Toutes les propriétés précédentes sont élémentaires et
bien connues; pour approfondir celte étude, nous allons employer les méthodes développées au Livre V.
Conservons toutes les notations du Chapitre précédent et associons au trièdre (T), de sommet M, deux autres trièdres parallèles (Ti) et (T2) ayant respectivement pour sommets Mi et M2. Ces trois trièdres auront tous les mêmes rotations. Pour chacun d'eux, rune des faces est tangente à la surface décrite par le sommet. Nous pourrons donc appliquer à chacune des nappes (Si)et(S2), en changeant seulement quelques notations, les formules du Livre V.
Considérons, par exemple, le trièdre (T,). Le point M,, ayant pour coordonnées o, o et R par rapport à (T), les projections de son déplacement sur les axes de (T), ou sur ceux de (Ti), seront [formules (B), 11, p. 385 et'386]
(A-+-^R)«fw, {C—p^K)dv, dK
ou, en remplaçant A et C par leurs valeurs,
o, px{K'—l\)dv, 6/R.
On a donc, pour les six translations de (T<), les valeurs suivantes
Quant aux rotations, ce sont celles de (T), c'est-à-dire />= o, q, r,
D'après cela, si l'on remarque que les formules du Tableau J [II, p. 382] s'appliquent à un trièdre dont les rotations sont quelconques et pour lequel deux seulement des translations sont nulles, à savoir Ç et Ç, , on voit que l'on pourra appliquer ici à (S,) et au trièdre (Ti) toutes les formules des Tableaux I et II, sous la condition d'y faire subir aux translations ainsi qu'aux rotations la permutation circulaire qui équivaut à changer le nom des axes de (T) et à remplacer les axes des jc, des y et des z par les axes des y y des z et des x respectivement. On obtiendra ainsi les formules suivantes.
L'angle w, d'une courbe tracée sur(Si)a\ec l'axe des j de (T, ) ou de (T) sera défini par les équations
dsi cosiO] — r^ du -T- r^]^ dv — p i{W ~ }^) dv,
L'élément linéaire de (S< ) aura donc pour expression (4) ■ d:^! --=^R2-+-/?2(R'-R)2rfr2,
comme nous l'avons déjà trouvé directement. La courbure normale d'une courbe sera donnée par la formule
(5 ) -dsi = sina)i(^ du -h q\ dv) — cosa»j [r du -h /"i dv)
OU, en substituant,
6 ) ■ ds\ ^^ ^ -- /■ du^- — r, dv^ .
pi ' r \du ôç )
L'équation différentielle des asymptotiques sera, par suite,
(7) rf A,= ^-,-,f ^■= = o.
^ du ôv
Elle est privée du terme en dudv\ il fallait s'y attendre, puisque les lignes coordonnées sont des courbes conjuguées.
De même, tout ce qui se rapporte aux lignes de courbure de la nappe (S<) s'obtiendra en effectuant la permutation indiquée sur les équations (^) du Tableau T, qui deviennent ainsi
l pi (R' — R) c?t^ -^ Ri ( /• û?« -^ /', </p) = o, ( <3?R — Kxq du = o,
R, désignant le rayon de courbure principal. L'élimination de -j~ donne l'équation aux rayons de courbure principaux de (S, )
(9) ?r.RÎ-[r,J-rJ + îj.,(R-R')]R.-^/'.(R'-R) = o.
L'élimination de R| conduit à l'équation différentielle des lignes de courbure
(10) pxq{^ — ^) du dv := d^i^r du -\- rx dv),
D. -lll. 22
dont le développement nous donne
^R , « ^R , , r ^ï^ ^R /o' i>xl ^ ^
(il) r -— clii^' -^ r^-— dv^-^\r- h /'i -^ f- qp\ ( R ~^)\dudv =^ o.
^ ' du dv L ^^ ^^ J
7o4. Une méthode toute semblable s'applique au trièdre (T2) et à la nappe (S^). On trouve, pour les translations de ce trièdre, les valeurs suivantes :
^1 = 0, r),= o, Ci-^-
Ici encore le Tableau 1, où l'on eflectuera toutes les permutations circulaires qui équivalent à remplacer z, x, y par j^, ^, x, nous fournira tous les résultats que nous avons donnés pour la nappe (S< ).
Désignant cette fois par (02 l'angle de l'axe des z avec la tangente à une courbe tracée sur (S2), on aura
(i3) <^i-2 C0SW2 = <^R'j <a^52 sini02 = ^(R' — ï\.)du\
et, par suite, on retrouvera, l'expression déjà obtenue (n" 747)
([4) dsl= ^R'2+^2(R' R)2 Ji^2
de l'élément linéaire.
