PROBLEME FONDAMENTAL

m et n désignant des constantes. On a donc

= 'xiu -\- mv -^ n.

2" Soit maintenant A :^

o; il vient

B = mv -f- 72,

^ ^ A ' Donc

// 1 - Il .

692. Il nous reste maintenant à examiner les solutions de l'équation (aS) pour lesquelles A^ serait différent de zéro. Il est aisé de voir qu'il n'y en a aucune.

En effet, si A' n'est pas nul, le second membre de la relation

(23) ne le sera pas non plus; par suite, il devra être divisible par le trinôme k! u"^ -\- i^' u -h G - H faudra donc que les deux équations

Az<2^2Ba-(-C = G, A'w2 4 2B'm + G'=o

aient au moins une racine commune. On pourra donc égaler à zéro leur résultant, ce qui donnera la relation

(24) (AC'-4- GA'- 2BB')2- 4(B2- AG)(B'2 A'G') = o. Mais, si l'on différentie l'équation (21), on a

(2.5) AG'-i-GA'— 2BB'=o,

de sorte que la condition précédente prend la forme simple

Il faudra donc que Pl u^ -\- ih' u ~\- G soit un carré parfait; mais alors Ku + B, devant, d'après l'équation (28), diviser

{k' u -^ B'){k' u"- -r- iB' u -+■ C'Y ,

admettra nécessairement la racine unique du trinôme

et, par suite, les deux équations

Aa-t-B = o, A'w5-t- aB'w -h G'= o

devront avoir une racine commune. Or cela est impossible tant que A' n'est pas nul; car l'élimination de u conduit à la condition

d'où l'on peut faire disparaître B' au moven de l'équation (25), et l'on arrive ainsi à la relation

(B2— AG)A'=o ou A'=ro,

qui est en contradiction avec notre point de départ.

693. Donc les seules solutions de la question posée sont celles que nous avons indiquées en premier lieu et qui correspondent aux trois formes suivantes de l'élément linéaire

(26) \ ds-'^du^'-^-lp^iu-^ mv^ n^^ ^dv^-,

;2 = du'-^ {2iu-h mv -\- n) dv'^-.

Ces formes peuvent elles-mêmes être simplifiées et, en distinguant tous les cas, on trouve les expressions réduites

( ds^= du^-i- udv^,

j ds^ = du^' -f- ( i^2 4- a2 ) â?p2^

^ ds^'^du^-^[{u-^avy^b^']dv'^,

ds^= du^-+- (u-\- aif)di>^.

La première correspond aux surfaces de révolution dont le méridien est défini par l'équation

-ifi''

m- dp.

p étant la distance à l'axe et z la distance à un plan perpendiculaire à l'axe. Elles sont engendrées par la révolution de la développée d'une chaînette autour de la base de cette courbe.

Parmi les surfaces de révolution en nombre infini (n^ 76) qui correspondent aux autres expressions réduites (27) se trouvent l'al}'sséide pour la deuxième forme (n*' 66), les ellipsoïdes et les hjperboloïdes de révolution pour la troisième, le paraboloïde de révolution pour la quatrième. Nous laisserons au lecteur le soin de vérifier tous ces résultats.

Quant aux surfaces réglées qui admettent les formes précédentes

SOLUTION d'un problème FONDAMENTAL. 235

de l'élément linéaire, on les déterminera par une méthode générale que nous ferons connaître plus loin. Nous nous contenterons, pour le moment, de remarquer que la première et la dernière des formes précédentes ne peuvent correspondre qu'à des surfaces dont les génératrices rectiJignes sont imaginaires.

694. Proposons-nous maintenant de reconnaître s'il existe des surfaces gauches applicables sur des surfaces gauches sans que les génératrices rectilignes des deux surfaces se correspondent, ce qui revient à rechercher si l'on peut résoudre l'équation

(28) du^-\- {au-'h ibu-^ c)dv^~ du'--^ (a-i u'^ -^ ib^u' -\- Ci)dç'^,

où a, b, c désignent des fonctions de v et a^, 6,, d des fonctions de p' sans supposer que c^' soit une fonction de (^.

Nous admettrons, comme précédemment, que l'on ait choisi i^ et (^' de telle maniera que l'on ait

(29) ac — b^=aiCi — bl = i.

