CHAPITRE IX
Première propriété : Théorème de M. Halphen, relation entre les courbures totales des deux nappes de la développée. — Deuxième propriété : Détermination par de simples quadratures des lignes de courbure de toute surface W; remarque de M. Weingarten. — Troisième propriété, due à M. Ribaucour : les lignes asymptotiques se correspondent sur les deux nappes de la développée: la véritable origine de cette remarquable proposition se trouve dans le fait que les asymptotiques sont les caractéristiques de l'équation aux dérivées partielles dont dépend le problème de la déformation d'une surface. — Propriété géométrique relative aux asymptotiques des développées pour la nouvelle classe de surfaces W découverte par M. Weingarten. — Recherche directe de toutes les surfaces qui possèdent cette propriété. — Détermination et construction géométrique de toutes les surfaces applicables sur le paraboloïde de révolution. — Rapports avec la théorie des surfaces minima.
763. Après avoir rappelé les propriétés essenlielles de la développée d'une surface, nous pouvons maintenant poursuivre l'étude des surfaces W et indiquer différentes propositions relatives à ces surfaces.
Reprenons d'abord les formules (lo) données au Chapitre précédent [Tableau VII, p. 34o]
du dv
En les multipliant membre à membre, on en déduit la relation
suivante
dR ôR^ dR ^
du àv âç du
(2) R,RiH,R2-(R~ R')^=(R-R')«
dR dIV
dv du
qui met en évidence un remarquable théorème de M. Halphen : Poui- fjaune surface donnée soit une sur/ace W^ il faut
358 livriï: vu. — chapitre ix.
il sajflt que, pour chaque point M de cette surface, le produit des quatre rayons de courbure principaux des deux nappes de la développée aux centres de courbure principaux correspondants M| et M2 (/fg- "4) soit égal à la quatrième puissance de la distance de ces deux points ( ' ).
Ainsi l'on a, pour toute surface W,
(6) R,lV, R2RV^<H--IV/,
et cette remarquable relation montre immédiatement que, pour toute surface W, les deux nappes de la développée sont, aux points correspondants M| et Mo, toutes deux convexes ou toutes deux à courbures opposées.
On reconnaît aussi que ces deux nappes ne peuvent être, l'une et l'autre, à courbure totale constante que si la relation entre les rayons de courbure est
H — R' — const.
Mais nous reviendrons plus loin sur cette proposition.
76 i. Une seconde propriété caractéristique des surfaces W a été signalée toutrécemment par M. Weingarten; elle se rattache à une remarque très intéressante de M. J^ie (-).
Une surface W étant donnée, on connaît, par cela même, les deux nappes (Si) et (S2; de sa développée, et l'on sait que ces deux nappes sont applicables l'une et l'autre sur des surfaces de révolution. Or nous avons vu (n"689) que, si une surface donnée est applicable sur une surface de révolution, on peut toujours, par de simples quadratures, déterminer les géodésiques qui correspondent aux méridiens de la surface de révolution, toutes les fois au moins que la courbure totale de la surface proposée n'est pas constante. D'ailleurs, ces géodésiques, prises successivement
(') IlAM'iiKN (G.), Théorème concernant les sur/aces dont les rayons de couiOurc principaux sont liés par une relation {BuUvtin de la Société mathématiçiùe, t. IV, p. f)'\', 1876).
(') Lu: (S.), Ueber Fldclien deren Kriimmungsradien durch eine Relation verknupft sind {Archiv for Mathematik og Naturvidenskab, t. IV, p. 507; «879)-
PROPRIÉTÉS DIVERSES DES SURFACES W. SSq
sur les deux nappes (Si) el (So), répondent évidemment aux lignes de courbure de la surface W; de là résulte le théorème de M. Lie :
On peut toujours, par de simples quadialuies, déterminer les lignes de courbure de toute surface W donnée.
