Nous indiquerons les deux applications suivantes
Prenons d'abord tous les entiers n égaux à zéro, sauf deux auxquels nous attribuerons la valeur — 2, pour satisfaire à la relation (18); et supposons que les valeurs a de ^ correspondantes à ces deux derniers exposants soient o et 00 . Les valeurs de G et
du contour, la normale demeurera parallèle à un plan vertical fixe et, par conséquent, l'argument de u sera constant. Donc la fonction
d\o%u dt
sera réelle pour toutes les valeurs réelles de t. Cette fonction a des pôles qui correspondent aux divers sommets du contour; d'autre part, si le plan tangent ne devient horizontal en aucun point situé à l'intérieur du segment ou sur un côté du contour, clic ne devient infinie pour aucune valeur réelle ou imaginaire de t différente de celles qui correspondent aux sommets de ce contour. On a donc
d loga
dt et l'on déduit de là, en intégrant,
a = A'JJ(f-a)«'.
dz De môme, la fonction -^ étant nulle sur toutes les droites du contour, le produit GH demeurera réel quand on se déplacera sur chacune de ses droites. La considération de la surface adjointe montre que GH sera, au contraire, purement imaginaire sur chacune des lignes de courbure planes du contour. On déduit de
là, en considérant encore la fonction 5 , que GH sera de la forme
ai
GH = B'JJ(f-a)ï.
Les deux formules précédentes donnent bien les valeurs de G et de H admises dans le texte.
Si Ton veut faire intervenir des points où le plan tangent soit horizontal et situés soit à l'intérieur, soit sur le contour du segment, il suffira d'adjoindre à une des deux intégrales G, H des facteurs tels que
où h sera réel, et
où c et c, seront des quantités imaginaires conjuguées.
(le H prendront alors la forme suivante
H(0= B«-i-'»TT(<-a)-a.
Si le produit AB est réel et si les exposants a sont tous inférieurs en valeur absolue à - > tous les sommets correspondants aux
valeurs finies de t seront à distance finie, tandis qu'il y aura deux secteurs infinis correspondants aux valeurs o, oo de t. Nous déterminons ainsi le segment (M) de surface minima compris entre une ligne brisée plane composée d'un nombre quelconque de côtés et une droite qui est parallèle au plan de la ligne brisée.
On trouve
dt
Comme on a
^=(i)l/gtlAB— ='^R2lABl0g/.
log/ = logp-+- io,
p désignant le module et o l'argument de t qui demeure compris
entre o et ?:, on voit que z varie entre o et — 2AB7r. On devra donc
prendre
2 ABtt = — 0,
0 étant la distance de la droite au plan de la ligne brisée. Les constantes qui demeurent arbitraires se détermineront par la condition que les côtés de la ligne brisée aient des longueurs données. Cet exemple comprend comme cas particulier un de ceux qui ont été traités par Biemann ; il suffit de supposer que la ligne brisée se réduit aux deux côtés d'un angle pour retrouver le second des problèmes signalés au n° 262.
302. On peut traiter de la même manière le problème de Gergonne (n" 26o) et déterminer complètement la surface minima qui, passant par deux diagonales opposées d'un parallélépipède droit, coupe à angle droit deux faces latérales opposées de ce parallélépipède. Pour plus de simplicité, nous supposerons le parallélépipède rectangle {fig* 21).
488 LiVBE m. — cuAP. xii.
On peut toujours admettre que les sommets a, 6, c, d du contour correspondent à des valeurs de t que nous désignerons par
a étant plus petit que 6. De cette manière, les courbes planes bc et da du contour correspondront aux deux intervalles ( — a, -h ^r) et (6, 00 , — 6).
