CHAPITRE V

ÉTUDE DE l'équation AUX DÉRIVÉES PARTIELLES DONT DÉPEND LE PROBLÈME DE LA DÉFORMATION.

Notions préliminaires sur les équations du second ordre qui sont linéaires par rapport à r, s, t, rt — s'*. — Problème de Cauchy. — Définition précise des caractéristiques. — Théorie géométrique de l'intégration, reposant sur les propriétés des caractéristiques. — Application à quelques exemples simples. — Étude particulière de l'équation dont dépend le problème de la déformation.

— On peut énoncer ici le problème de Cauchy sous la forme suivante : Déformer la surface de telle manière qu'une courbe tracée sur elle prenne une forme donnée à l'avance. — Propriété remarquable des asymptotiques. — Problèmes divers. — Déformer une surface de telle manière qu'elle puisse s'inscrire dans une développable donnée, suivant une courbe donnée. — Nouvelles manières de poser le problème de la déformation. — Equations simultanées auxquelles doivent satisfaire les paramètres des deux familles d'asymptotiques. — Démonstration de diverses propositions sur les asymptotiques et les surfaces gauches.

— Équations simultanées auxquelles satisfont les coordonnées curvilignes, considérées comme fonctions des paramétres des deux familles d'asymptotiques.

— Application à un cas particulier.

709. Nous avons déjà indiqué que les caractérisliques de l'équation aux dérivées partielles dont dépend le problème de la déformation sont les lignes asymptotiques de la surface cherchée. Avant de donner une démonstration nouvelle de ce résultat et d'en faire ressortir la signification et les conséquences, nous entrerons dans quelques considérations générales sur les courbes auxquelles on a donné le nom de caractéristiques. Cette étude préliminaire nous paraît d'autant plus nécessaire que Monge, il faut bien le reconnaître, n'a jamais donné une théorie satisfaisante de ses méthodes d'intégration.

Bornons^nous, pour plus de netteté, à une équation de la forme

(0 A(/-^ — 52)-4-Br-+-"2C5-r-B7-f-D = o,

où A, B, G, D, B' sont des fonctions quelconques de jCjJk, ^iP-, (ji et considérons x^y^ z comme les coordonnées d'un point de l'es-

a64 LIVRE vu. — chapitre v.

pace. Pour Irouver toutes les solutions possibles de l'équation •proposée, il est clair que l'on peut se contenter de chercher toutes les surfaces, satisfaisant à l'équation (i), assujetties à la condition de passer par une courbe donnée et d'admettre en chaque point de cette courbe un plan tangent déterminé.

Si l'on se déplace le long de cette courbe, x^ y^ z, /?, q sont des fonctions connues d'un paramètre variable et la diflérentiation nous donne les relations

Les deux équations (3) ne nous permettent pas de déterminer les valeurs des trois dérivées /•, s\ t au point considéré de la courbe; mais, si l'on en tire r et ^ en fonction de s pour les porter dans l'équation (i), celle-ci prend la forme

où l'on a

dz =

p dx -^ q dy\

-^rdx

-t- s dy^

^sdx

-+- t dy.

L — K dp dq -\- ïi dp dy -{- B' dq dx -\-D dx dy.

Par conséquent, si M n'est pas nul, l'équation (4) détermine s et les équations (3) font ensuite connaître r et t.

Le même raisonnement, appliqué aux dérivées d'ordre supérieur, nous montre que les valeurs de toutes ces dérivées peuvent toujours être déterminées en chaque point de la courbe. On voit donc que, si l'on suppose la fonction z développée par la série de Taylor, on aura tous les coefficients de ce développement, pourvu toutefois que les valeurs initiales ^q, j^ode x et de jr se rapportent à un point de la courbe (C). Gauchy a considéré ce développement, et il a montré que, sous certaines conditions de continuité qu'il est inutile d'énoncer ici, il sera convergent et définira une intégrale de l'équation proposée, intégrale qui satisfera aux conditions énoncées. C'est dans ce sens que nous dirons que la condition de passer par une courbe donnée et d'être inscrite suivant cette courbe à une développable donnée définit une intégrale de l'équation aux dérivées partielles.

