L I V R E V I [ . — C H A IM T R E I I

689. Il nous reste à examiner un dernier cas, c'est celui où, non seulement A'j5, mais Ao / — - serait une fonction de co. (>omnie on a

do A., (p I t) A

/do ^.^t^ I tV Acp

il est clair que cela revient à supposer A^o fonction de (p.

Si ce cas exceptionnel se présente pour l'une des surfaces, il devra aussi se présenter pour l'autre, et l'expression de A^ cp en fonction de cp ne saurait être différente pour les deux surfaces. i\ous allons montrer que ces conditions sont suffisantes : si, pour doux surfaces différentes, Aa'f et Acp sont des fonctions de cp et si les expressions de ces deux fonctions sont les mêmes, les deux surfaces sont applicables l'une sur l'autre et dUctie infinité de manières.

Soit, en effet, (S) l'une des deux surfaces. En posant

et rapportant la surface au même système de coordonnées que précédemment, on aura pour l'élément linéaire

ds^= du^-i-C'-dvK

Si Ù désigne une fonction quelconque, l'expression générale de A^O devient ici

I à / dsi\ 1 a / 1 Oii\

En prenant donc Q = o, on trouvera

I dC do d do ^ ' ~ C du du du du

ou, en tenant compte de la relation entre cp el w,

ce qui donne

^^/Acf + v/Ao^(v/A'f),

, 6^ Acp àC ' -i- do

G du

y/Acp

SOLUTION DLN PROBLIiiME FONDAMENTAL. 11^

En iritcûraril cl remplaçant du par --^, on obtient la valeur sulvante de G

où V désigne une fonction quelconque de c. Substituons cette valeur de G dans l'élément linéaire et remplaçons Y d^ par dv^ nous obtiendrons définitivement

(17) r/5'-= --^ 1 dv-.

Acj. Acp

Gettc formule démontre immédiatement la proposition que nous avions en vue. Gomme elle dépend exclusivement des expressions de A'^, Aa'f en fonction de «5?, elle sera évidemment lu même pour les deux surfaces considérées, et l'application se trouvera réalisée par les formules

a désignant une constante arbitraire. Les deu\ surfaces sont alors applicables l'une sur l'autre d'une infinité de manières, ce que l'on n'aura aucune peine à s'expliquer si l'on remarque que l'élément linéaire donné par la formule (i^) est celui qui convient aux surfaces de révolution.

Pour établir la correspondance entre les deux surfaces, il suffira de ramener leur élément linéaire à la forme (17), et il est aisé de reconnaître que cette réduction exige une quadrature pour chaque surface. En effet, si l'on tire de l'équation (17) la valeur de dv^ on trouvera

(19) (h = z^y/^'jids^—d'^^e ^ ^^ .

et le second membre, ne contenant que des quantités connues ou des invariants, pourra être obtenu sans difficulté quelles que soient les coordonnées choisies 5 par conséquent, v sera donné par une quadrature.

23o LIVRE VII. — CHAPITRE II.

690. La discussion que nous venons de terminer montre qu'il y a seulement deux classes de surfaces pour lesquelles l'application peut se faire d'une injfînité de manières : ce sont les surfaces à courbure constante et les surfaces applicables sur les surfaces de révolution. Les unes et les autres sont évidemment applicables sur elles-mêmes d'une infinité de manières. L'analyse précédente montre d'ailleurs d'une manière évidente qu'elles sont les seules jouissant de cette propriété. Toutefois l'indétermination n'est pas la même dans les deux cas : pour les surfaces à courbure constante, le mouvement de déformation dans lequel la surface glisse sur ellemême peut amener un point quelconque en tout autre point de la surface; au contraire, dans le cas des surfaces à courbure variable applicables sur des surfaces de révolution, chaque point de la sur^ face pourra seulement glisser le long de la courbe lieu des points pour lesquels la courbure totale demeure invariable.

Signalons cette consiéquence que les surfaces hélicoïdes ou de révolution ne peuvent être applicables lesunes sur les autres que si les hélices ou les parallèles sont des courbes correspondantes sur les surfaces que l'on considère. Par conséquent, les résultats des n°* 73 à 79 nous donnent bien tous les hélicoïdes et toutes les surfaces de révolution qui correspondent à une forme donnée de l'élément linéaire (').