On doit poser ici
f G = A(6 -+- /)«.(a — /;«•(« — /)*»(^ — /)*s avec les conditions
(23) OLi^?i=^y Zni = --^,
les entiers ni étant impairs, puisque tous les sommets du contour sont de seconde espèce. D'ailleurs, comme tous les sommets sont à distance fînie, nous devons avoir
et, par conséquent, en ajoutant,
Les quantités ni doivent être supérieures à — ?. ; comme leur somme est — 4) on a nécessairement
et les conditions (28) se ramènent à la forme
Si Ton lient compte des inégalités (24)» on voit que a/ et ^i doivent être compris entre o et — -• Par suite, la différence a/ — p/
sera inférieure en valeur absolue à - •
Or (a/ — p/)ir mesure, au signe près, l'un des angles formés par les deux grands cercles qui servent de représentation sphérique aux deux portions du contour se coupant au sommet (1); si Ton
désigne par om l'angle de la diagonale ab avec le côté ad' du parallélépipède, ces deux cercles font entre eux les angles
«TT, (l — a)TT.
Comme (a/ — Pi)ir est inférieur à -> il faudra prendre
( 3t/ — p/ ) ~ ^ — ^tiT ;
celte équation, jointe à la formule (aS), donne les deux systèmes de valeurs
pour a/ et P/. On pourrait faire différentes combinaisons de ces deux systèmes; mais, pour obtenir celle qui correspond à la Jig, ai, nous remarquerons que Ton a ici
Or, si Ton se reporte à la figure, on voit qu'en prenant un sens déterminé pour la normale, on a
en a et en dy
M = oc ,
en 6 et en c;
il faut donc prendre
«!>?!, af<Pî» ajOa, a4>p4,
ce qui détermine complètement les exposants et donne
Si l'on suppose que le plan des xz ait été pris parallèle à la face ba'cd' du parallélépidède, u doit être réelle dans l'intervalle
( — a, -1-a); il faudra donc que |^ soit réel. On peut d'ailleurs
déterminer ce rapport par différents moyens.
Par exemple, on pourra exprimer que Taccroissement de x est le même en valeur absolue quand on passe du sommet b au sommet c, ou du sommet d au sommet a. En se reportant aux équations (3) [p. 434] qwi définissent la surface, on est ainsi conduit à l'équation
2 Ç (Gî— H»)rf« = 2 f (G2— II«)rf/,
Effectuons dans le second membre la substitution
ab
Un calcul facile donnera
.A /6\a t'Wit') „,^, . .B /a\a /' 0(0
r/M ^ .A [bYfWjt') .... . .B /aV
rrr— j
et l'équation prendra la forme
ou encore - f— — —^
Tous les éléments de l'intégrale étant positifs, il faudra que
l'on ait
On prendra donc, pour satisfaire à cette équation,
ai « 1
et les valeurs définitives de G(i), H(^) seront
M sera une constante réelle : on le reconnaît immédiatement en exprimant que -,- est nulle pour chaque point de la droite ab.
Le rapport j se déterminera par la condition que le parallélépipède à l'intérieur duquel se trouve le segment déterminé (M) soit semblable au parallélépipède donné. Dans le cas où la base est
carrée, il faudra faire a = - (M.
303. Nous venons de montrer, par l'étude de deux problèmes particuliers, le parti que l'on peut tirer de la forme générale des valeurs de G(^)etH(^), donnée au n° 300. En continuant l'application de la méthode synthétique qui a réussi dans les exemples précédents, nous allons étudier deux formes nouvelles des mêmes intégrales, qui dépendent des fonctions elliptiques et nous donneront une solution élégante de l'un des problèmes étudiés par Riemann.
(J{t) et 5(0 désignant les valeurs nouvelles des fonctions G et H, prenons
( Ç(0 = AjjH*(«-a)JJe-?(^-6), (3o)
(0=BjJlP'(<-a)JJe-P'(^-6).
(*) Si Ton cherche la valeur de la fonction J{u) de M. Wcierstrass relative à la surface que nous venons de déterminer, on est conduit à un résultat de la forme
Kf***
\/(6-aw«)(a-6u«)
Pour le cube, on a a = ^ et l'on retrouve la forme de éf (u) donnée par M. Schwarz dans le Mémoire que nous avons cité (n** 265).
