ÉQUATION DES SURFACES APPLICABLES, ETC

pour obtenir l'équation du second ordre à laquelle satisfait ^, et l'on voit de plus que toute intég^rale de Téquation (i8), pour laquelle on n'aura pas

permettra de déterminer a, b^p, q-,p{i q\ et par co-nséquent donnera une solution bien déterminée du problème proposé.

707. Enfin j'indiquerai une dernière méthode fondée sur la considération des paramètres différentiels.

Conservons les notations du n" 679; nous avons vu que, si l'on pose

les premiers invariants de p ont les expressions suivantes

Ap = 2p — P2,

A(p, P) — -^---^, Il résulte d'ailleurs de la définition de P, Q, Q' que l'on a

(20) 2p =?*-♦- Q^-HQ'2.

Ces diverses équations vont nous permettre d'établir une relation entre RR' et les invariants différentiels de p. On en déduit, en effet,

A(p, P)[A,p - 2] =- P AP - P 1L^ on, en tenant compte de l'équation (20),

A(p, P)[A,p-2]=-PAP-P|^.

Si l'onremplacePpar sa valeur tirée de la première équation (19), ce qui donne

a(p, n/2P - Ap)[ A,p - 2] = - v/'2? - Ap a(v/2P - Â^) y/ap - Ap i^, , et si l'on développe les calculs, on est conduit à la relation cher-

26o LIVRE VII. — CHAPITRK IV.

chée

(21) 4 Ap(A2p--i)-i-AAp — 2A2P A(p, Ap)-f-4 Ap^^-^^-^ =0.

]l suffira maintenant de remplacer RR' par sa valeur en fonction des coefficients de l'élément linéaire pour obtenir l'équation du second ordre à laquelle satisfait p.

Nous rencontrons ici un fait curieux et qui avait été déjà annoncé. Lorsqu'on fait des applications de l'équation (21), lorsqu'on la calcule dans des cas particuliers, on trouve qu'elle conlient toujours en facteur Ap. En d'autres termes, le quotient

. . . , AAp-9.A,pArp.Ap^ (...) a(p)= -^-^

est toujours entier. C'est une fonction homogène et du second degré par rapport aux dérivées premièr'es et secondes de p. Pour avoir l'équation aux dérivées partielles débarrassée de tout facteur étranger, il faut donc introduire ce nouvel invariant, et elle prend alors la forme simple

.(•23) A2P— l-f-C7(p)-+- AP___L= o.

Il est aisé maintenant d'en déduire l'équation à laquelle satisfait une fonction linéaire quelconque des coordonnées x, y, z. En effet, l'équation précédente admet la solution

et cela, (juelles que soient les constantes a^ byC. Si nous prenons les termes de degré supérieur en «, b^ c, qui sontdu second degré, leur ensemble sera donc égal à zéro. Posons, pour abréger,

( 24 ) o = ax -\- h y -\- cz\

nous aurons ainsi

<'(f)^ KK-

Telle est l'équation à laquelle satisfera .p. Si l'on fait

Équation des surfaces applicables, etc. 9.G1

cp deviendra égal à x^ et il restera l'équation

] \jr

Mais, si l'on suppose que cp soit une de ces fonctions pour lesquelles on a

SI, par exemple, on prend il -viendra l'équation

qui est homogène et plus simple que la précédente. Nous allons maintenant développer ces équations en employant difFérenls systèmes de coordonnées.

708. Dans le cas des coordonnées symétriques, on a Téqualion (4) devient ici

Elle coïncide, aux notations près, avec celle qui a été donnée par Bour (*).

Si l'on garde seulement, dans l'équation précédente, les termes du second degré, on obtient la suivante

/ ^logX\ / c)loffX\ , ,

ou Ov

qui n^est autre que l'équation (26), écrite en coordonnées symétriques, et qui a été donnée par M. Bonnet (2).

Si l'on suppose que l'une des familles coordonnées soit formée de géodésiques, il faudra prendre

^52= C?M2-f-C2rfp2,

(«) Journal de l'École Polytechnique, XXXîX» Cahier, p. i5. (*) Journal de l'École Polytechnique, XLII" Cahier, p Z.