691 . Nous allons indiquer différentes applications de la méthode précédente. Cherchons d'abord s'il existe des surfaces réglées applicables sur des surfaces de révolution. Nous savons (n" 80) que l'élément linéaire d'une surface réglée rapportée à ses génératrices rectilignes et à leurs trajectoires orthogonales est de la forme ( 2d) ^52 = du'^ -f- ( A «2 ^ 2 B w -+- G ) dv'^ = du^ -■+■ g'^ dv"^,

A, B, G étant des fonctions de v. On peut évidemment choisir la

(') On consultera, sur le problème que nous venons de résoudre:

MiNDiNG (F. )> Wi^ sich- entscheiden làsst ob zwei gegebene Flàchen auf einander abwickelbar sind oder nicht; nebst Bemerkung^n ùber die Flàchen mit unverànderlichen Krilmrnungsmaassen {Journal de Crelle, t. XÎX, iSSg).

LiouviLLE ( J.), Notes de la 5« édition de V Application de l'Analyse à la Géométrie de Monge (Notes IV et V) ; i85o.

Bonnet (O. ), Mémoire sur la théorie des surfaces applicables sur une surface donnée {Journal de l'École Polytechnique, XLP Cahier, i863).

Bertrand (J.)> Traité de Calcul différentiel et intégral^ t. I.

SOLUTION d'un problème FONDAMENTAL. 23 1

fonction ç de telle manière que l'on ait (21) AG-B2=i.

Le seul cas d'exception est celui où le coefficient de dv- est un carré parfait. A.lors la surface est développable et la s,olution de la question posée devient évidente : toutes les surfaces développables sont applicables sur le cône de révolution.

En tenant compte de la relation (21), on aura

RR' (Aw'^-+-2B«-t-C)2 ^i

Or on sait que, pour toutes les surfaces de révolution, les lignes sur lesquelles la courbure ^st comstante sont parallèles les unes aux autres. Cette propriété, à la vérité, appartient encore à d'autres surfaces, mais elle nous suffira pleinement dans ce qui va suivre.

On devra donc avoir l'équation

qui caractérise (n° 672) les familles de courbes parallèles et qui devient ici

//A KX9 (A'w2-K2B'w-4-G')2

4(Aw-t-B)2-f-^ L =/(^),

A', B', G' désignant les dérivées de A, B, G. Si nous remarquons qu'en vertu de la relation (21), on a

on voit que nous pourrons donner à l'équation précédente la forme

Pour éliminer /(^), nous allons différentier en supposant que g reste constante, ce qui donne la relation

-h [{k'u^'-h'îB'u-h- G')(A"m2| ^b"u -h G") -h 2 A'^^] di> = o.

Mais, g devant demeurer constante, les rapports de du et de d\^ sont définis par l'équation

2gd^ = o = '2{Xu-hB)du-T-(X'u'^-\-iB'u-h C')di>y

qui donne

2 du — dv

A'w2.a 2B'ti-4- G' AU-+-B

On aura ainsi, en remplaçant dans l'équation précédente duj dv parles quantités qui leur sont proportionnelles,

/ (A'w2| 2B'a + G')[(A'm -h B')(A'w2h aB'M -4- G') (2:3) — (Aîi-hB)(A"M24.2B"w-hG")]

( =2A'(Aw4- B)(Am2|2Bm4-G)2. ,

Cette relation doit avoir lieu identiquement. Si nous égalons les coefficients de la plus haute puissance de u dans les deux membres, nous trouvons

A'(A'2— AA"— 2A3) = o.

Commençons par examiner l'hypothèse

A' = o, c'est-à-dire A = const.

Alors la relation (23) prend la forme

(2B'«-i-G')[2B'2wH-B'G'— (Ai^-hB)(2B"i*-i-G'0] = o.

On peut vérifier cette équation soit en annulant le premier facteur, soit en annulant le second. Dans le premier cas, on a

et à cette solution correspond la forme suivante de l'élément linéaire

ds'^= du^-^-{au^-\-ibu^c)dv'^,

où Gj 6, c sont trois constantes quelconques.

Mais, si l'on suppose que le second facteur soit nul, on aura

AB'' = o, B'2-.BB"— — =0, B'G'-BG''=o.

Il j a deux cas à distinguer suivant que A est nul ou différent de zéro :

1® Supposons A = o; nous aurons, en tenant compte de la relation (21),

B = f , G" = o, G = mv -h n.

SOLUTIOiN I) UN