LIVRE VII. — CHAPITRE III. — LES FORMULES DE GAUSS

de D, D', D'^ et calculer DD^' - D'S ce qui donne

(DD"-D'2)c2H2

L dudif 1 di^ \ du av j i du \ dv du/]

[ du^ 2 du\ du dv j \du i d\> j \ ~d\> du ) \

L Ov- \dv 1 du J \ du dv / 'i di> \ d\^ du/]

Eq remplaçant c^ par sa valeur i — A^, tirée de l'équation (33), et DD"— D'- par son expression déduite de la formule (21), on aura une équation ne contenant. plus que les dérivées de x et les coefficients de l'élément linéaire. Cest V équation aux dérivées partielles du second ordre dont V intégration donnerait la solution complète du problème proposé. Nous l'obtiendrons par bien d'autres méthodes plus précises. Mentionnons, dès à présent, une propriété qui ressort assez simplement des raisonnements précédents.

Si Ton appelle selon l'usage r, 5, t les dérivées secondes de x^ l'équation différentielle des caractéristiques de l'équation précédente, écrite sous la forme <ï*(r, 5, t) = o, sera

— dv^ dudv + --- du^ — o.

dr ds àt

Les formules (36) nous montrent immédiatement que celte équation peut s'écrire

(38) Ddu^-}~'?.D' dudi^-\-D" dv*^ o.

Donc les caractéristiques de l'équation aux dérivées partielles (37) sont les lignes asymptotiques de la surface.

LIVRlî Vir — CHVPITRE IV. - ÉQUATION DES SURFACES APPLICABLES, ETC. 253