II

ds^

=-- cr- \du^ 4- ( ''JL^JLl j ' dv'i^ .

67. Après les surfaces de révolution, nous examinerons le groupe si important formé par les surfaces réglées. Elles peuvent être définies par les trois équations

(lîfc)

r = «1 w -4- 6„ -s = ai M -f- 63,

où a, 6, ... doivent être considérées comme des fonctions d^un paramètre v. Si Ton suppose

u désignera la longueur portée sur chaque génératrice rectiligne de la surface à partir de la courbe déGnie par les équations

Fig. 3.

On déduira des formules (12) Texpression suivante de l'élément linéaire

ds^= €fa*-t- aD dudv ■+■ (Au*-f- aBu -4- C)dç^^

où A, B, C, D sont les fonctions de v définies par les relations

D = a, b\ -h «, b\ -H az b\

Si l'on suppose que la courbe ^^ = o, définie par les équations (i3), ait été choisie parmi les trajectoires orthogonales des génc- D. — I. 6

ralrices, on aura

et l'élément linéaire prendra la forme plus simple (i5) ds^ = é/M«-f- ( A M«-i- aB u H- C) dv^.

Dans ce cas le système de coordonnées sera formé des génératrices rectilignes v = consl. et de leurs trajectoires orthogonales.

Pour ramener l'élément linéaire général, donné par la formule ( 1 4 ), à la forme ( 1 5 ), il suffira de substituer à a la variable suivante :

u = // -\- fDdv.

On reconnaît ainsi que, dans toutes les surfaces réglées, les trajectoires orthogonales des génératrices rectilignes sont déterminées par une simple quadrature.

68. Considérons, par exemple, la surface formée parles normales principales de l'hélice ou hélicoïde gauche à plan directeur. Elle est définie par les trois équations

z = ar,

(16) ^ X =^ U QOiV,

d'où l'on déduit

La comparaison des formules (7) et (1^) nous montre que, si l'on fait correspondre sur l'hélicoïde et sur l'alysséidc les points pour lesquels les valeurs de u et de i' sont les mêmes, les arcs de deux courbes correspondantes seront rigoureusement égaux. On dit dans ce cas que les deux surfaces sont applicables Vune sur l'autre. Il est clair, en effet, que si Ton considère une surface comme un tissu flexible et inextensible, et si l'on admet la possibilité de déformer cette surface sans déchirure ni duplicature, la longueur de toute courbe tracée sur la surface sera demeurée invariable dans la déformation. Sans examiner la question de savoir s'il est possible d'amener la première surface à coïncider avec la seconde par une suite continue de déformations, on dit que deux surfaces sont applicables l'une sur l'autre quand elles satisfont à la définition géométrique que nous venons de donner. Le

problème de la recherche des surfaces applicables sur une surface donnée est un des plus intéressants, mais aussi un des plus difficiles, que l'on rencontre dans l'application de l'analyse à la Géométrie. Dans le cas qui nous occupe, l'hélicoïde est applicable sur l'alysséide, les génératrices rectilignes de la première surface correspondent aux méridiens de la seconde et les hélices aux parallèles.

69. Revenons aux surfaces réglées. Il est aisé, lorsqu'on a seulement l'expression (iS) de l'élément linéaire, de distinguer les surfaces gauches des surfaces développables.

En effet, on a identiquement

On voit donc que le trinôme premier membre sera une somme de carrés, et l'on aura

B«— AC<o, tant que les équations

a, dm Cl'

ne seront pas satisfaites. Or ces dernières équations n'ont Heu que dans le cas où la surface est développable. En effet, les équations (12) nous donnent

dx = axdu -\- (a j u-^ b\) dv^ dy = aidu -h (a\u -¥- 6', ) dvj dz = «j rfa -h («3 u -t- 63 ) dv.