On trouvera, de même, pour la courbure normale d'une courbe tracée sur la surface, la formule
i COS7TT2 . . , y . - j
as2 == sina)2(r du + r^ di^) — cosw2/?i at^, , - C0STO9 Pi / dW , „ dK' J \
" pî ri \ du dv )^
ce qui donnera l'équation différentielle des lignes asjmptotiques
(16) r - -du^- — ri , - aç'^ = o.
du dç
Enfin la détermination des lignes de courbure de (82) dépendra du système suivant
{ c/R'+ Rayt?! dv — o, '^^ ( qiK—V,)du—'^.Xrdu^r^dv) = o,
OÙ R2 désigne le rajon de courbure principal. En l'éliminant, on obtient Téquation des lignes de courbure
(18) dR'(r du -+■ /*! <ip) -h qpi(K— K) du dv = o
ou, en développant,
dK' ^ dR' ^ [ dW dK ,„, „T , ,
^'^^ '' aT " "^ '^^ ^7'^'' "^ l7dV "^ ''' ^ "*" ^^^^^ ~ ^^J '^"'^'' "" ""• L'équation aux rayons de courbure principaux R2 sera
dv
D'une manière générale, la remarque qui nous a donné les équations précédentes permettra de résoudre par la simple application des formules du Livre V toutes les questions relatives aux deux nappes de la développée. Les résultats qui précèdent sont d'ailleurs résumés dans le Tableau suivant.
34o LIVRE VII. — CHAPITRE VIII.
Tableau \U (suite au Tableau V) Nappes de la développée (Si) et (S2).
1^ Nappe (S,):
Trièdre (Ti), translalions ,
ti = o, -^i=y3j(R'R), ^1=-;^
Courbe tracée sur (S,)i w, angle avec l'axe des y,
(i) c/^i costoi =/?i(R' — R)dv, c^^i sincoi = f/R,
(2) dsj = dR'--hpl(K—Ky-dv\
/•jx siiicT,
(i ) r/f 1 = aa>i -h/>i ap,
'^'^l , , g / à^ y , àR ^ \
ds7 = - r -— du- — 7'i -T- di^' .
pi ^ /■ \ du ôv j
Lignes asymptotiques ,
(5) , î?5 ,/„.,, 15 rf,. = o.
du . ùv
Relation entre deux directions conjuguées
(6) r-—-ducu — /'i — dvhv^o.
du Ov
Lignes de courbure; R, rayon de courbure principal
j pi ( IV — R ) dv + Ri ( r du + r^ dv) = o, ( dK — Ri^y du = o.
Equation différentielle des lignes de courbure
(8) r—du^-^r.^-^dv^'-^ [/.^V/'i^ -4- ^/?i( R - R)|^m ^t^ = o. ^ ' au dv [ dv ^ du ^^^ ^J
Equation aux rayons de courbure principaux
''1 ^ - '' ^ + ^/>i(R - R')J Ri-/>i(R'- R)^ = «
IVoduit des rayons de courbure
dK
du
Trièdrc (To), translations
dix
LA SURFACE DES CEXTRKS DE COURBURE. 34l
2^ Nappe (S2) :
du ^1 = 0, -/l.^o, 1,,= '-^^
Courbe tracée sur (So); Wo angle avec l'axe des z (i) r/^a COSW.2 = û?R', r/52 sintoo = ^(R' — R)duj
sinTCTo - , ,
( 3 ) dS'} = dio:, -h q du^
(4) -dsl = ^( r^du'^— ri—-dv''
. ^ P2 ^ ri \ du d{>
Lignes asymptotiques
( 5 ) /• -T- du^- — /-i — - f/p2 ^ o.
Relation entre deux directions conjuguées
(0) r -^— duàu — /'i——di>ov = o.
du dç
Lignes de courbure; R2 rayon de courbure principal dR'-\- R2P1 dv = G,
( ^(R' — K)du — K^{r du -^ n di>) = o
Equation différentielle des lignes de courbure (8) .^' rf„.+ .. 5'rf..+ [r§ + '•, f + ?/.,(R'- R)] dud. = o. Equation aux* rayons de courbure principaux
Produit des rayons de courbure
342 LIVRE VII. — CHAPITRE Vin.
755. Les différentes formules que nous venons d'établir conduisent à plusieurs conséquences. Pour le moment, nous signalerons seulement celles qui ont un caractère tout à fait général.
