CHAPITRE V

Portant ces valeurs dans les deux relations de la troisième ligne du système (A) (même Tableau), nous trouverons

Si donc on désigne, pour abréger, par k la quantité

(35) k = on aura

(36) X =. -- [JL =. k,

et les équations (A) entre les rotations nous donneront

[à{k^) .d{kk,) .. .

d{kr^)' d(kri,)

= -kir^,-^krih

On déduit de là, après quelques réductions et en remplaçant r et /'< par leurs valeurs tirées des équations (A),

au ov ou

aw du av

Telles sont les deux équalions de condition cherchées.

Nous allons les écrire de manière qu'elles ne contiennent que des invariants des paramètres u et v des deux familles de lignes asjmptotiques. Si l'on conserve H pour représenter y/EG — F^, on a

A((^, tiu) =

E ^Am

F t^Aw E dG

H2 dv H2 du H* ôv et de là on déduit, par un calcul facile,

A(p, Aw) — 2A2^^A(w, pj —

¥ ^2EG^H 2GF c)H

H* du H* dt^

D'autre part, on a aussi

Ces relations permettent de donner à la seconde équation (38) la forme définitive

(39) A(t^, Aa) — 2A2M a(m, t;) = e(M, iog^)e(î^, p),

qui ne contient plus que des invariants. Par raison de symétrie, la première des équations (38) prendra la forme analogue

(40) A(m, A(^) — 2 Aaf A(m, p) = e(p,logX:)e(p, u).

Si maintenant, pour revenir à nos notations habituelles, nous désignons par u el v dos coordonnées curvilignes quelconques et par a et P les paramètres des deux familles de lignes asymptotiques de la surface, nous voyons que ces paramètres a et p devront satisfaire aux deux équations simultanées du second ordre

j A(a, Ap)-2A2?A(a, (3) = e(p, log/t) e(^, a), j A(P, Aa)-2A2aA(a, p) = e(a, log/t)e(a,>).

La première est linéaire par rapport aux dérivées de a, la seconde par rapport à celles de (3. En éliminant, soit a, soit jB, on sera conduit à une équation du troisième ordre à laquelle satisfera la fonction que l'on conserve. 11 serait facile de former et d'écrire, à l'aide des invariants, cette équation du troisième ordre; mais nous laisserons ce point à étudier au lecteur.

723. Les calculs précédents conduisent à plusieurs conséquences sur lesquelles il convient d'insister.

En premier lieu, nous voyons que, si l'on donne, en même temps que l'élément linéaire d'une surface, ses lignes asymptotiques des deux systèmes, la surface est pleinement déiierminée. En effet, si l'on prend ces deux familles d'asymptotiques pour lignes coordonnées, les calculs du n° 722 nous montrent que l'on connaîtra, pour chaque point de la surface, les six rotations. La forme de la surface sera donc entièrement connue (n*^ 484). Comme on peut prendre un double signe pour la valedr de k, on obtiendra en réalité deux surfaces, symétriques l'une de l'autre

28() LIVRE Vil. — CHAPITRE V.

Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant, établi en premier lieu par M. 0. Bonnet : •

Si deux surfaces sont applicable, rune sur Vautj^e de telle manière que toutes les lignes asymptotiques de Vune correspondent aux lignes asymptotiques de Vautre, les deux surf aces sont égales ou symétriques.

Mais on peut compléter cette proposition, en supposant que Ton connaisse une seule famille de lignes asymptotiques. Par exemple,, dans les équations (4 1), on connaîtra a, dont l'expression sera donnée en fonction de u et de v. Il est aisé de voir que l'on pourra déterminer [3.

En effet, substituons datis la seconde des équations (4i) la valeur de a", elle prend la forme

M -^ -I- N V- = oou ov

Par suite, si M et N ne sont pas nuls en même temps, on obtiendra la seconde famille d'asymptotiques en intégrant l'équation

du premier ordre

^ du~Mdv = o,

où M et N ne dépendent que de l'élément linéaire et de l'expression de a. Par conséquent, la connaissance d^une des familles de lignes asymptotiques entraînera celle de Vautre.

Examinons maintenant le cas d'exception où M et N seraient nuls en même temps. Alors la seconde des équations (40 sera vérifiée identiquement quand on y remplacera a par son expression donnée-, en d'autres termes, elle aura lieu quelle que soit la fonction p. En particulier, remplaçons-y ^ par a, il viendra

(42) A(a, Aa) — 2 A2(a)Aa = o.