49'» LIVRE III. — CUAP. Xll.
Dans ces formules, A et B désignent deux constantes quelconques; a, bj a, ^, a', ^' sont des constantes réelles, et le nombre des constantes a n^est pas nécessairement égal à celui des constantes 6; enfin les symboles H et 6 désignent les transcendantes de Jacobi, le module k étant supposé réel et plus petit que l'unité. En répétant les raisonnements indiqués dans les numéros précédents, nous reconnaissons immédiatement que, si Ton donne à t des valeurs réelles quelconques, le contour de la surface correspondant à ces valeurs réelles de t se composera de droites parallèles au plan des xy ou de courbes situées dans des plans coupant la surface à angle droit et parallèles à l'axe des z\ il suffira, pour cela, que le produit A^B^ soit réel et que les exposants satisfassent aux relations
où n désignera toujours un nombre entier. Mais ici se présente une circonstance tout à fait exceptionnelle : si Ton change t en t -I- I R', les formules bien connues
e(/-4-iK') = H(0« **" H(^-T-iK') = e(r)c ^^
montrent immédiatement que C^{t) et /j(/) ne changeront pas de forme pourvu que les exposants soient liés par les relations
(3i) 2a — Sp=o, 2a' — 2?' = o.
que nous supposerons vérifiées. Alors toutes les fonctions H se changeront en fonctions 6, et réciproquement; on aura
Par conséquent, si l'on a
et si la somme
2a(a-Ha') — 26(p-+-p')
est un multiple de K, il y aura sur la surface uq second contour tout semblable au premier, qui correspondra aux valeui*s de t dont la partie réelle est quelconque, mais dont la partie imaginaire est <K^ Par suite, la portion de la surface qui contient tous les points pour lesquels la partie imaginaire est comprise entre o et iK' formera une espèce de bande, limitée par deux contours distincts, de la nature de ceux que nous avons étudiés, c^est-à-dire formés soit de droites, soit de plans que la surface coupera normalement, les droites étant, toutes, parallèles au plan des xy et les plans tous parallèles à Taxe des z.
Pour nous borner au cas le plus simple et le plus intéressant, nous supposerons que les exposants soient liés par les relations
Alors, si le produit AB est réel et si les exposants a, ^ sont tous inférieurs en valeur absolue à \, la bande de surface déjà définie sera limitée par deux lignes brisées situées dans deux plans parallèles au plan des xy. Les sommets de Tun des contours correspondront aux valeurs
de ^ et à ces valeurs augmentées de multiples de 2K^ceux du second aux valeurs
bi -}- iK\ ^2 H- /K', . . .,
cl à ces valeurs augmentées également de multiples quelconques de 2K.
La valeur de Zj donnée parla dernière des formules (3) [p. 4^4], devient ici
(34) z = '^Af'iiAB dt = 2ABcRi7.
Si donc on pose
(35) -^.ADK'^ — 0,
le segment de surface sera tout entier compris entre le plan des xy et le plan
La périodicité des fonctions 6 et II entraîne d'ailleurs certaines
propriétés de la surface; si, dans les expressions de Ç et de 5» on change / en / -f- 2K, un calcul facile donne
Ces formules définissent un déplacement parallèle à Taxe des z. Si donc on considère seulement le segment (M) de la surface qui correspond aux valeurs de t représentées par des points à Tintérieur du parallélogramme (2K, îK!) des demi-périodes, ilsufBra, pour obtenir toutes les autres parties de la surface, de faire tourner le segment (M) d'angles égaux aux multiples de htzYol autour d*un axe convenablement choisi, parallèle à Taxe des z. Nous allons chercher la condition pour que le segment (M) forme une surface annulaire fermée, qui sera alors nécessairement limitée par deux polygones fermés, et dont chaque point correspondra ainsi à une infinité de valeurs de t qui seront égales, à des multiples près de 2k.