Etant donné ^fig- 74) un point M de la surface (S), les points correspondants M4 et M2 des deux nappes (Sj) et (S2), ainsi que les plans tangents en ces points, dépendent exclusivement des éléments du second ordre de (2). Cette remarque, combinée avec l'emploi des différentiations successives, nous montre que :
Les éléments du n'-^^^ ordre des deux nappes de la développée en M, et en M2 dépendent exclusivement des éléments de la surface en Mjusqu^à V ordre n -\-i.
En d'autres termes :
S i deux sut faces ont en un point un contact d'ordre n, les deux nappes de leurs développées auront, aux points correspondants, des contacts d^ ordre n — i.
La réciproque est exacte et se démontre de la même manière :
Si deux surfaces ont un point commun M et si leurs développées ont, aux points correspondants Mj et Mo, des contacts d'ordre n, ces surfaces ont en M un contact d'ordre n-\-\.
Or, pour assurer un contact d ordre [jl, il laut -^ -^
conditions; par suite, suivant que l'on exprimera directement le
contact d'ordre n des deux surfaces, ou celui d'ordre /i — i
des deux nappes de leurs développées, on aura à écrire, soit
(n -hi)(n -^ 1) ■ . ?i( n-^-\) , . -f , . -, -, ^ -5 soit 2 — ^ équations. Les équations du second
groupe sont en nombre plus grand, à partir de la valeur 3 de n. Il y aura donc nécessairement des relations entre les éléments du même ordre des deux nappes de la développée ('). Dans le cas où
(') On peut obtenir un résultat analogue en se proposant de définir la seconde nappe de la développée quand on connaît la première. Soient, en effet,
les équations des deux nappes.
Si X, y, z; x', y, z' désignent les coordonnées de deux points correspondants,
a est égal à 3, ces relations se présentent sous une forme assezsimple si l'on introduit, avec MM. Mannheim et Ribaucour, la considération à\x paraboloïde des huit droites, à laquelle on est conduit naturellement par les remarques suivantes.
756. Envisageons un trièdre (T') dont les axes soient parallèles à ceux de (ï) et dont l'origine soit un point M' de la normale en M, Tabscisse MM' étant d'ai41eurs une quantité quelconque z. Suivant que l'on donnera à z' les valeurs o, R, R', on aura l'un des trièdres (T), (T,), (ïo) déjà définis. Quand le trièdre (T), et par suite le trièdre (T'), subira un déplacement infiniment petit, tout point invariablement lié à (T') aura, par rapport à (T), un mouvement qui se réduira à une translation dz' , parallèle à M -3. On obtiendra donc le déplacement d'un point {x^ y, z) invariablement lié à (T') en composant avec la translation dz' le déplacement du point considéré comme invariablement lié à (T) ; par suite, les composantes de ce déplacement seront [II, p. 385]
A du -{- qz du — ( /' du -^ ri dv)y — q {z — U ) du — y ( r du + r\ dv ) ,
Gdv -h (rdu^j^i di^)x — p^zdv — — pi{z — K') dv, -+- x{r du -\- r^ dv ) .
dz' +-piy dv — qxdu.
Si l'on veut que le déplacement du trièdre (T') se réduise à une rotation, il faudra qu'il j ait une ligne de points dont le déplacement soit nul^ ees points, qui formeront l'axe de rotation, devront donc satisfaire aux trois équations
/ q{z — R) <i« — j'(r û?a -h /'i <:/(^ ) =^0, (21) \ Pvi^- — ^) dv — x{r du ^ r^dv) =■ (^i
\ dz -\' p\y dv — qx du = o.
les relations entre les deux nappes se traduisent par les équations évidentes
pp'^qq'-i-i =0,
z — z'= p{x — x')-r qiy'—y'), z — z'r=p'{x — x')-\~q'{y-y'),
où p, q;p', q' ont la signification habituelle. Si, entre ces trois équations, on élimine x et y, on aura une équation aux dérivées partielles du premier ordre qui définira, autant qu'elle peut l'être, la seconde nappe. Si l'on garde les équations précédentes et si on les difîérentie une fois, par exemple, on trouvera deux relations entre les éléments du second ordre des deux nappes; et ainsi de suite.
3i(4 LIVRE VII. — CHAPITRE VIII.
