Considérons encore l'équation

{\-\-q'^)s—pqt = o,

qui définit les surfaces pour lesquelles les sections faites par des

(') Voir, en particulier, nolvt Mémoire sur les solutions singulières des équations aux dérivées partielles du premier ordre ( Mémoires présentés par divers savants à l'Académie des Sciences, t. XXVII). Dans ce travail, nous donnons, après M. Lie, le moyen de former toutes les équations de la forme (i) pour lesquelles l'un des systèmes (8) et (9) admet trois combinaisons intégrables et qui peuvent être regardées, par suite, comme ayant deux intégrales intermédiaires du premier ordre.

plans parallèles au plan desjK^s sont des lignes de courbure. On a

Les deux systèmes de caractéristiques sont définis par les équations

dz — p dx — q dy — o, dz — p dx — q dy ^ o^

dx^o, pq dx -^ {\-i-q^)dy = o^

{\-\-q'^)dp — pq dq — o^ {\ -^ q"^) dq = o^

qui conduisent respectivement aux deux intégrales intermédiaires suivantes

(i6) ^?'^(^), y-i-qz = ^{q).

Tirons-en les valeurs de p et de jk, pour les porter dans l'équation

dz = p dx -^ q dy.

Nous trouverons

dz =V ^~ Ç^^'(^) dx -\- q ^'(q) dq — q^ dz — qz dq, ce qui peut s'écrire

d{z^7^^^)-^'^^îlîl^ -i'(x)dx = o.

/i-Tq^

En intégrant, on aura donc

(i7) z^TTT^=r^ÊâS-^.ix).