CHAPITRE VJ

Élément linéaire des surfaces gauches. — Surfaces dont les génératrices vont rencontrer le cercle de l'infini. — Surfaces qui admettent un plan directeur tangent au cercle de l'infini. — Détermination complète de toutes les surfaces gauches admettant un élément linéaire donné. — Difi'érents problèmes relatifs à ces surfaces. — Autre méthode fondée sur l'emploi des formules de M. Codazzi. — Questions diverses relatives aux lignes asymptotiques et aux lignes de courbure. — Propriétés de la ligne de striction. — Surfaces réglées applicables sur les surfaces de révolution. — Il y a, dans ce cas, une relation linéaire entre les deux courbures de la ligne de striction.

727. Dans le Chapitre précédent, nous avons été conduits, par la discussion de différentes propositions, à considérer d'une manière spéciale le cas où une surface réglée se déforme sans que ses génératrices cessent d'être rectilignes. Cette déformation par^ ticulière des surfaces réglées, dont l'étude vient se présenter ici, mérite que nous nous y arrêtions assez longuement et que nous signalions les résultats intéressants obtenus sur ce sujet par différents géomètres.

Etant donnée une surface réglée (R), traçons âur cette surface une courbe (C) assujettie à l'unique condition de rencontrer toutes les génératrices rectilignes. Par un point M de la surface, on peut mener la génératrice rectiligne; elle ira couper la courbe (C) en un point M^ Soient v une variable propre à déterminer la position de M' sur la courbe (C) et u une. quantité égale ou proportionnelle à la longueur de M'M ou de sa projection sur un plan quelconque. Les variables m et i> définiront la position de M sur la surface et, si ^,y, z désignent les coordonnées rectangulaires de ce point, on pourra écrire

(i) X — ai.u-+- bi, y = a^u-^ bi, z ^ a^u -h bs,

Œiy Oî, «3; 6<,^2i f>3 désignant des fonctions quelconques de v.

Posons

B = a'iô'i-i- a'jè'jH- «3^3, E= aj -f- a| h- a^. G= b'^ -4- è;« -h 6;%

On trouvera

(3) ds'^ = E rfM2-h (E'-i- 2D)c?a ^p h- (A w2-f- 2B w -h G) dv"-.

Cette formule va nous permettre d'indiquer la classification des surfaces réglées, tant imaginaires que réelles. Si l'on a d'abord

toutes les génératrices rectilignes vont rencontrer le cercle de l'infini; elles forment une des familles de longueur nulle de la surface. Cette première classe de surfaces réglées, toutes imaginaires si l'on excepte la sphère, comprend comme un genre spécial les développables définies au n° 116 [I, p. i4B, note].

Si nous écartons ces surfaces exceptionnelles, nous pourrons supposer que u est la longueur MM', prise avec son signe, et que l'on a

(4) a\^a\-^al = i.

La formule (3) se simplifie alors et devient

(5) ds-^^- du'^-\-iDdudv-^{ku'^-^iBu-^C)dv'^.

Nous avons déjà remarqué au n** 67 que l'on peut, par une simple quadrature et en remplaçant u par a' — JDdç, faire disparaître le terme en du' dç et déterminer ainsi les trajectoires orthogonales des génératrices. Nous pourrons donc, dans la suite, supposer D égal à zéro; mais, pour rendre les applications plus commodes, nous n'introduirons pas celte hypothèse d'une manière générale.

Si la surface est réelle ainsi que ses génératrices, la fonction A, somme de trois carrés, n'est pas nulle; mais on reconnaît aisément qu'elle le devient pour les surfaces qui ont un plan, directeur, tangent au cercle de l'infini, et pour celles-là seulement. Dans ce

cas, l'élément linéaire est réductible à la forme

ds^= du^ -h 2I) du dv -»-(2Bm-+- C)dv*.

Une seule des surfaces correspondantes est réelle : c'est le paraboloïde de révolution. Si l'on prend l'équation de cette surface sous la forme

et si l'on pose

iy = (u-h ~ -\-pw j e'*

ly = ^.pe

-ti>-\-l

un calcul facile donne, pour l'élément linéaire, l'expression

ds^^ du"^-^ ip{u -^ ipv) dç^, déjà signalée au n? 692.

728. Si l'on écarte les deux séries de surfaces exceptionnelles que nous venons de signaler et pour lesquelles il n^y a ni ligne de striction ni point central sur chaque génératrice, l'élément linéaire pourra toujours être réduit algébriquement à la forme (5), dans laquelle A sera différent de zéro. Nous bornant à cette hypothèse spéciale, qui convient d'ailleurs à toutes les surfaces dont les génératrices sont réelles, nous allons montrer en premier lieu qu'il existe une injûnité de surfaces gauches admettant cet élément linéaire que Ton supposera donné a priori. Au reste, la méthode très élémentaire que nous allons suivre s'appliquerait presque sans modification aux deux cas spéciaux que nous laissons de côté (* ).

Joignons l'équation (4) aux quatre premières équations (a) : nous formerons ainsi un système de cinq équations où les fonctions

(') Le premier auteur qui ait étudié la question dont nous nous occupons ici est MiNDiNG. Voir, en particulier, le Mémoire Ueber die Biegung gevçûsser Flàchen, inséré en i838 au tome XVIII du Journal de Crelle. Depuis, MM. Bonnet, Bour, Beltrami et d'autres géomètres ont repris cette étude dans des Mémoires que nous citerons plus loin.

A, B, G, D seront conques, maïs où figureront six fonctions inconnues «1, «2? <^3> f^it ^2î ^3- On peut prendre arbitrairement une de ces fonctions ; et Ton reconnaît ainsi immédiatement qu'il y a une infinité de surfaces gauches admettant Vêtement linéaire donné (^),

Les fonctions a^ , «2? <^3r prises isolément, doivent satisfaire aux deux équations

( «? -\-al-\-a\ =1,

dont la résolution n'offre aucune difficulté. On prendra, par exemple, a2^=f{a^)\ la première équation donnera «3 en fonction de a^ et la seconde déterminera a< en fonction de v par une quadrature.

Cf>\) <^2î <^3 sont les cosinus directeurs de la génératrice rectiligne ; on peut les regarder comme les coordonnées rectangulaires d'un point situé sur la sphère de rayon i . La résolution des équations précédentes équivaut donc au problème suivant :

Déterminer une courbe sphérique dont Varc soit une fonction donnée de v.

Il est clair que cette courbe peut être tracée arbitrairement sur la sphère. En d'autres termes, le cône directeur de la surface n'est jusqu'ici assujetti à aucune condition.

Considérons donc a< , a^i a^ comme connus. Alors les trois équations non employées

feront connaître 6<, b^^ Z>3. On les résoudra comme il suit.

Prenons comme inconnue auxiliaire le déterminant fonctionnel

aib\

azb'^

si nous relevons au carré, nous trouverons, en tenant compte

des équations (6) et (7),