Si, pour plus de netteté, on veut seulement considérer le trièdre (T), on peut dire que ces trois équations définissent tous les déplacements qui amènent (T) de sa position dans une position infiniment voisine et qui se composent d'une translation parallèle à la normale, associée à une simple rotation. La translation est définie par la troisième équation; les deux premières, prises seules, font connaître l'axe de rotation, axe qui existe pour tout déplacement. Comme la translation n'a d'autre effet que de faire glisser sur lui-même le dièdre des plans principaux, on peut dire que les deux premières équations (21) définissent les axes des rotations par lesquelles le dièdre des plans principaux peut être amené de sa position actuelle dans toute position infiniment voisine.
Le lieu des axes de toutes. ces rotations s'obtiendra par l'élimination de -1- entre ces deux équations. On trouve ainsi le paraboloïde défini par l'équation
ry ri x
jNous allons indiquer les huit génératrices de cette surface qui ont été signalées par M. Mannheim (').
Il y a d'abord les droites
qui sont les normales aux deux nappes (S,) et (S2) et qui appartiennent à un même système de génératrices rectilignes, celles qui ne sont pas les axes de rotations.
(') Les Notes de M. Mannheim relatives à ce sujet sont insérées dans le t. LXXIV (1872) et le t. LXXXIV (1877) des Comptes rendus. Nous signalerons plus particulièrement les deux suivantes : Détermination de la liaison géométrique qui existe entre les éléments de la courbure des deux nappes de la surface des centres de courbure principaux d'une surface donnée (Comptes rendus, t. LXXIV, p. 458). Sur le paraboloide des huit droites {même Recueil, t. LXXXIV, p. 645.) '
Une Note de M. Ribaucour sur les développées des sur/aces, insérée au t. LXXIV, page iSgg du même Recueil contient des résultats qui se rapportent au même sujet.
Les six autres droites sont toutes des axes de rotation et, par suite, rencontrent toutes les deux normales précédentes. Elles correspondent aux cas où le trièdre (T') se réduit à l'un des trois trièdres (T), (T,), (To).
Quand on se déplace sur une ligne de courbure de (S), le trièdre (T) peut être amené dans sa position infiniment voisine par une rotation (n° 489) qui, dans le cas actuel, s'effectue évidemment autour de l'axe de courbure de la ligne considérée. Ainsi les tangentes en M,, M2 aux courbes (c,), (^2) appartiennent au paraboloïde précédent.
Supposons maintenant que, 5' devenant égal à R, (T') se con^ fonde avec (Ti). Les déplacements de M, pour lesquels le trièdre {^\) est animé d'une simple rotation, s'effectuent (n°489) suivant une des lignes de courbure de (Si); l'axe de cette rotation se trouve dans le plan normal à la ligne de courbure et va passer par le centre de courbure principal correspondant. Cet axe devra, d'après une remarque déjà faite, rencontrer la normale à (S2). Ainsi :
Si Von considère sur une des nappes de la développée une ligne de courbure (y), le plan normal à cette ligne va couper la normale à Vautre nappe en un point qui, joint au centre de courbure de la première happe correspondant à la ligne de courbure (y), donne une des génératrices du paraboloïde précédent.
On obtient ainsi quatre génératrices nouvelles, ce qui donne bien, en tout, les huit droites du paraboloïde.
Il est aisé maintenant de reconnaître comment la considération du paraboloïde des huit droites permet d'exprimer sous une forme géométrique les deux relations qui existent entre les éléments du second ordre des deux nappes (Si), (S2) aux points correspondants. Supposons, en effet, que l'on connaisse, pour chacune des deux nappes, les directions principales et les centres de courbure principaux. Il sera toujours possible de construire les quatre génératrices qui figurent dans l'énoncé précédent : elles devront être parallèles à un même plan. Telle est la relation cherchée.
Le paraboloïde des huit droites, ne contenant pas dans son
équation -r- > -t— ? ne peut donner lout ce qui se rapporte aux courbures des deux nappes; mais il est commode pour certaines constructions. Sans insister sur ce point, nous nous attacherons surtout à la conséquence suivante de la méthode que nous avons suivie.
757. En ajoutant les équations (21) après les avoir multipliées respectivement par p^dv^ —qdii^ rdu-\-j\dv^ on trouve la relation
(33) p i q {W — K) du dv ^ dz' {r du H- r^ dv') — o,
qui détermine dz^ . Si donc deux trièdres (T'), (T'^), correspondants à des valeurs ^', ^' de ^, prennent en même temps un mouvement qui se réduit à une rotation, on devra avoir
dz' = <:/^".
Donc z^ — 5" sera constant dans la suite de ce mouvement.