710. Mais les raisonnements qui précèdent supposent essentiellement que l'équation (4) fournit pour s une valeur qui n'est ni infinie ni indéterminée.

Écartons la considération de ce qui arrive en des points isolés. Si M est nul en tous les points de la courbe sans que L le soit, le problème proposé sera évidemment impossible, au moins si l'on se borne aux surfaces qui n'ont pas la courbe (C) pour ligne singulière. Au contraire, si M et L sont nuls, l'un et l'autre, en chaque point de la courbe (C), il est impossible de déterminer s et l'on reconnaît de même, en passant aux dérivées d'ordre supérieur, que, dans chacun des ordres considérés successivement, une des dérivées peut être prise arbitrairement .

Nous donnerons le nom de caractéristique à V assemblage formé par une courbe et la développable qui la contient, toutes les fois que les fonctions dUine seule variable qui déterminent cet assemblage satisfont aux deux conditions

Sur toute intégrale il y a une infinité de caractéristiques. En effet, si l'on se déplace sur une intégrale, on aura toujours l'équation (4) comme conséquence des équations (i), (2), (3), et, si l'on choisit pour les déplacements les directions qui satisfont à l'unique condition M=:o, l'équation (4) donnera également L = o.

Comme l'équation M = o est du çecond degré en -~, il J a? en

g^énéral, deux familles distinctes de caractéristiques. On peut du reste séparer nettement ces deux familles et obtenir leurs équations sous une forme simple en opérant de la manière suivante; \ désignant une arbitraire quelconque, on a

o = AL -4- X M = ^ A dp -\- B' dx -^\ dy){k dq -^Y^ dy -^ X dx) — f X2-+- 2GX -h BB'— AD) dx dy.

Si donc on prend successivement pour ). les deux racines A, et )w de l'équation

(7) X2H--^.GX-i- BB'-- AD = 0,

on sera conduit aux deux équations

( \dp — B' dx -+- X, dy }{ A dq -^ h dy -{- \i dx ) = o. (Xdp -i- B' dx ^ X2 r/r)(A dq -i- B dy ■+- X2 dx) = o,

qui se décomposent elles-mêmes en d'autres plus simples. En associant convenablement les facteurs obtenus et en ajoutant l'équation évidente

dz — p dx -^ q dy,

on sera con'duit aux deux systèmes suivants

j dz — p dx — q dy = o, ( <S ) ]^ kdp -^\^' dx ArXxdy — o,

I kdq -^^ dy ^\<^dx — Q\

/ dz — p dx -^ q dy = o, (9) l Xdp-hB'dx-i-'kz^y — Oj

\ Xdq -i-B dy -^li dx = o,

qui définissent les deux familles de caractéristiques. On voit que ces deux familles seront distinctes tant que les deux racines )v, et ^2 seront inégales.

711. En résumé, le problème qui consiste à déterminer une intégrale de l'équation (i) tangente suivant une courbe donnée (C) à une développable donnée (A) est, en général, pleinement déterminé et admet une solution unique à moins que l'assemblage formé par la courbe (C) et la développable (A) qui la contient ne satisfasse aux équations (6) ou, à Tun des systèmes (8), (9). , On peut évidemment présenter ce résultat sous une autre forme en disant que les caractéristiques sont les seules courbes suivant lesquelles deux intégrales différentes puissent être tangentes ou osculatrices. Ainsi :

Si deux intégrales de V équation (i) sont tangentes suivant une courbe, cette courbe est une caractéristique ; en lui adjoignant les plans tangents^ on obtient un assemblage qui satisfait aux équations (6) ou à Vun des systèmes (8), (9).

