ÉQUATION DES SURFACES APPLICABLES, ETC
11 nous reste maintenant à examiner si toute solution de cette équation fournira une solution du problème, c'est-à-dire fera connaître une surface admettant l'élément linéaire donné.
Il semble au premier abord que la répqnse doive être absolument affirmative. Nous avons exprimé, en effet, que la surface dontl'élément linéaire a pour expression
(5) ds^ ^ E du^ -i- iF du diK -h G d\^^ — dz^
a sa courbure nulle. Or nous avons vu que, dans ce cas, on peut ramener l'élément linéaire à la forme
dx^-r- dy^
et, par conséquent, constituer une solution du problème proposé. Mais la méthode suivie au n** 684 suppose essentiellement que l'élément linéaire (5) n'est pas un carré parfait; et, d'autre part, il est aisé de reconnaître que l'invariant de Gauss s'annule quand cet élément linéaire devient un carré parfait, c'est-à-dire lorsqu'on a
Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante :
L'équation différentielle du second ordre (3) admet toutes les intégrales de V équation du premier ordre
dont dépend le problème des lignes géodésiques. Mais toute intégrale de Véquation (3) qui né satisfait pas à Véquation précédente donne une solution du problème, c^est-à-dire une surface admettant Vêlement linéaire donné.
Bour avait déjà remarqué ('), sans donner la raison de ce fait, que les solutions de l'équation (6) appartiennent à Téquation (3). D'autre part, M. Weingarten, qui, dans un travail très récent (-), a repris la méthode précédente, a remarqué qu'alors même que E, F, G et 2 seraient réels, la surface correspondante peut bien être
(') Journal de l'École Polylecl inique, XXXIX» Cahier, p. i5. i -) W'EiNaARTEN (J.), Ucber die Théorie der aufeinander abwickelbaren OberJIdchen. Berlin; 1884.
imaginaire. En effet, la solution z peut être telle que le second membre de la formule (5) soit décomposable en deux facteurs linéaires réels. Alors, si l'on ne veut employer que des fonctions réelles, il sera réductible seulement à la forme
dx'^ — dy^.
Mais celte remarque n'a évidemment d'intérêt que si l'on se préoccupe de la distinction entre les quantités réelles et imaginaires, distinction qui est secondaire dans une telle question.
Dans le travail déjà cité, j'ai remarqué que la même méthode permettrait de former l'équation dont dépend la distance du point de la surface à un point fixe de l'espace. En effet, si Ton emploie des coordonnées polaires, l'équation à résoudre sera
dri + ^2 sin2 0 c^cpi-h r« d^'^ = E du"^ -\- i¥ du dv -r- G dv'^
ou encore
Kdu^—-2)^ diidv -^Cjdv^ dr-^- . ,« j o
— = sin^Ô do^-\- d%^.
En exprimant que le premier membre est le carré de l'élémenL linéaire d'un-e surface de courbure totale égale à i, on obtiendra une éi|uatiôn ^w second ordre à laquelle satisfera r. Nous la formerons plus loin.
705. Nous allons maintenant faire connaître d'autres méthodes (pii conduiraient également à l'équation (4). Imaginons, par exemple, que l'on rapporte la surface à un trièdre (T) et reprenons le système de formules employé au Livre V (Tableau I, p. SSa).
Si nous désignons par«^, y^ z les coordonnées par rapport au trièdre (T) d'un point fixe A de l'espace, les projections du déplacement de ce point données par les formules (B) devront être toutes nulles. On'auï'a donc
^ d.v I ^ dx
l^cjz —ry -^ — ^o, I -^,-q^z-r,y+ — = o,
(7) ^ TT) -j- rx —/3^ -h ^ =0, (8) \ r^^-V r^x — p^z -{- ^ ^ o,
âz f dz
ÉQUATION DES SURFACES APPLICABLES, ETC. ib']
On sait que ç, y), i,, r,,, /• et r< dépendent exclusivement de l'élément linéaire, tandis que/?, ^, /;,, ^, varient lorsque la surface se déforme d'une manière quelconque. Posons
p désignera la moitié du carré de la distance du point fixe A aii point considéré M de la surface. Nous allons former l'équation aux dérivées partielles à laquelle satisfait p. Pour cela nous ajouterons les équations de chacun des groupes (7) et (8) après les avoir multipliées respectivement par x^y^ 5, ce qui donnera les deux équa^ lions
(lo) ^57^717-+- £ =0, ^,;27-|-Tr),j^ -? =tO.
Au moyen des formules (9) et (10) nous pourrons exprimer x^ y, z en fonction des dérivées de p et des coefficients de l'élément linéaire. Si maintenant nous tirons des équations (7) et (8) les valeurs de /?, q^ pi, Çif nous aurons
ces valeurs, substituées dans la formule dr drx
nous donneront la relation
\dv du I \ du
du
p^^rx-^^-^r,,
dx ,
dx ,
Il suffira de remplacer x, 7, z par leurs valeurs tirées des équations (9) et (10); on obtiendra ainsi une équation qui contiendra seulement p et ses dérivées des deux premiers ordres combinées avec \','r\y^\,f\\i '% ''« ^t leurs dérivées, quantités qui, comme nous l'avons déjà remarqué, dépendent exclusivement des coefficients de Télément linéaire donné. Si l'on introduit successivement les hypothèses qui correspondent aux différents systèmes de formules* D.— III. J7
que nous avons développées au Livre V [II, p. 384, 385, 38^], on aura, dans chaque cas, l'équation aux dérivées partielles dont dépond la variable p.
706. On peut employer une méthode analogue pour former l'équation à laquelle satisfait, non plus p, mais une des coordonnées rectangulaires du point de la surface cherchée rapportée à des axes fixes.
Si a, />>, c\ a! ^h' ^ ... désignent les cosinus directeurs qui déterminent la position du trièdre (ï) invariablement lié à la surface, et si x^ y^ z sont maintenant les coordonnées du point de la surface, c'est-à-dire du sommet du trièdre, par rapport à des axes fixes^ on a, comme l'on sait (n° 503),
Oor ùx
(13) — =a^-f-^7), —=a\^^by,,,
de sorte que a, b peuvent s'exprimer en fonction des dérivées de x, Ecrivons les équations
f ..-.. c/, - ar; ( ^ = e/>,.^ ar,.
Nous en déduisons
/ àb db
\ , da j àa
et si nous portons ces expressions de /?, ^, />i, q^ dans l'équation dr df'i
il viendra
llsuf'filde remplacer rtel ft par leurs valeur» lirées desrelalioiis (i3)
(17) T.-lhc^P'^'-'^'"
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