être applicables l'une sur Fautre. Dans ces conditions, les équations précédentes, résolues par exemple par rapport à w et à i^', définiront une ou plusieurs correspondances distinctes entre les points des deux surfaces (S), (S, ). Il est donc nécessaire, d'après la théorie même des invariants, que l'un au moins des systèmes ainsi obtenus de valeurs de w et de ^ vérifie les trois équations

(9) Acp=Aicp,, A(cp, 4;) = Ai(cpi, tl/i), Ai|; = Ai(^i),

oii l'indice supérieur i indique les paramètres différentiels formés avec l'élément linéaire de (S,). Mais nous allons montrer que, si la condition précédente est nécessaire, elle est aussi suffisante. En effet, puisque les fonctions (f et ^ sont indépendantes, nous pouvons déterminer un point de la première surface par les valeurs qu'y prennent cp et tj;, et, d'après la formule donnée plus haut, l'élément linéaire de cette surface (S) aura pour expression

A'I» d'f~ — 1 \{o, ^) d(^ d^ -h- Acp d'\i'i ^^"^ AcpA^J; — A2(çp, ^)

De même, l'élément linéaire de (S, ) sera réductible à la forme

2 ^^ 4^1 d^l — 2 Al (cpi, 'j;i ) «n?cpi d^i-\- Al oi d^} ''- AicpiAitl;i-(Ai(cpi, ^0)'

et, par suite, la correspondance établie par les cinq équations (8) et (9) nous donnera

Notre proposition est donc établie ; elle permet, on va le voir, de résoudre simplement la question proposée.

687. Reprenons en effet l'équation (7), à laquelle nous adjoin-