Il résulte également des remarques précédentes que, si une surface quelconque est engendrée par des caractéristiques, c'està-dire s'il est possible de trouver sur cette surface une famille de courbes se succédant suivant une loi continue et qui, associées aux plans tangents, satisfassent chacune aux équations (8) ou (9), ou, ce qui est la même chose, aux équations (6), cette sur-

face donne une intégrale de l'équation (i). En effet, on peut toujours remonter de l'équation (6) à l'équation (4), puis, en remplaçant dp et dq par leurs valeurs, à l'équation (i). Cette équation sera vérifiée en tous les points par lesquels passera une caractéristique, c'est-à-dire dans toute l'étendue de la surface.

712. Bieiî que ce qui concerne l'intégration de l'équation aux dérivées partielles soit étranger au sujet que nous voulons étudier plus loin, nous allons en dire quelques mots pour montrer avec quelle facilité les résultats connus se déduisent des considérations précédentes.

Supposons que l'un des systèmes (8) et (9), le système (8) par exemple, présente une combinaison intégrable

iii{dz — p dx — 5^ cÇ^ ) -h oji ( A d/? 4- B' û?ir -f- Xi dy^

-h W2 ( A (i^' -4- B d[x -T- ^2 dx) — df.

IN ous allons montrer que toutes les intégrales de V équation

du premier ordre

cp = const.,

satisferont à V équation proposée. En effet, pour toute intégrale I de l'équation précédente, les trois équations (8) se réduiront à deux. Il sera donc possible de satisfaire à ces deux équations en prenant des valeurs convenables pour les rapports de dx^ dy^ dz et, par suite, de déterminer, sur l'intégrale I, une famille de courbes pour lesquelles auront lieu les trois équations (8).

La surface I, contenant une famille de caractéristiques, sera nécessairement une intégrale de l'équation proposée. Cette conclusion ne pourrait souffrir d'exception que si, pour l'intégrale I, un au moins des facteurs to se présentait sous une forme indéterminée.

Inversement, si toutes les solutions dé Péquation

(10) cp(^, j^',z,/?, ^) = const.

sont des intégrales de l'équation (1), l'un des deux systèmes (8) et (9) admettra la combinaison intégrable d(f. En effet, les caractéristiques de l'équation (10) sont définies par le système

dx dy — dp — dq dz

d'p d(p âo â(S) CCD d<û do c^cp

-L -1 -±^pJL __i|^i p L^q-^

dp dq dx ^ dz dy ^ dz '^ dp ^ dq

•i68 LIVRE VII. — CHAPITRE V.

Gomme on sait qu'il existe une infinité d'intégrales de l'équation (lo), et par conséquent de l'équation (i), qui sont tangentes les unes aux autres suivant chacune de ces caractéristiques, on voit que les valeurs de dx,^ dy^ dp^ . . . tirées des équations précédentes devront satisfaire à l'un des systèmes (8) et (9). On a ainsi pour cp l'un ou l'autre des deux systèmes

do\

do dq

/do

do\

do dp

/do

do\

àp

Supposons, par exemple, que le premier soit vérifié. Si nous ajoutons les équations (9) après les avoir multipliées respectivement par

do i do I d(f

dz A d/>' A dq^ nous aurons

do do do ^ f^.ào ^ do ^ do\ dx

dz dp ^ dq ^ \ dp dq ^ dz } A

/ do ^ do do\

d^ i^ ^^^\ dy

ou, en tenant compte des équations (12),

do — o.

i^a proposition que nous avions en vue est donc établie : les équations (9) admettent la combinaison intégrable do\ et l'on verra de même que, si la fonction cp satisfait aux équations (i3), la combinaison intégrable do est fournie par le système (8).

713. Ce premier point étant établi, arrivons au cas où l'un des systèmes (8) et (9) admet deux combinaisons intégrables du^ dv. Alors il admettra aussi la combinaison intégrable

du — o'{v)dv — d[u — ^(i^)],

où cp désigne une fonction arbitraire; et, par suite, toutes les so-

lutions de l'équation

appartiendront à la proposée (i). L'équation précédente est d'ailleurs équivalente à la proposée; car, si Ton élimine la fonction cp entre l'équation et ses deux premières dérivées, on est conduit à l'équation du second ordre

qui ne diffère de la proposée que par un facteur (* ). Ce facteur ne peut être nul, infini, ou indéterminé, que pour certaines solutions exceptionnelles; et, tant qu'il ne sera pas nul, l'équation (i4) sera équivalente à la proposée.