C'est cette intéressante proposition que M, Weingarlen a d remontrée de la manière suivante :
x^j\ z étant îcs coordonnées d'un point de la surface et r, c', c" les cosinus directeurs de la normale on ce point, considérons
le déterminant
\ I dx dy dz
c c' c" de de' de"
M) - cf-
qui est une forme quadratique des difTérentlcUcs du, dv des coordonnées curvilignes u et r. Si l'on conserve toutes les notations des Tableaux I et II [II, p. 382], on trouve qu'elle se réduit k
( p du -f- />! dv){ ç du H- ;i rA' j -+ ( q du -\- (j X dv)( r, du -4- -fj, dv ] ;
et, par conséquent, égalée à zéro, elle donnerait, nous le savions déjà (n° 138), l'équation différentielle des lignes de courbure. D'autre part, si l'on considère la courbe tangente à la direction définie par les dilTérentielles du., dv^ cette forme quadratique revêtira l'expression entièrement géométrique
(5) ^^^[dTn-~\ds.
Cela posé, M. Weingarten (* ) a montré que la condition nécessaire et suffisante pour que cette forme quadratique puisse se ramener à un produit dy.d^ de deux différentielles, cest-à-diie pour qu'elle ait une courbure totale nulle, est que la surface proposée soit une surface W.
En effet, supposons que les variables u et v soient les paramètres des lignes de courbure; alors la forme quadratique prend
C) Weingarten ( J.)- Ueber eine Eigenschaft dtr Fluchen bei denen der eine llauptkrummungsradius eine Function des anderen ist {Journal de Crelle, L cm, p. 184 ; 1888).
36o LIVRE VII. — CHAPITRE IX.
Texpression suivante [II, p. -386]
el sa courbure totale [IT, p. 38^] est ' 1 d-^
piqiK — R) dudv
log[A>i^(R'-R)].
Si l'on tient compte des formules (5) du Tableau V, on trouve, après quelques réductions faciles.
1 VdK àW dR dKl
>iq{K' — R)3 lôu âv ~ 'dï^ 'dû \
ce qui démontre la proposition de M. Weingarten.
D'après cela, si l'on donne une surface W, il sera toujours possible de former, avec un système de coordonnées d'ailleurs quelconque, la forme quadratique ^. Comme cette forme est réductible à un produit d(x.d^j nous savons (n° 684) que Von pourra toujours, par de simples quadratures, déterminer les variables a et p, c* est-à-dire les paramètres des deux familles de lignes de courbure, La proposition de M. Lie se trouve ainsi démontrée par une voie moins directe, mais plus précise.
765. La troisième propriété caractéristique des surfaces W se déduit immédiatement de la comparaison des équations différentielles (5) [p. 340 et 34»] qui conviennent aux lignes asymptotiques des deux nappes de la développée. On reconnaît, en effet, que ces équations différentielles deviennent identiques dans le cas où l'on a
du ôv dv du ^
et dans ce cas seulement ( • ). De là résulte cette remarquable proposition, due à M. Ribaucour (•^) :
Pour que les lignes asymptotiques se correspondent sur les deux nappes de la développée d^une surface donnée, c^est-
C') Nous laisserons au lecteur le soin d'examiner l'hypothèse où l'une des quantités /•, /•, serait nulle.
(*) Ribaucour, Note sur les développées des sur/aces {Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. LXXIV, p. iSgg; ibr^).
PROPRIÉTÉS DIVERSES DES SURFACES W. 36l
à dire pour qiHà tout système conjugué tracé sur la première nappe corresponde un système conjugué de la seconde nappe, il faut et il sujfit que les deux rayons de courbure principaux de cette surface soient fonctions Vun de Vautre,
Une seule condition est nécessaire, on le voit, poui* que les deux familles d'asjmptotiques se correspondent sur les deux nappes (S,) et (S2) de la développée. On explique aisément ce fait si singulier si l'on remarque que, sur chacune de ces nappes, les courbes de paramètres u et v^ qui correspondent aux lignes de courbure de la proposée (S), forment deux familles de lignes conjuguées (n° 752).