Pour qu'il en soit ainsi, il faut évidemment que les valeurs de Ç^(^)î c5^(^) soient périodiques, ce qui aura toujours lieu d'après les équations (36), si Ton a Tunique relation
(37) la = -\,
N désignant un nombre entier, La première des équations (3i) nous donne alors la relation
à laquelle devront satisfaire les exposants ^.
Considérons maintenant une section plane quelconque dont le plan soit parallèle au plan des xy. Elle correspond, d'après la formule (34)» '*^ ^^^ valeur de t
dont la partie imaginaire est constante. Pour que cette courbe soit fermée, il faudra, comme le montrent les formules qui déterminent la surface, que les deux intégrales
soient nulles toutes les deux. Il suffit d'intégrer le long d'un rectangle pour reconnaître que ces deux intégrales seront nulles pour toutes les valeurs de A, si elles le sont pour h = o.
En résumé, si les trois conditions suivantes sont vérifiées,
la surface minima déterminée sera un segment annulaire (M), à connexion double, compris entre deux plans parallèles dont la distance esto et limité par deux polygones fermés quelconques situés dans ces plans. Ces deux polygones, qui n'ont pas nécessairement le même nombre de côtés, seront, l'un et l'autre, de l'espèce N; c'est-à-dire qu'un point mobile ne pourra revenir au point de départ après les avoir entièrement parcourus qu'après avoir fait N tours complets. On reconnaît aisément que le nombre de constantes arbitraires contenu dans la solution est précisément égal à celui des arbitraires qui sont nécessaires pour la détermination complète du contour.
Cet exemple est le dernier de ceux qui ont été traités par Riemann (n** 262). On peut l'étudier d'une manière directe en suivant la méthode indiquée plus haut, dans la Note du n** 300 (*).
304. Nous développerons maintenant une remarque générale qui nous paraît de nature à faire mieux comprendre le caractère propre des solutions précédentes. Soit
l'équation linéaire dont deux solutions connues, G et H, doivent être substituées dans les formules qui déterminent la surface. Substituons à la fonction 0 la fonction plus générale 0|, liée à 0 par la relation
(40) 0, = v/K(^ + Se);
(') Riemann avait seulement indiqué que le problème pouvait être résolu; et les développements si intéressants donnés sur ce sujet dans les Œuvres complètes du grand géomètre (p. l{i% et suiv. ) sont l'œuvre de M. II. Weber.
496 LIVRE 111. — CIIAP. XII.
R et S étant des fonctions de t qui seront réelles pour les valeurs réelles de t, et que, pour plus de simplicité, nous supposerons uniformes dans toute Tétendue du plan. Substituons au segment (M) de surface minima déterminé par les deux solutions G et H le segment (M| ) qui serait défini par les nouvelles fonctions
(^1) G, = v/H(!g-^SG), H,=v/h(^» -4-SG,);
nous allons voir que ce segment (M|) et le segment (M) sont limités l'un et l'autre par des contours qui ne sont pas nécessairement, superposables, mais qui sont au moins de même espèce.
Soit, pour fixer les idées, (rf) une droite du contour de (M), qui correspond à un intervalle réel {ak-, «a+<) dans lequel varie /. Si l'on amène l'axe des y à être parallèle à la droite (cf), il faudra eflectuer sur G et H une certaine substitution linéaire dont la forme a été donnée au n® 282; il faudra aussi soumettre G« et H| à la même substitution linéaire, ou à une substitution dont les (|uatre coefficients auraient leur signe changé. Si donc on désigne par g^ A, ^1, /t| les nouvelles valeurs de G, H, G«, H|, il suit de la forme linéaire des relations (/[i) que l'on aura
£ désignant toujours l'unité positive ou négative.