Réciproquement, si l'équation du second ordre doit admettre une intégrale première de la forme (i4), il résulte des raisonnements du numéro précédent que les trois fonctions

doivent chacune satisfaire à l'un des deux systèmes (12), (i3). Mais, comme deux d'entre elles appartiennent au même système, il en sera nécessairement de même de la troisième, qui est une fonction des deux autres. Ainsi, pour trouver, si cela est possible, les intégrales intermédiaires de la forme (i4)? il faudrarechercher si Vun des systèmes (12) ou (i3) admet deux solutions distinctes.

Le problème qui consiste à reconnaître si deux équations linéaires telles que les équations (12) ou (i3) admettent une ou plusieurs solutions distinctes est un de ceux que l'on sait le mieux résoudre aujourd'hui. On peut donc déduire des propositions précédentes une méthode régulière de recherche des intégrales intermédiaires de l'équation proposée et, plus généralement, de toutes les équations du premier ordre dont les différentes solutions appartiennent à la proposée.

(') On le vérifie aisément en tenant compte des équations (12) ou (i3) auxquelles satisfont à la fois les fonctions u et v. Un calcul facile donne

du dv du <)v

714. Les indications précédentes, quelque incomplètes qu'elles soient, mettent en évidence le rôle des caractéristiques dans la recherche des intégrales de Téquation proposée. On pojurrait les dévdopp^r et en tirer une théorie complète de l'équation (i); nous nous contenterons ici de traiter quelques applications; mais auparavant il importe de remarquer que les équations (6) ne peuvent être remplacées par un des systèmes (8) ou (9) que si A est différent de zéro. Considérons, par exemple, le système (8). Lorsque A est nul, les deux dernières équations se réduisent à une seule. Pour éviter cet inconvénient nous remarquerons que, dans le cas général, on peut déduire des équations (8) les deux suivantes

B ûÇp— Xi fl?^ H- D c?j? = o,

l B' dq — Itdp -^D dy = Oy

par l'élirtiination soit de dx, soit de dy. Le système des équations (8) et (8y se réduira dans tous les cas à trois équations distinctes. En ajoutant de même aux équations (^) les deux suivantes

B dp — lidq-^D dx = o^

^^^ ( B' dq — Il dp -^Ddy = o,

on n'éprouvera aucune difficulté dans les applications.

Considérons d'abord l'équation bien connue des surfaces développables

rt — s^ :;= o.

On a ici

B = G = B'=D = o, A = i, Xi = Xj = o.

Les équations (8) se réduisent aux suivantes

dz—pdx — q dy ~ o^ dp — o^ dq = Oj qui présentent trois combinaisons intégrables dp, dq, d{z — px — qy)' On aura donc les deux intégrales du premier oridre

z—px — qy = ^(p).

Si Ton différentie la dernière équation, il restera

[^ -^yf(p) -^ ^'(p)] dp = o.

En supprimant dp^ on a bien les trois équations qui définissent une surface développable.

Prenons maintenant l'équation

ipqs -hp^t = 0.

Ici encore, les deux valeurs de X sont égales et les équations différentielles de la caractéristique sont

dz — p dx — q dy = 0^ p dx -\- q dy — o^ q dp — p dq — Q.

Elles admettent les trois combinaisons intégrables

dz = o. d— = o, dly-^x—)~o. On aura donc

et, par conséquent, z sera déterminé par l'équation

y-\-xo{z)=^^{z).

Dans l'un et l'autre des exemples précédents, l'équation en X a ses deux racines égales, et les équations différentielles de la caractéristique admettent trois combinaisons intégrables. La coïncidence n'est pas fortuite, et Ton peut démontrer que, si l'un des systèmes (8) ou (9) admet trois combinaisons intégrables, on a nécessairement )., = À2 (' ).