Appliquons cette remarque aux deux trièdres (T,) et (T2) qui correspondent aux valeurs R et R' de -3. Quand leur mouvement se réduira à une rotation, leur sommet décrira une ligne de courbure de la nappe correspondante. Donc :
Si une famille de lignes de courbure de (Si) correspond à une famille de lignes de courbure de (So); la différence R — R' demeure constante quand on se déplace sur une de ces lignes.
La condition nécessaire et suffisante pour que les deux familles de lignes de courbure se correspondent sur les deux nappes de la développée d' une surface est que cette surface ak des rayons de courbure principaux dont la différence soit constante.
Ce Jernier théorème est dûà M. Ribaucour (').
Au reste, ces deux propositions se déduisent très aisément des équations difTérentielles. des lignes de courbure des deux nappes, prises sous les formes (10) et (18). On voit, en efFet, qu'il faut,
(') Ribaucour, Note sur les développées des surfaces {Comptes rendus, t. LXXIV, p. 1899; 1872).
pour que ces équations soient compatibles, que l'on ait
ce qui conduit immédiatement aux deux théorèmes précédents.
758. Avant d'appliquer aux surfaces W les résultats généraux que nous avons obtenus, nous signalerons une série de recherches que l'une des propriétés fondamentales de la surface des centres a suggérées à MM. Beltrami, Laguerre et Ribaucour.
Étant donnée une surface que, pour plus de netteté, nous supposerons rapportée à un système de coordonnées rectilignes rectangulaires, imaginons que, par chacun de ses points, on mène une droite, définie par les angles a, p, y qu'elle fait avec les axes du trièdre (T) relatif à ce point. Nous allons chercher la condition pour que toutes les droites ainsi obtenues soient normales à une surface.
Pour cela, prenons sur la droite un point M' à une distance / de M; les projections de son déplacement sur les trois axes du trièdre (T) seront, si nous conservons toutes les notations du Tableau IV [II, p. 385],
id{l cosa ) -r- A du "\- {q du -\- q i dv) l cosy — {r du -f- ri dv)l cos [i,
(24)^ û?( / cos [i ) -h G (ip -^- {r du^ ri dv)lcosa. — (p du ^ pi dv)l cos-'(,
[ d{l cos^() -^ (p du -+-pi dv)l cos ^ — (q du -\~ qi dv)l cosoL.
Il faut exprimer que l'on peut choisir pour / une fonction de u et de (^, telle que ce déplacement soit normal à la droite, quels que soient du et dç. Ecrivons cette condition: nous aurons, en ajoutant les composantes précédentes après les avoir multipliées par ^osa, cosj^, coçv, la condition
( 25 ) dl -\- A cos x du -\- C cos ^ dv = o.
Et, comme dl doit être une différentielle exacte, il faudra que l'on ^it
, ,, ()(Acosa) (9.(Gcos3) ^^^> ai— = du '
Telle est la condition cherchée. Comme elle est indépendante de yp, ^, fij ^, , nous obtenons la proposition suivante :
Si l'on considère des droites partant des différents points d'une surface (S) et si l'on suppose que la surface (2) 5e déforme en entraînant ces droites dans son mouvement, le système des droites ainsi reliées « (2) sera toujours formé de normales à une surface, ou ne le sera jamais (').
Notre méthode cinématique permettait de prévoir ce résultat. La déformation de la surface fait varier seulement les rotations py ^-iP^y ^\ et l'effet de ces rotations sur les points d'une droite passant par l'origine est de leur imprimer des déplacements normaux à la droite. On peut donc, si l'on doit exprimer qu'une droite est perpendiculaire au déplacement d'un de ses points, négliger les rotations du trièdre (T) et se borner à introduire les translations, qui dépendent seulement de l'élément linéaire.
On peut évidemment substituer aux deux équations (aS) et (26) celles-ci
(■21) A cosa = — j C4C0sp = — ,
^ au '^ Oi^
qui nous donnent, pour les coordonnées J^', y' du point M' où la droite MM' est normale à la surface (2^), les valeurs suivantes
, , l àl , , o l àl
(28) X = /cosa =—-----, y — t cosB — — ^ — ,
' K du "^ ^ C dv
d'où l'on déduit
Or, si, du point M comme centre, on décrit une sphère de rayon /, elle enveloppera évidemment la surface (2^). Le résultat obtenu par M. Beltrami peut donc s'énoncer ainsi :
Si Von construit des sphères ayant leurs centres aux différents points d' une sur face (2), les droites qui joignent chaque point de V enveloppe (2') des sphères au point correspondant
(') Cette proposition est due à M. Beltrami {Ricerche, art. VI, p. i5). Elle a été depuis retrouvée par Laguerre. {Voir une Nofe Sûr les systèmes de droites normales à une surface, insérée en 1878 aux Nouvelles Annales de Mathématiques, t. XVII, p. 181.)
de (2) demeurent inç>ariablement liées à cette surface quand on la déforme de toutes les manières possibles. En d'autres termes, les coordonnées du point de contact de chaque sphère, par rapport au trièdre (T) relatif à son centre, dépendent seulement de Vêlement linéaire.