Cela posé, donnons à ^ la valeur réelle, comprise entre a* et ^/A+i , qui convient à un point de la droite (rf) ; g et h seront toutes les deux réelles ou toutes les deux purement imaginaires (n°287). Puisque, par hypothèse, R et S sont des fonctions réelles pour toutes les valeurs réelles de t, gx et hx seront, comme g et A, toutes les deux réelles ou toutes les deux purement imaginaires. Par suite, la portion du contour de (M|) qui correspond à l'intervalle {ahi o,k^x ) sera aussi une droite (rf, ), parallèle à la droite (rf). La démonstration se ferait de la même manière si la portion considérée du contour de (M) était située dans un plan (P) normal à la surface : la portion correspondante du contour de (M|) serait dans un plan (P|) parallèle à (P) et normal à (M|); on le reconnaît d'ailleurs presque immédiatement en passant aux surfaces ad-
jointes de (M) et de (M|). La proposition que nous avions en vue est donc établie dans toute sa généralité.
Les fonctions R et S pourront s'annuler, avoir des pôles ou des points singuliers essentiels. Il en résultera, pour le segment (M|), des singularités, ou des points de ramification, ou des nappes infinies; certains sommets du contour pourront être rejetés à rinfini, ou ramenés à distance finie; il pourra y avoir des stationnements ou des rebrousscments sur certaines parties du contour. Nous n'insisterons pas sur toute cette discussion. Le point essentiel que nous avons voulu mettre en évidence, et qui est important pour la théorie générale des équations aux dérivées partielles, est le suivant : on peut trouver une infinité de surfaces minima, dépendant d'un nombre limité ou illimité d'arbitraires, qui contiendront toutes un contour de nature donnée; en sorte que la condition, pour une telle surface, de contenir un contour donné ne la détermine pour ainsi dire pas et ne permet pas, en particulier, de fixer la valeur ou la forme des fonctions arbitraires qui entrent dans son intégrale. Le problème est susceptible d'une solution précise et déterminée dans le cas seulement où Ton ajoute les conditions de continuité indiquées dans tous les exemples précédents.
305. M. J.-A. S erre t, dans un article inséré au t. XL des Comptes rendus (*), a montré qu'il existe une infinité de surfaces minima passant par deux droites, et que ces surfaces contiennent dans leur équation une fonction arbitraire. On obtiendra toutes ces surfaces en appliquant les remarques précédentes au problème particulier du n" 267. Les hélicoïdes obtenus dans cet article correspondent à des valeurs de II et de G qui sont de la forme suivante
G — t"\ II = <-!-'« ;
si on porte ces valeurs dans les formules (4o), on aura
Gt = Vn v/r(s - y), II, -- t-'n-X v/k(s - '-^\
(') J.-A. Serret, Sur la moindre surface comprise entre des lignes droites données, non situées dans le même plan {Comptes rendus, t. XL, p. 1078; i855).
La même question a aussi été traitée par M. O. Bonnet dans le Mémoire déjà cité Sur l'emploi d'un nouveau système de variables, etc. (voir Journal de Liouville, 2* série, t. V, p. a^O*
OU, plus simplement,
P Cl Q étant des fonctions réelles pour les valeurs réelles de /.
306. Supposons encore que, ^i, a^^ - » » , cis étant les valeurs de / relatives aux points singuliers, on prenne dans les formules (4o)
tous les nombres /u étant entiers et ayant leur somme nulle. On obtiendra la surface définie par les équations
(43) . '^v^'^/l ^(G2-^-II*)Rc/^
z z=A CiiGWlKdt,
Le segment de cette surface qui correspond aux valeurs de / dont la partie imaginaire est positive est limité par un contour dont tous les éléments sont parallèles à ceux du contour qui limite la surface primitive. Ce segment n'offre d'ailleurs aucune singularité; certains sommets seulement pourront être rejetés à rinfini; d'autres ramenés à distance finie.
Si Ton prenait pour 11 une fonction réelle quelconque, on introduirait nécessairement des singularités; mais elles pourraient ctre toutes à une distance finie du contour.
