Ecrirons ces équations sous la forme

£. £*. -"désignant Tunité positive ou négative; Télimination de // et de 0 conduit à l'équation irrationnelle

qui déterminera o.

Si l'on chassait les radicaux, on trouverait une équation du quatrième ordre par rapport à c-. Nous discuterons cette équation seulement dans le cas où /. m, n sont inférieurs à i. c'està-dire où les trois secteurs hélicoïdaux ont des angles moindres que ?:. .Vlors si. par un point de l'espace, on mène des parallèles aux trois droites en attribuant à ces parallèles un sens convenable, /n, niT., nT. seront les suppléments des angles formés par ces trois parallèles.

It., niT,^ nr. étant les angles d'un triangle sphérique, on a les

APPLICATIONS DIVERSES DE LA MÉTHODE PRÉCÉDENTE. 5o5

inégalités

Par suite, si, dans l'équation (60), on fait d'abord

et si Ton substitue à la place de c' les deux valeurs 00 eto, le premier membre sera certainement négatif pour c = qo; mais, pour c = o, il aura un signe qui dépendra entièrement de celui du facteur e. On peut donc choisir s de telle manière que les résultats des deux substitutions précédentes soient désignes contraires, ce qui met en évidence une première racine au moins de Téquation en c^.

Si Ton fait maintenant, soit

soit

on trouvera encore deux autres équations irrationnelles, qui auront chacune au moins une racine réelle; ce qui donne, en tout, trois racines réelles de l'équation en c^, convenant chacune à une forme connue de Téquation irrationnelle (60).

Pour séparer la quatrième racine, changeons c en c'i\ Téquation (60) prend alors la forme

Adoptons la combinaison suivante des signes

en supposant que j^ désigne la plus grande des quantités 7^» - 3

-T- Si nous substituons maintenant 00 et la valeur

5o6 LIVRE III. — CHAP. XII. — APPLICATIONS DE LA MÉTHODE PRÉCÉDENTE.

le résultat de la première substitution aura le signe de

c'est-à-dire le signe de s, d'après les inégalités (6i). La seconde substitution donnera un résultat

dont le signe est inconnu, mais ne dépend nullement de s. On pourra donc choisir le signe de s de telle manière que les résultats des deux substitutions soient de signes contraires, et Von aura ainsi mis en évidence la quatrième racine. En portant successivement les valeurs de c dans les formules (Sg), on déterminera les valeurs correspondantes de a et de 6, qui seront réelles si Ton prend pour c une des trois valeurs réelles, et purement imaginaires comme c si l'on emploie la dernière racine. On voit que l'on sera ainsi conduit à quatre surfaces différentes, pouvant toutes être acceptées.

Nous terminerons ici, avec le premier Volume de cet Ouvrage, la théorie des surfaces minima et l'étude du problème de Lagrajige et de Plateau. Ce problème, qui doit compter au nombre des plus intéressants que l'expérience ait jamais posés aux Géomètres, est aussi un de ceux dont les progrès sont le plus étroitement liés à ceux de l'Analyse moderne; le lecteur l'aura certainement remarqué en étudiant les développements, peut-être trop rapides, donnés dans les trois derniers Chapitres.