11 est aisé de rattacher aux propositions précédentes les propriétés de la surface des centres. Imaginons, en effet, que les droites soient prises tangentes à la surface (S) ; et supposons même, ce qui est toujours permis, que l'on ait choisi les coordonnées de telle manière que ces droites soient tangentes aux courbes de paramètre V. On aura alors
cosa = I, cosp = o,
et la condition d'orthogonalité (26) deviendra
dk
On pourra donc prendre A= i, et l'on voit que les droites devront être les tangentes à une famille de géodésiques.
759. D'une manière générale, prenons pour les courbes de paramètre ç celles qui sont, en chaque point, tangentes à la projection de la droite correspondante sur le plan tangent de (S). Alors on aura constamment cos^ = o, et la condition d'orthogonalité (26) nous donnera
(3o) A cosa = ^(w).
Le cas particulier où A est égal à i nous conduit au théorème suivant, qui a été énoncé par M. Beltrami :
Si Von construit une famille de géodésiques et leurs trajectoires orthogonales; que, par les différents points de la surface, on mène des droites normales aux trajectoires, faisant avec la surface un angle, constant sur chaque trajectoire, mais pouvant varier quand on passe d'une de ces courbes à la sui^ vante, les droites ainsi obtenues seront normales à une même surface.
En particulier, on peut supposer que l'angle est constant, et
35o LIVRE VII. — CHAPITRE Vllt.
l'on réalise ainsi un assemblage géométrique dans lequel des droites normales à une surface (S') sont coupées sous un angle constant par une autre surface (S). On voit qu'alors les projeC'" lions des droites sur (S) sont tangentes à une famille de géodésiques.
D'autres conséquences peuvent encore être déduites des formules précédentes et, en particulier, le théorème de Malus et dé Dupin. Mais, comme nous avons déjà étudié cette question, nous renverrons aux Mémoires déjà cités. Nous nous contenterons de signaler une interprétation géométrique du paramètre différentiel ÙlI d'une fonction quelconque /.
Si, des différents points de (S), on décrit les sphères de rayon /, nous avons vu que la droite qui joint le centre de chaque sphère au point de contact de cette sphère avec son enveloppe fait avec la normale un angle y défini par la formule (29). On en déduit
(3i) sin«Y = A/.
760. Nous allons rattacher aux propositions précédentes des recherches plus générales relatives à des courbes quelconques.
Etant donnée une congruence quelconque de courbes (G), on peut établir de bien des manières une correspondance entre les différentes courbes (G) et les points d'une surface (S). Par exemple, on fera correspondre à chaque courbe (G) le point oii elle coupe (S) ou bien le point où un plan normal à (G) peut être tangent à (2), etc, La correspondance une fois établie, chaque courbe (G) occupe une certaine position par rapport au trièdre (T) du point ét)rrespondant de (S). Or, quand la surface se déforme, elle entraîne les trièdres (T) de chacun de ses points, et l'on peut concevoir qu'elle entraîne aussi les courbes (G), que l'on supposera invariablement liées chacune au trièdre correspondant. Getle notion du mouvement de déformation qui entraîne les courbes (G) étant admise, on peut se demander si ces courbes pourront être, pour chacune des formes que prend (S), normales à une famille de surfaces. Il y a là une série de questions, analogues à celles q\ie nous avons étudiées pour lesMroites, et que nous allons examiner dans les cas particuliers qui paraissent les plus intéressants.
Supposons que les courbes (G) soient planes et situées dans les plans tangents de (S). Rapportons chacune d'elles au trièdre (T)
LA SURFACE DES CENTRES DE COURRURE. 35l
du point de contact de son plan et de (S). Alors les coordonnées x, y d'un point quelconque de cette courbe peuvent être considérées comme des fonctions d'un paramètre t, dont la variation donnera tous les points de la courbe, et des coordonnées curvilignes u et (^ du sommet du trièdre (T). Si nous conservons toutes les notations du Tableau I [II, p. 882], les projections du déplacement du point (^, jk) seront
!da7 -^^ du -h- ^idv — (r du -h ri dv)y, dy -h ri du -h r^^dv -^ {r du-\- r^ dv)x, (p du -i-pi di>)y — {q du-\- qidv)x.