Or cette équation exprime, nous l'avons vu (n° 676), que les courbes de paramètre a sont des géodésiques. Comme elles sont déjà des asymptotiques, elles ne peuvent être que des droites; et notre cas d'exception se trouve ainsi défini : il ne peut avoir lieu que pour des surfaces réglées et pour la famille d'asymptotiques constituée parleurs génératrice^ rectilignes. En résumé, on obtient le résultat suivant :

Deux surfaces applicables r une sur T autre sont égales ou symétriques lorsque les lignes asymptotiques de l'un des systèmes dans une des surfaces ont pour transformées des lignes asymptotiques [formant nécessairement un seul système) dans r autre surface, à moins que les surfaces ne soient réglées et que les asymptotiques qui se correspondent ne soient les génératrices rectilignes.

Cette proposition, qui est due à M. O. Bonnet ( * ), résulte immédiatement de ce que la connaissance d'une des familles asymptotiques entraîne celle de l'autre. Dans le Chapitre suivant, nous étudierons d'une manière spéciale la propriété qui se présente ici pour les surfaces gauches. Nous nous contenterons, pour le moment, de remarquer que, réciproquement, si la surface est gauche et si a est le paramètre des génératrices rectilignes, la seconde des équations (4i) sera vérifiée identiquement quand on j remplacera jâ par une fonction quelconque. En effet, cette équation est vérifiée quand on y remplace ^ par a en vertu même de l'équation (42), à laquelle satisfait le paramètre a-, elle l'est encore quand on y remplace P par le paramètre de la seconde famille de lignes asymptotiques; comme elle peut se ramener à la forme

du àv

elle ne peut admettre deux intégrales distinctes sans se réduire à une identité.

724. On déduit de cette remarque une démonstration très simple de la proposition de M. Bonnet, déjà établie au Chapitre II [p. 239].

Sideuçc surfaces gauches (S|) et (S2) sont applicables Vune sur V autre, les génératrices rectilignes se correspondent sur les deux surfaces, à moins qu^elles ne soient, V une et Vautre, applicables sur une surface du second degré (S) de telle manière que les génératrices rectilignes de (S,) et de (S2) correspondent aux deux systèmes différents de droites de (S).

(") Journal de l'École Polytechnique, XLII* Gainer, p. 44-

En effet, supposons les deux surfaces rapportées au même système de coordonnées, et soient a, ,8 les paramètres des deux familles de génératrices rectilignes de (Si) et de (S2). D'après la remarque précédente, j^ étant le paramètre des génératrices rectilignes de (S2), l'équation

A(a', A?)-2A2pA(>', p)=e(p, logA:)e(?, a')

sera une identité, c'est-à-dire qu'elle sera vérifiée quelle que soit la fonction a'. Pour la même raison, l'équation

A(P', Aa)-2A2aA(P', a) = e(a, logÂ:) e(a, p')

aura lieu pour toutes les fonctions p'. Remplaçons, dans la première, a' par a et, dans la seconde, p' par ^ : nous retrouverons les deux équations (4i)- Or ces. équations expriment que a et ^ sont les paramètres des asymplotiques d'une surface admettant l'élément linéaire donné. Il y a donc une surface (S) applicable sur les deux surfaces réglées et admettant pour asymptotiques les courbes de paramètres a et ^. Mais, comme toutes ces courbes correspondent à des droites de (Si) ou de (S2); elles sont géodésiques et, par conséquent, ne peuvent devenir asymptotiques sans se réduire à des droites. La surface (S) est donc doublement réglée; et ainsi se trouve complètement démontrée la proposition que nous avions en vue.

725. On peut introduire d'une manière toute différente la considération des lignes asymptotiques.

Soient w et p les coordonnées curvilignes d'un point de la surface, a et p les paramètres des deux familles d'asymptotiques. Au lieu de chercher les expressions de a et de ^ en w et t^, proposonsnous de déterminer u et (^, considérées comme fonctions des dçiix paramètres a et p.