Alors l'équation relative à la courbure nous montre qu'aux points correspondants, on doit avoir

au^^ nhu -f- c = «i m'^-h 261 u' -\- c^ = g^j

et notre équation (28) devient

du-^ — du"^. = ^2 ( dv'^ — dv^).

Elle admet une première solution

du''= ± du\ dv —±i dv' .

Mais alors les génératrices rectilignes se correspondent dans les deux surfaces. Cherchons donc d'autres solutions. Écrivons l'équation sous la forme

g'^i.dv -h dv'){dv — dv') = {du + du'){du'— du).

Gomme le signe de u importe peu, on peut toujours supposer qu'il y a proportionnalité entre les deux premiers facteurs de chaque membre et poser, sans diminuer la généralité,

g{dv-^ dv') ^ \{du-i- du'),

g{dv— dv') = — — (du — du').

Introduisons les variables nouvelles

on aura

dv -\- dv' = — dcL, dv — dv' = — r- <f 3.

Les seconds membres devant être des différentielles exactes, on

pourra poser

A étant une fonction de a et B une fonction de p. On déduit de là

. , du^^ dx -h d^, du == drj. — d^.

ï ^ dx d^ ^ , dot d'^

et, par suite, en choisissant a et [3 comme variables indépendantes

On retrouve ainsi, comme il fallait s'y attendre, la forme de l'élément linéaire considérée par M, Liouville.

Pour la commodité des calculs quisuivroat^ nous^allons^banger de notations. Posons

/ A = p, n^Pu

( /a ~ v^' /b ~ v/rT'

R et R, étant des fonctions qiii dépendent respectivement ^e p et de p,. Il viendra

(■^3) ^- = — PPi,

(35) ds^

SOLL'IION d'un PHOBLÈME FONDAMENTAL. 23;

et les fonctions inconnues devront être telles qur l'on ait (36) — 99 \~ ciu'^--h 2 bu -f- c = <2, w'-4- 261 ïd'-H Ci,

a, 6, c* et «1, 6|, c, étant des fonctions de i- et de i^' assujetties à la condition de vérifier les relations (29).

695. On pourrait déterminer les fonctions R et R, parla condition que nous venons d'énoncer; mais il vaut mieux remarquer que la courbure totale de la surface, calculée avec la forme primitive (28) de l'élément linéaire, a pour expression

On peut aussi la calculer au moyen de la forme nouvelle (35) de l'élément linéaire, et l'on trouve alors, en appliquant par exemple la formule (8) [II, p. 385],

Si l'on égale les deux expressions de /r, on aura l'équation fonclionnelle

R— K, R'-4-lH', 4

i9~9if (p-pi)' (?9iy-

qui suffira, nous allons le reconnaître, à la détermination des fonctions R et Rj ; mais, au lieu de résoudre la question ainsi posée, nous la généraliserons un peu et nous rechercherons si la valeur de la courbure peut être une fonction quelconque du produit pp,. Nous serons ainsi conduits à l'équation

qui comprend la précédente comme cas particulier. Pour la résoudre, nous allons la difï'érentier totalement en supposant que le produit ppi demeure constant, c'est-à-dire que l'on a

On trouve ainsi, en dilTérentiant l'équation (4<>) et en rem-

plaçant 6/p, <^p, par p et — p, respectivement.

- 6(R — Ri)(p -+- pi ) -4- 2R'('2p H- pi)(p — pi)

-f- 2Ri (2pi+ p,)(p — pi ) -f- (Rj pi— R"p)(p — pi)2= o.

Prenons la dérivée deux fois par rapport à p et deux fois par rapport à p, ; nous trouverons

pR'^-i-4R"'= plR7-+-4RT■ Par suite Jes deux membres de cette égalité doivent avoir une même valeur constante, et, si nous remarquons que le premier est la déri^'ée quatrième de pR, nous vojonsque Ton doit avoir

/ désignant un polynôme du quatrième degré à coefficients constants. L'équation de condition (4')' ^^^ ^'^^ faitp = p,, montre immédiatement- que Ton aura de même

PiRi=/(pi;.

et elle est d'ailleurs vérifiée, on s'en assure aisément, sans qu'il soit nécessaire d'imposer aucune condition aux coefficients de/(p).