Il faut exprimer que l'on peut choisir pour t une fonction de u et de ^ telle que le déplacement soit, pour toutes les valeurs de du et de <f(^, normal à la courbe (C). On obtient ainsi la condition
-T- [dx -h ^ du -^ ^i dv — (r du-^ ri dv)y]
ày -\- ~[dy -^Tidu ■^■T\idv -^{r du-\- ri dv)x'\ = o.
Si l'on y remplace dx^ dy par leurs valeurs, et si l'on pose
elle prend la forme
(34) P^^-hMc?a4-Mi<ip = o.
Comme P, M, M| ne dépendent que de l'élément linéaire de la surface (S), on peut déduire de la théorie bien connue des équations de la forme précédente le théorème suivant :
Considérons des courbes planes formant une congruence et
nprmales à une ou plusieurs sur/aces (S^), (S'')- Admettons
qu'elles soient entraînées dans la déformation de la surface (S) enveloppe de leurs plans; les points de ces courbes qui se trou-
--(%hiS
35î LIVRE VII. — CHAPITRE VIIl-
valent sur (S'), (S"), ... ne cesseront pas de former des surfaces orthogonales aux courbes.
En particulier, si les courbes sont normales à toute une famille de surfaces, elles conserveront toujours cette propriété (').
Ici encore, des considérations cinémaliques très simples expliquent les résultats précédents. Les rotations/?, q^p^^q^^ qui varient seules dans la déformation d'une surface, n'impriment à tout point du plan tangent qu'un déplacement normal à ce plan, et il est clair que ce déplacement ne peut intervenir dans la question telle qu'elle a été posée.
761. Le cas particulier où la courbe (C) est un cercle conduit à une proposition élégante et nouvelle que nous allons faire connaître, parce qu'elle se rattache directement à la théorie de la déformation d'une surface. Prenons les équations qui définissent le cercle sous la forme
(35) X ~ XQ-^^cost, y =yQ->nKsmt\
jCoîjKo seront les coordonnées du centre, R le rayon du cercle^ et ces trois variables seront des fonctions de u et de v. On pourra prendre ici, d'après les équations (33),
Ml = f -j-^-h rji + ri^Toj cos?— ( -p -h ^i— ri/o) sin^-h /'iR.
Si l'on écrit la condition d'intégrabilité de l'équation (34) on trouvera, après quelques réductions et en tenant compte des
(') RiBAUcouB, Sur la déformation des surfaces {Comptes rendus, t. LXXj
formules (A) du Tableau I, [sïï (S* +1' +"'*»)
Cette équation, considérée comme devant déterminer t, ne peut admettre plus de deux solutions sans être identiquement vérifiée. Par suite :
Si les cercles d^une congruence sont normaux à plus de deux surfaces, ils admettent toute une famille de surfaces trajectoires orthogonales.
C'est le théorème déjà démoatré par des méthodes différentes auxn°M46 et 477.
Pour qu'il y ait une infinité de surfaces normales à tous les cercles, il faudra que, dans Téquation précédente, les coefficients de âin^, de cos^ et le ternre indépendant de t soient nuls séparément^ ce qui donnera trois relations. Résolvons les deux premières par rapport aux dérivées de R; nous obtiendrons le système suivant :
Or il suffit de comparer ces équations à celles que nous avons D. — ITI. 23
obtenues sous les n^^ (lo) et (12) à la page 267 pour reconnaître qu'elles n'en diffèrent que par les notations : on passe des unes aux autres en remplaçant x, y^ z par ^o>^0) R'- Si l'on remarque que, dans le problème actuel, x^^y^^ Ri sont, par rapport au trièdre (T), les coordonnées du centre d'une des sphères de raj^on nul passant par le cercle, tandis que, dans le problème traité à la pag:e 257, ^,y, z sont les coordonnées d'un point fixe de l'espace par rapport au trièdre (T), on sera conduit au théorème suivant qui établit les rapports annoncés entre la théorie des systèmes que nous avons appelés cycliques (Livre IV, Ghap. XV) et celle de la déformation des surfaces :
Pour trouver le système cyclique le plus général formé de cercles situés dans les plans tangents dUine surface (S), on prendra l'une quelconque (S') des surfaces applicables sur (2) et Ion construira tous les cercles (CI) qui sont à V intersection des plans tangents de {V) et d'une sphère fixe de rayon nul. Si la surface (S') se déforme en entraînant les cercles (C), de manière à venir coïncider avec la su/face proposée (S), la congruence des ccf^cles (C) se transforme dans le système cyclique cherché.