Pour cela, nous remarquerons que, si l'on conserve toutes les notations du Tableau I [11, p. 382], l'équation différentielle (4) des lignes asymptotiques peut être remplacée par le système des deux suivantes

p du -ï'pi dv — X(^ du -h ^1 dv),

^ q du-\- q^dv — X(7) du -{-r^^dv)

ÉQUATION ktX DÉRIVÉES PARTIELLES, ETC. 289

OÙ )v désigne une inconnue auxiliaire. Si, pour la déterminer, on

élimine -j- entre les deux équations précédentes, on est conduit,

en tenant compte d'une des équations du Tableau (A), à l'équation

qui nous donne

Ainsi \ est un invariant dont on coimaîl la valeur. En prenant successivement les deiix signes, on est conduit successivement aux deux systèmes

^^ ^ 'du dv . l du àv

du dv ^ ( ydu ^ dv \

/du dv\

du dç ^ /^. du y Ov \

du dv . / du dç\

qiQ permettront, par exemple, de calculer /?, q^ Pk^ q^. En portant les valeurs obtenues dans le système (A), on aura les équations aux dérivées partielles qui déterminent u et (^, considérées comme fonctions de a et de j3>.

Le calcul est beaucoup abrégé si l'on écrit, par exemple, la première de ces relations sous Ja forme, qu'il est aisé de vérifier,

d ( du dv\ d ( du dv\ [du dv\ / du dv\

( du èv\( du dv\

^ I Ou , dv dû , dv , ,

Ln remplaçant yt>^ -^Pij;^'P^ -+-/^i ^' •••» par leurs valeiu'S

déduites des formules (4^), on trouvera

.y d^u ^y d^v dudu/d\i . \ dv dv /d\ly , \

/du dv du dv\ / d\i c?X{, , , \

Celte relation peut même se décomposer en deux autres, à cause de l'iadé termina ti on des translations Ç, vi, $i, r^ qui sont assujetties seulement aux trois conditions

$2-+-V=E, k^i^r^rn

k\-^'nl = G.

En Annulant successivement ^ et^, et remplaçant les trois autres translations par leurs valeurs déduites des équations précédentes, on obtiendra ces deux équations aux dérivées partielles

-S-:-fSK-ï^---i

(du dv du àv\/

da d'^y dç du

dv dv

àoL d^ da d^

,d\ùEk ^dG ^d¥ dv dv dv

f du dv \d% d^

àudv\l d^d-^A^'

d\6^k du

du)

^Tv

dT. d'^y du dv du)

Elles sont, on le reconnaîtra aisément, nécessaires et suffisantes; de sorte qu'il suffirait de les intégrer pour obtenir les deux familles d'asymptotiques, pnr suite les six rotations (n° 722) et la surface elle-même.

726. Pour indiquer au moins une application, supposons que l'élément linéaire soit donné par la formule

(47) ds'^= du'^-^{au'^-^ibu-\- c)dv'^,

où a, 6, c désignent des constantes. On aura ici

E = i, F = o, G = au'^-\-ibu-^ c^ Les deux équations en w et p deviendront

sjac — b^

d^u dlogG du du i dO dv dv dâ^ d^ ^ ^ ~ 2 ^^ âp "" ^'

d^v dd c?p ~ ^*

ÉQUATION AUX DÉRIVÉES PARTIELLES, ETC. 'iQI

La seconde s'intègre immédiatement et admet deux solutions

distinctes

V — o{a), p = ç(a) + tj^dî),

qui peuvent être remplacées par les suivantes

sans que la généralité soit diminuée.

La première solution p = a fait évidemment connaître les surfaces réglées admettant l'élément linéaire donné. La seconde,

nous conduit pour a à l'équation

d^u (JlogG du du l ^ dixà'î du da.à^ i du ~~ '

Prenons, par exemple,

G = m; on trouvera, en posant

(49) w = ew, que Cl) doit satisfaire à l'équation

d^tii I

On sait intégrer cette équation (^); mais nous ne poursuivrons pas ici les calculs, que nous retrouverons plus loin et qui conduisent à la détermination de toutes les surfaces applicables sur les développées des surfaces minima.

(') Son intégrale est déterminée par la formule

où A et B désignent des fonctions arbitraires de a et de ^ respectivement. Elle a été donnée, en premier lieu, par M. Liouville, qui l'a déduite de la remarque suivante : l'équation aux dérivées partielles (5o) exprime que la surface dont l'élément linéaire a pour expression

ds"" = e-"^ dd d^ a sa courbure constante et égale à i.

Si la constante a n'est pas nulle, on pourra ramener G à la forme

et, en posant

(52) u — b tang- ,

on reconnaîtra que w doit satisfaire à l'équation

La valeur (di) de G convient à Falysséide et à l'hélicoïde minimum (n"'^ 66 et 68). C'est donc de l'intégration de l'équation précédente que dépend la détermination des surfaces non réglées qui sont applicables sur ces surfaces. Nous retrouverons plus loin ce résultat.