307. Nous appliquerons encore les remarques précédentes aux différenU's solutions du problème que nous avons obtenues au 11° 297 ])ar l'emploi de Téquation de Gauss. Nous avons vu que, si
Ton pose
•fi-' ^L~l
Y désigiianl une solution particulière de l'équation de Gauss, les deux valeurs (i et H de 0 déterminées par les formules (^) définissent une surface minima contenaut trois droites dont les angles
sont quelconques. Substituons à 0 la fonction
0, :=/(i-O1*(oJ^-hQ(/)0,
oùP(/)et Q(^) désignent des polynômes réels, de degrés m — i et m respectivement, n^ayant aucun facteur commun. Les deux valeurs G|, Hi de Oi, obtenues en substituant successivement G et H à 6, définiront une surface minima contenant trois droites et ne présentant, en dehors des sommets qui correspondent aux valeurs o, i, oc, que des points de ramification; car les intégrales Gi et H| sont partout finies et continues et elles ne s'annulent jamais simultanément en dehors de ces sommets. Etudions le cas le plus simple, celui où l'on a
(45) Oj := Ct{\—t)-^- -^fa/-r-^(l — /)]e,
les constantes r/, b^ c étant toutes réelles ou toutes puremeni imaginaires.
Alors les exposants des six intégrales régulières de l'équation en 0« sont (*)
Pour le point o — — > ■ h i - - y :
Pour le i)oinl i . .. , - . 1- y — a — p ;
Pour le point ac fi — - i, a — ' -- — i
Si donc on pose
p -f- a — •;►. — ( |JL -h V — 2 ) = — »
n, n\ /^" seront des nombres entiers, pairs ou impairs suivant que le sommet correspondant sera de première ou de seconde espèce,
(») Pour certaines relalions entre a, bj c, il est clair que quelques-uns de ces exposants pourraient s'élever. Par exemple, si la constante b est nulle, le premier exposant relatif au point o est augmenté d'une unité; et la somme des exposants
'3oO LIVRE III. -- CHAP. XII.
et l'addilion des trois équations précédentes nous donnera
Si les deux premiers sommets sont à distance finie, les sommes
I et I des exposants pour ces deux points devront être
supérieures à — i. On aura donc
n ;- /i' > o et, par conséquent,
Le troisième sommet sera donc à Tinfini, et la surface aura un secteur infini, de forme plus ou moins compliquée. Nous laisserons de côlé l'examen de toutes ces hypothèses et nous remarquerons seulement que la surface peut avoir trois secteurs infinis logarithmiques; ce qui aura lieu si Ton prend
Les trois sommets sont alors de même espèce et l'on obtient une surface minima passant par trois droites dont aucune ne rencontre les deux autres. On a
|A-^ Y — i, vr^ — (y — a— ?),
et Ton détermine les valeurs de G< et de H^ qui font connaître la surface en substituant à la place de 9, dans la formule (45)» les deux valeurs de G et de H définies par les équations (7). Il faudra, dans ces équations, remplacer a et v par les valeurs précédentes et prendre pour la valeur de K- une constante réelle quelconque. Il est inutile en effet de conserver à R^ une valeur arbitraire puisqu'elle vient s'adjoindre comme facteur aux constantes a, 6, c, qui entrent dans l'expression de 9|. Si l'on prend, par exemple,
(46) Kî =
des six intégrales régulières, au lieu d'être égale à —1, devient égale à zéro. Nous laisserons de côté l'étude de ces cas exceptionnels qui conduiraient, si nous ne nous sommes pas trompé, à différentes surfaces parmi lesquelles se trouve celle qui a deux secteurs infinis hélicoïdaux et qui contient trois droites dont deux se coupent, l'ensemble de ces trois droites n'étant d'ailleurs assujetti à aucune autre condition.
APPLICATIONS DIVERSES DE LA METHODE PRÉCÉDENTE. 5oi
la formule (9) nous donnera
(47) GH -HG = , "' :
nous allons faire usage de cette relation.
