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NOTIONS SUR LKS COOUDOXXEES C T K \ I LIG MIS. 7»»

pour expression

on voit que réiément linéaire de la surface engendrée par hi révolution de la courbe aux tangentes égales aulour de Oz sera donné par la formule

f/5* -— t/j* - - /•- ^r* = €/'( col' o d'^^ -" sin* c (h-^ ).

Posons

col o e/c& — du.

ce qui donne

sine» •'- e", et nous aurons

(H) ds^ r- a^idii^ ^- r'" ^c2 ).

Remarquons d'ailleurs que, dans le triangle rectangle UPM,

on a

MQ.QK -:/?*.

Les centres de courbure principaux de la surface sont évidemment les points M et R; donc les ravons de courbure principaux satisfont à la relation

RR - «s.

Mais cette propriété ne caractérise nullement la surface, il esl aisé de le démontrer.

Proposons-nous, en efl'et, de déterminer toutes les surfaces de révolution dont les rayons de courbure sont liés par la relation précédente. Par un calcul sur lequel nous ne reviendrons pas ici, on trouve que les variables z et /• doivent satisfaire à la relation dinerentielle

b désignant une constante arbitraire qui peut prendre toutes le> valeurs possibles. L'élément linéaire de la surface est donné par la formule

n^dr^' , , .

Supposons d\ibor(l que h soit égal à a. On relrcuive alors la

surface dont le méridien est la courbe aux tangentes égaies. Nous lui donnerons le nom de surface pseudosphérique ,

Si b est plus petit que a, le rayon r peut prendre toutes les valeurs inférieures à 6 et Ton obtient une surface qui, comme la précédente, a encore un parallèle de rebroussement BC; mais tous les méridiens vont couper l'axe de la surface en un même point A, sous un angle fini dont la langenle a pour valeur