Toutes les fois que Félément linéaire d'une surface peut

tHrc ramené à la forme

ds^^- lidoL^-i-d'^i),

on dit que les courbes coordonnées forment un réseau isotherme ou isométrique, La première dénomination est empruntée à la théorie de la chaleur; la seconde, qui est due à M. Bonnet, s'explique par les remarques suivantes.

Imaginons que Ton trace sur la surface toutes les courbes coordonnées correspondant à des valeurs des paramètres a, ^ croissant suivant des progressions arithmétiques de raison infiniment petite

a, a -+- d-Xj a - 7.d-x^ . . .,

on aura ainsi décomposé la surface en une série de rectangles infiniment petits, dont les côtés seront égaux si l'on a pris doL = dp. On dit alors que la sur/ace est dii'isée en carrés infiniment petits. Cela n'est pas, sans doute, rigoureusement exact; mais les rectangles curvilignes formés par les lignes coordonnées considérées ont le rapport de leurs côtés adjacents d'autant plus voisin de l'unité que la raison rfa a été choisie plus petite.

Dans le cas des surfaces de révolution, on voit que les méridiens et les parallèles constituent un système isotherme.

66. Considérons, en particulier, la surface de révolution engendrée par la révolution d'une chaînette autour de sa base. On a

et l'on trouvera sans difficulté

La formule (6) nous donnera, par conséquent, pour l'élément linéaire delà surface,

( 7 ) ds^ = du^ -f- ( a- -i- a^ ) ds^K

Cette surface très remarquable a reçu le nom à^aijsséide ou de caténoïde. Comme la chaînette est la seule courbe dont le rayon

(If coiirhuiv soit égal cl de signe conlruirc ùla normalcy TalYSséide (*>t la seule surface de révolution pour laquelle les ravons de courbure principaux soient en chaque point égaux et de signes ronlraires. On a donné le nom de surfaces mininia à toutes celles dont les ra\onsde courbure sont liés par cette relation. L^alvsséide (»st donc la seule surface minima de révolution

On >ail \\\u\ >i l'on ct»nsidciv uno cliaînelte dont la base soit Oz v\ \\\u\ du pied P de r«)rdoniu'v du point M. on abaisse une perpcndîruLnrc Pt^> nui* la l.in:;ontc en M, laiv de la chaînette, compté à partir du commet S. «^cra cj:al au serment do droite MQ; par con-^cqucnK le point i^ décrira une des dê\eloppantes de la chaiuelle.

r.ouiine IH^> esl eon>lant et ei:al au paramètre «y de la chaînette, le beu tbi point i,^ >era la »o;.//«" .lux titn::rnivs vstfles ou ; .:•.';,. \\\ dexi^nant par -^ ranj;le PMi^. l'arc décrit parle ponil l^. loî^ipie ,. au^nunle de .:\;. a pour \aleur