Si l'on se reporte à l'équation
0 //ctp" ^?\ ^ à / 0' dk \ du \ cp'2 du) ' dp \k-^ dv )
ko'
du\(i^'-^ du) ' di^\k-^dv) ko' '
dont dépend (n" 742) la détermination de la surface (S) et, par suite, des deux nappes (S,) et (S2), on reconnaît immédiatement que les caractéristiques de cette équation aux dérivées partielles, définies par l'équation différentielle
(7) o'^du^--+- k^(f"dv^ = o,
sont représentées, sur l'une et l'autre nappe, par les lignes asj'mptotiques de ces nappes. Celte remarque nous dévoile la véritable origine de la proposition de M. Ribaucour.
Si les lignes asymptotiques se correspondent sur les deux nappes (S<) et (S2) de la développée d^une surface W, cela tient à ce que ces lignes sont les caractéristiques de Inéquation aux dérivées partielles dont dépend le problème de la déformation de Vune et de Vautre nappe; et, dans le cas des surfaces W, ces deux problèmes se ramènent Vun à Vautre et se résolvent en même temps.
766. Laissant au lecteur le soin de développer cette remarque, nous indiquerons seulement les résultats suivants, dont la vérification ou la démonstration n'offre aucune difficulté.
Considérons la surface (S)j^ les deux nappes (S,), (S^) et la sphère (S) sur laquelle s'effectue la représentation des lignes de
3Cz LIVRE VII. — Cil A PITRE IX.
couibure de (S). Cela pose, les caracléristiques de l'équalion (6), c'est-à-dire les asymptotiqiies de (S,) et de (So), correspondent :,
Aux lignes de longueur nulle de la sphère dans le cas des surfaces minima ou des surfaces pour lesquelles la somme des rayons (le courbure est constante;
Aux lignes de longueur nulle de la surface dans le cas des surfaces dont la courbure moyenne est constante;
Aux asympiotiques de la surface dans le cas des surfaces à courbure totale constante;
A des lignes rectangulaires de la sphère quand la difTérence des rayons de courbure est constante;
A des lignes rectangulaires de la surface quand la différence des inverses des rajons de courbure est constante;
A des lignes conjuguées de la surface quand le rapport des rayons de courbure est consïant.
Examinons maintenant ce qu'elles deviennent pour la nouvelle classe de surfaces W découverte par M. Weingarten. On a alors
(8) ^.= 5111-» <^ (A*) = cos - , cp ( A ) = — rang — ;
et, par suite, l'équation différentielle (-) devient ici
Or l'élément linéaire de \â sphère (S) sur laquelle s'effectue la représentation sphérique de la surface, élément linéaire donné par la formule (12) [p. 319], devient ici
sins - cos'- — 2 2
[ rf( a rt v)Y -+- cot2 - ( du ip tang> ^dvj ;
cl l'on voit ainsi que les lignes asymptotiques de l'une quelconque des nappes (S,) et (S2) correspondent, sur la sphère (S), aux géodésiques qui sont les trajectoires orthogonales des deux familles de coiirbes parallèles
u •+■ V =?coiwt., u — (' = const.
Comme la normale à la sphère est parallèle à la normale cor-
respondanle de (S), il résulte de là une propriété géométrique des nappes (S|) et (So).
Il existe, sur chacune de ces nappes, une famille de géodésiques telle que les tangentes à ces lignes, en tous les points où elles sont coupées par une asymptotique quelconque, sont parallèles à un plan fixe, qui varie, en général, quand on passe d^une asymptotique à une autre, et qui, d'ailleurs, n'est pas généralement tangent au cercle de V infini.
Il est intéressant de rechercher si l'on peut déterminer la surface des centres en s'appuyant uniquement sur ce résultat, sans même admettre qu'elle soit applicable sur une surface de révolution. Ce sera l'objet du calcul que nous allons développer.
