II

C, C" désignant les dérivées première et seconde de G par rapport à la variable u.

Si, conformément à nos notations habituelles, nous désignons par a, a', a" les cosinus directeurs de la tangente à la géodésique, la propriété de la surface cherchée se traduit par les deux équations

^ \ a/-+- a'tp -f- a'^ --- o,

364 LIVHE vil. — CIIAIMTRE IX.

où/,cp, (|> sont des fonctions de a et/i, 'fi,<J>i des fonctions de p. Gomme les rapports seuls de ces fonctions interviennent dans les équations précédentes, on peut, pour simplifier les calculs ultérieurs, supposer que l'on a

En choisissant convenablemen-t les paramètres a et [i, nous pourrons encore, sans diminuer la généralité, ajouter les deux équations suivantes :

f'I ^ cp'2 H ^'2 = , ^

DifTérentions la première des équations (i3) par rapport à [i; nous trouverons

Or on a, par exemple, 6 et c conservant leur signification habituelle,

0a ■ { du àv\ / du âv

à? = * ('• d? ^ '"' J3 ; - " (* ds ^ 'j' ôp.

ou, en remplaçant /•, /-, par leurs valeurs et tenant compte de la seconde formule (12),

(.7) g = [6C-c/CC"]|.

Si Ton substitue cette expression de -tq et les expressions ana

fi/y' A/y"

logues de -Q- j -tq- dans l'équation (16), il viendra

(^/+ 6'cp -r- 6"<^-)G'- (c/-^ c'cp + c"t^)v/GCr= o. On peut donc poser

cf -v- c' cp -h c" «l» = XC,

)v étant un facteur que l'on obtiendra d'ailleurs immédiatement si l'on ajoute les deux équations précédentes et la première (i 3),

après les avoir élevées au carré. On trouve ainsi

(19) X2(G'2-hGC") = i.

En différentiant de même la seconde équation (i3) par rapport à a, on obtiendra encore les deux relations

où A a la même valeur que dans les formules (i8).

Gela posé, différentions la première équation (i8) par rapport à j3. Comme on a

dh / du ^^^\ (du dv\

et les équations analogues en 6', U' ^ on trouvera

Si l'on remplace /? -75 — \- p^ -<k par sa valeur tirée de la première équation (12), il viendra

En différentiant la première équation (20) par rapport à «>, on obtiendra de même la relation

qui, rapprochée de la précédente, nous donne

Intégrons ces deux équations; nous aurons

(•2.) ^\/%^^^ X/GG^^ti,

U désignant une fonction de xi et V une fonction de v. Si mainte-

366 LIVRE vil. — CHAPITRE IX.

fiant on divise membre à membre, on trouvera

On voit donc que la surface cherchée doit être applicable sur une surface de révolution; et l'on peut supposer V égal àl'unité. En remplaçant \ par sa valeur, tirée de l'équation (19), dans l'une quelconque des équations (21), nous aurons