762. On peut, à l'aide de quelques considérations géométriques, expliquer en partie et même généraliser la proposition précédente. Etant donnée une surface (2), déformons-la de manière à obtenir une nouvelle surface (2') et supposons que les différents plans tangents de (H) soient entraînés dans cette déformation. Un point M de l'espace se trouve dans une infinité de plans tangents de (S); et, par suite, il viendra, après la déformation de cette surface, occuper une infinité de positions différentes distribuées sur une courbe (y), suivant qu'on le regardera comme lié à tel ou tel de ces plans tangents. Puisque à chaque point M correspond ainsi une courbe (y), il suit de là qu'à tous les points d'une ligne quelconque (R) correspondra une surface ($), qui se replierait et se réduirait à (R) si la surface (2'), en se déformant, venait de nouveau coïncider avec (2), Cela posé, soit (A) une développable circonscrite au cercle de l'infini; elle est coupée par les plans tangents de (2) suivant des courbes (G) qui, entraînées daps la déformation de (2), deviennent des courbes (C^), situées dans les
plans tangents de (S^). Nous allons montrer que ces courbes (C) sont normales à toutes les surfaces (<ï>) qui correspondent aux différentes génératrices rectilignes de (A).
Pour établir cette proposition, il suffit de remarquer qu'elle subsistera pour toutes les formes de (2^), quand elle sera établie pour l'une d'elles (n° 760). Prenons donc la surface dans sa forme initiale (S); alors la proposition devient évidente; car toutes les courbes (C) qui passent en un point M de la développable (A) y sont orthogonales à la génératrice rectiligne, qui, pour ces déi^eloppables singulières, est aussi la normale à la surface; et cette génératri<îe rectiligne est bien la forme actuelle de l'une des surfaces (<ï>).
Il suffît maintenant de supposer que la développable (A) soit une sphère de rayon nul pour retrouver les systèmes cycliques qui font l'objet de la proposition énoncée à la fin du numéro précédent.
Cette proposition a de nombreuses conséquences sur lesquelles nous n'insisterons pas en ce moment. On en déduit, par exemple, que, si l'on connaît les trois familles orthogonales qui composent un système cyclique, on peut, sans aucune intégration, trouver une surface (2/) applicable sur la surface (S) enveloppe des plans des cercles du système, puis d'autres systèmes cycliques pour lesquels les cercles soient dans les plans tangents de (S) ou de (S'),
Tous ces résultats, que le lecteur pourra développer, nous éloigneraient de notre sujet; nous nous attacherons, au contraire, à la proposition suivante, qui joue un rôle fondamental dans la théorie des surfaces à courbure constante et qui a été établie analytiquement par M. Ribaucour dans la Note citée plus baut.
Cherchons s'il existe des systèmes cycliques formés avec des cercles tous de même rayon R. Si nous conservons toutes les notations du théorème fondamental, nous voyons que tous les plans tangents de la surface (S') devront être coupés suivant des cercles de même rayon R par une sphère de rayon nul. Si G est le centre de cette sphère réduite à un point, il faudra évidemment que (S') soit une sphère de centre G et de rayon Ki\ de plus, tous les cercles situés dans les plans tangents de (2') auront leurs centres aux points de contact de ces plans. Revenant de là à la surface (S)^ nous obtenons le théorème de ]VL Ribaucour :
356 LIVRE VII. — CHAPITRE VIII. — LA SURFACE DES CENTRES DE COURBtRE.
Il existe des systèmes cycliques pour lesquels les cercles sont tous égaux. On les obtient en prenant une surface quelconque à
courbure totale constante r^ et en décrivant, dans chaque plan
tangent de cette surface et du point de contact comme centre, un cercle de rayon R.
Il résulte de notre méthode que l'on saura trouver les trois familles qui composent le système orthogonal dès que Ton saura appliquer 1-a surface sur la sphère de rayon Ri, c'est-à-dire trouve r ses géodésiques (n° 684). Mais nous reviendrons plus loin (Chap. XI) sur ce sujet. Nous avons voulu seulement montrer comment la proposition que nous venons d'énoncer se rattache au théorème général du numéro précédent.