Exprimons qu'il existe un point de la génératrice qui décrit une courbe tangente à cette génératrice ; il faudra qu'en prenant pour u une fonction convenable de v on ait

dx ^ dy __ dz ax as as

ce qui donne, en remplaçant dx^ dy^ dz par leurs valeurs,

a\ u-\-b\ __ a\u -\- b'^ a', m -+- 63 ax a, aj

Si l'on tient compte de l'équation D = o, on trouvera que la

84 LIVRE I. — CliAP. VllI.

valeur commune des trois rapports précédents doit être égale ù zéro.

On devra donc avoir

et, par conséquent, les équations (i8) expriment les conditions nécessaires et suffisantes pour que la surface soit développable.

Enfin, en substituant à v une fonction convenable de i^, on pourra réduire le coefficient A à l'unité. Nous avons donc, comme forme réduite de l'élément,

(19) ds^ = rfw« -i- [( w — a)2-i- 3*] dv^

dans le cas des surfaces gauches, et

{20) f/j* = ûfa* -f- ( a — a )* ûfi^*

dans celui des surfaces développables, a et ^ désignant des fonctions de c' (*).

70. De la forme de l'élément linéaire des surfaces développables on déduit facilement qu'elles sont applicables sur le plan.

Reprenons, en effet, la formule (20) et décomposons le second membre en deux facteurs

du -h i{u — a) dVf du — i(u — aL)dv.

Si l'on multiplie ces facteurs respectivement par e**', e~'*', ils deviennent des différentielles exactes et l'on peut poser

!e^*'[du -^ i{u — a) dv] = dx -i- i dy, e-^^'ldu — i{u ^aL)dv] = dx — idy.

On a, en intégrant,

IX -\- iy = Mc'*' — ifoLe^*' dv, x — ly = Mc-'»' -h ifoLe-'*' dv.

(*) Celte théorie laisse toutefois de côté les surfaces réglées imaginaires pour

lesquelles on a

a} -ha| -h aj — o,

et qui sont engendrées par des droites rencontrant le cercle imaginaire de l'infini.

D'ailleurs, en multipliant membre à membre les formules (21), on obtient, pour l'élément linéaire de la surface développabie, l'expression

qui démontre la propriété annoncée.

Les formules (22) peuvent être remplacées par les suivantes :

y = u^iïiv — /a ces v dv.

On voit qu'aux génératrices rectilignes de la surface, définies par la relation i'rzrconst., correspondent des droites du plan; par conséquent, les trajectoires orthogonales des génératrices ont pour transformées les courbes parallèles, trajectoires orthogonales des droites du plan. A l'arête de rebroussement, u = a, de la développabie correspond l'enveloppe de toutes les droites du plan. Tous ces résultats, que nous ne nous arrêtons pas à vérifier, sont bien d'accord avec les opérations mécaniques par lesquelles on réalise le développement de cette classe si importante de surfaces.

1\ . Nous venons d'indiquer un moyen d'appliquer la surface développabie sur un plan. Il est naturel de se demander s'il n'y en a pas d'autre, et si, par exemple, on ne pourrait pas réaliser cette application de la surface en faisant correspondre aux génératrices rectilignes de la surface des lignes courbes du plan. Le raisonnement suivant donne la réponse à cette question.

Supposons que l'on ait, de deux manières différentes, appliqué la développabie sur le plan, c'est-à-dire qu'on ait mis son élément linéaire sous les deux formes

ds^ = dx^-\- dy^, ds'* = dx'^ -^ dy'^ ;

on en déduira

(a4) dx^-\- dy^ = dx'*-\- dy'^.