Les fonctions G^ et H| que nous venons d'obtenir, et qui déterminent la surface, dépendent de six constantes arbitraires a, 6, c, a, p, y. Il est aisé de reconnaître que la forme du système formé par trois droites dépend également de six constantes : si Ton se donne, par exemple, les angles de ces droites et leurs plus courtes distances, on pourra d'abord construire le système formé par les deux premières; et, pour déterminer la troisième, il suffira de mener à deux cylindres de révolution ayant pour axes ces deux droites une tangente commune, parallèle à une droite donnée. Il semble donc que la surface déterminée dans la solution précédente pourra contenir trois droites quelconques : on peut mettre ce point essentiel hors de doute en employant la méthode suivante, qui a été donnée par Riemann.
308. Nous allons d'abord compléter les remarques générales présentées au n** 292, en les étendant au cas où un secteur hélicoïdal infini correspond aux valeurs de t infiniment voisines d'une valeur singulière, que nous supposerons, pour fixer les idées, égale à zéro. Alors les deux intégrales régulières G et H, considérées au n''291, auront la somme de leurs exposants égale à — 1; et l'on pourra poser
En substituant ces valeurs de G et de II dans l'expression de t, on aura
(49) (g)'=,,(HG'-Gir) = -^tf-^j.-H?<-^V.«H-...!;
comme (-jj) doit être purement imaginaire pour les valeurs
réelles de ^, on voit que le produit AB sera nécessairement réel. Les coordonnées x^ y^ z d'un point de la surface s'obtiennent
en substituant dans les formules (3) (n* 281) les valeurs précédentes de II et de G. On trouve un résultat de la forme
0, 0', V étant des séries qui s'annulent pour t=^o.
En réduisant les valeurs de x et de ^ à leurs termes principaux, on aura
ou encore
Lorsque le point variable / décrira, dan? la partie supérieure du plan, un demi-cercle infiniment petit autour de l'origine, jr et y seront très grands et l'argument de x -r- iy augmentera de /iTz. Comme on passe ainsi de l'une des droites du contour à la suivante, on voit que l'angle du secteur infini sera égal en valeur absolue à A?:.
D'autre part, la valeur de :;, réduite à son premier terme
ou au produit de AH par l'argument de t [)ris en signe contraire, variera entre o et — 2 ABt:. Si 0 désigne la plus courte distance des deux droites qui limitent le contour infini, on aura donc
(52) or^ — 2ABr.
Le développement de l'invariant [-tj] sera donc de la forme
et son premier terme s'exprimera complètement au moyen des éléments géométriques 0 et /i. Ce résultat, dû à Riemann, est très
APPLICATIONS DIVERSES DE LA MÉTHODE PRÉCÉDENTE. 5o3
essentiel et nous allons en faire l'application. Remarquons seulement que, si le secteur infini correspond à une valeur infinie
de t^ il suffira de changer /en - dans la formule précédente, ce qui donnera
309. Appliquons à l'exemple que nous étudions ces remarques générales. Les angles des trois secteurs hélicoïdaux sont ici
Nous les désignerons par /-ît, miz, mz respectivement. D'autre part, on a généralement
et un calcul facile donne ici
\, B, C ajant les valeurs suivantes :
Si l'on remplace HG' — GII' par sa valeur déduite de la formule (47)» o^ ^
Pour / '-TZ o, on doit trouver, en développant suivant les puissances croissantes de t,
ni^
d(j\^^ cal I 57/ " Tz T^
>14 LIVBE III. — CBiP. XII.
«Jtfr^i^nant la plus courte distance des deux droites qui limitent le secteur.
On aura donc, en prenant le premier terme de ce d»:\eloppement dans la formule 5* .
La C'>nsid''- ration des deux autres points donnerait de même
o' et o' étant les plus courtes distances des droites qui corresp«>ndent aux secteurs i et x.
On peut donc considérer A. B, C comme connues, et il reste i* déduire des formules «'36 . les expressions de 6. a. c.
