CHAPITRE lY

ÉQUATION AUX DÉRIVÉES PARTIELLP:S DES SURFACES APPLICABLES SUR UNE SURFACE DONNÉE.

Méthode direcle permettant d'obtenir immédiatement l'équation aux dérivées partielles dont dépend la recherche des surjaces applicables sur une surface donnée. — Remarque de Bour sur une intégrale première de cette équation — Autres méthodes conduisant à la même équation. — Emploi des paramètres différentiels de M. Beltrami. — Développement de l'équation lorsqu'on choisit différents systèmes de coordonnées. Coordonnées symétriques. — Courbes parallèles et leurs trajectoires orthogonales. — Cas où la surface est définie par son équation en coordonnées rectilignes.

704. Nous allons indiquer maintenant différentes méthodes qui permettent de former l'équation aux dérivées partielles des surfaces applicables sur une surface donnée. Une des plus directes est celle que nous avons donnée en 1872 dans notre Mémoire surune classe remarquable de courbes et de surfaces algébriques.

Le problème po^é peut s'énoncer comme il suit : E, F, G étant des fonctions données de u et de v^ trouver toutes les fonctions x^y, z de u et de v qui satisfont identiquement à l'équation

(1) dx'^ + c?72 -+- dz^ = E du^-^ i¥ du dv ^ G dv-^ .

OÙ du et dv peuvent être pris arbitrairement . Écrivons l'égalité précédente sous la forme

(2) dx'--v-dy^='Edu'^~i¥ dudv -^Gdv'*-—dz'^.

Le premier membre représente le carré de l'élément linéaire du plan et, par conséquent, la surface dont l'élément linéaire a pour carré

¥.du''--^'>.¥dudv~Gdv^— (— du-\^ ~dvX

\ôu ov )

devra avoir sa courbure nulle. En écrivant cette condition, on obtiendra une équaUonaux dérivées partielles pour 5. Nous allons former cette équation, et nous verrons qu'elle est du second ordre. Désignons, pour abréger, par /?, ^, r, 5, t les dérivées preiiières et secondes de z par rapport à « et à (^, et, pour exprimer que la courbure est nulle, servons-nous de la formule (21) du

l.lVRli: VII. — CHAPITRE IV.

Chapitre précédent, où nous remplacerons E, F, G respeclivenient par E — p-y F — pq^ G — q^. Nous aurons l'équation

au dv