U est aisé de résoudre cette équation de la manière la plus générale; on peut, en effet, la remplacer par l'un ou l'autre des systèmes

{da/^cosoidx — sina<(^, dx' ^cosidx-^ s\ii7.dy, \ dy' = sin a ctr -h ces a <(^, dy' =^ sinac^ — cosat/^,

OÙ a est une inconnue auxiliaire, et qui se déduisent Tun de Tautre parle changement dey en — j. Considérons, par exemple, le premier. En écrivant que les seconds membres des équations sont des différentielles exactes, nous obtenons les relations

d% doL d% . doL

sin a — - = cos a — > cos a -— = — sm a -r- ,

ây ôx dy ox

qui donnent

d% à% Tx'^'à^'"^''

a est donc constante. En intégrant les formules (25) et désignant par x^^y^ deux nouvelles constantes, on aura

x' — X cos a — y sina -^ x©, y' =^ X sina-f-^cosa-t-^o»

Ce sont les formules de la transformation des coordonnées. Par suite, Xy y e\, x!^ y peuvent être considérées comme les coordonnées d'un même point du plan, rapporté à des axes différents; et les deux représentations de la surface développable ne doivent pas être regardées comme réellement distinctes.

72. Une autre question très intéressante se présente ici. Nous venons de voir que Tenveloppc d'un plan mobile est applicable sur le plan. La réciproque est-elle vraie, et toute surface applicable sur le plan est-elle l'enveloppe d'un plan mobile? Cette proposition a toujours été admise par Monge et les autres géomètres de son époque, comme le prouve le nom même de surface développable donné dès le début à l'enveloppe d'un plan mobile (*). Elle est un corollaire immédiat des propositions générales que nous aurons à développer dans la suite; mais nous pouvons, dès à présent, en donner une démonstration directe et très simple, due à M. O. Bonnet (*).

Soient x^y, z les coordonnées d'un point de la surface cherchée, applicable sur un plan, et soient a, ^ celles du point correspondant

(*) Voir, eo particulier, le Chapitre sur les surfaces développables dans V Application de l'Analyse à la Géométrie de Moxce. (") Annali di Matematica, 2* série, t. VII, p. 61.

sur le plan. On doit avoir

<a6) dx^ -+- ef^* -f- dz'^ = û?a« -f- c??*,

ce qui donne les trois équations

(S)'-(i)'-(sr='.

dx àx dy dy dz dz __

Différentions les deux premières de ces équations ; nous aurons

dx d^x dy d^y dz d^z ^

doL da' doL da* d% da* ~~ '

dx d^x dy d^y dz d^z

dp dp» dp dp» dp dp»

dx d^x dy d^y dz d^z

da doL d^ doL doL d^ da da d^ dx d^x dy d^y dz d^z

d^ dfid^ d^ d7.d^ d^ dtxd^

Différentions maintenant la dernière des équations (27); en tenant compte des précédentes, nous trouverons

(dx d^x dy d^y dz d^z T^'d^'^ di'm'^di'd^''^'

i dx d^x dy d^y dz d*z __ ( dp 50»" "*" dp dâ*" "*" dp dô» "" ^*

En comparant les équations (28) et (29), nous voyons que Ton doit avoir

da«

(flx

dadp

dp»

Le système (A) nous apprend que 3- > 3^' ;r- sont fonctions d'une

même variable et le système (B) établit qu'il en est de même pour

Tô» -j^> gS' Mais, par suite de la dernière équation (27) ou de

Tune des équations (29), les deux variables dont dépendent ces deux groupes de dérivées sont fonctions Tune de l'autre et, par conséquent, les six dérivées de ^,^', ^ sont fonctions d'une même variable, que nous désignerons par t.

Cela posé, si l'on désigne par p el q les dérivées de z considérée comme fonction de x et de j^*, p el q seront déterminées par les équations

dz dx dy àz dx dy

qui montrent que/> et q sont fonctions de t\ donc p est fonction de y, ce qui caractérise, on le sait, les surfaces enveloppes d'un plan mobile.

Le nom de développahles donné à ces surfaces est ainsi pleinement justifié.

LIVRE I. — CIIAP. IX. — SURFACES DÉFINIES PAR DES PROPRIÉTÉS CINÉMATIQUES. 89