CHAPITRE IX

SURFACES DÉFIiriES PAR DES PROPRIÉTÉS CINÉMATIQUES.

HélicoTdes généraux. — Théorème de Bour. — Surfaces de révolution applicables les unes sur les autres. — Surfaces engendrées par le mouvement d'une courbe invariable. — Surfaces moulures. — Surfaces spirales de M. Maurice Lévy.

73. Les surfaces de révolution jouissent d'une propriété cinématique importante. Elles ne cessent pas de glisser sur elles-mêmes lorsqu'on leur imprime un mouvement de rotation autour de l'axe. Cette propriété qu'elles possèdent, de pouvoir être déplacées sans cesser de coïncider avec elles-mêmes, appartient aussi aux cylindres et à une classe plus étendue de surfaces, les hélicoïdes, qui comprennent comme cas limites, et les cylindres, et les surfaces de révolution.

Considérons, en effet, un système solide animé d'un mouvement hélicoïdal. Nous savons que tous les points de ce système décrivent des hélices de même axe et de même pas ; chacune de ces hélices est animée d'un mouvement dans lequel elle ne cesse de glisser sur sa position primitive. Si donc on associe toutes les hélices rencontrant une courbe donnée (C), elles formeront une suriface qui pourrait être engendrée par le mouvement hélicoïdal de la courbe (C), et qui possédera évidemment la propriété de glisser sur elle-même dans le mouvement. Cette surface est un hélicoïde général. Nous allons donner les équations qui la déterminent et chercher son élément linéaire.

Les hélices décrites dans le mouvement hélicoïdal permanent sont définies par les équations

a: = p cosi'i, (i) {^=psini^i,

où h désigne le pas commun des hélices divisé par 27:. Si l'on

prend pour Zq une fonction quelconque de p, lescoordonnées^,^, -; deviendront des fonctions des deux variables p et v^ ; les formules précédentes définiront la surface hélicoïde la plus générale. Faisons

et calculons Télément linéaire de Thélicoïde. Nous trouverons

ds* =: (i -{- ff'i)dp^ -r- 2hff' dp dçi-h {p^ -r- h*) dv\. En transformant le second membre, on obtient

Si Ton introduit les deux nouvelles variables ;/, v définies par les quadratures suivantes

l p«-hA*

p*-+- h^ deviendra une fonction de ii que nous désignerons par U^, et l'élément linéaire sera ramené à la forme

(4) ds*=du^-^V^dv*.

Les courbes u = const. sont les hélices tracées sur la surface, el, par suite, les courbes ç> = const. sont les trajectoires orthogonales de ces hélices. On reconnaît ainsi que ces trajectoires se déterminent par une simple quadrature.

74. La forme (4) de l'élément linéaire est identique à celle que nous avons déjà obtenue pour les surfaces de révolution ( n° 64). On sait, d'ailleurs, que ces dernières surfaces peuvent être considérées comme des formes limites des hélicoïdes généraux, correspondantes au cas où le pas commun des hélices devient nul. On peut donc prévoir que les hélicoïdes sont applicables sur des surfaces de révolution. Ce beau théorème est dû à Bour, qui Ta établi dans son Mémoire sur la déformation des sur/aces (Journal de V École Polytechnique y XXXIX* Cahier, p. 82). Pour le démontrer, nous ferons voir que la forme (4) de l'élément linéaire, donnée a priori, convient à une infinité d'hélicoïdes, parmi lesquels se trouvent toujours des surfaces de révolution.

SURFACES DÉFINIES PAR DBS PROPRIÉTÉS CINÉM ATIQU1BS. 9I

Les formules (i), où l'on considère Zq comme une fonction de p, définissent l'hélicoïde le plus général, et la formule (2) fait connaître l'élément linéaire de cette surface. Pour le rendre identique à l'élément linéaire donné par l'équation (4), il suffira évidemment de poser

p.+A.)(rf^,+ A2i^y=u«d.«

m, en extrayant les racines carrées,

du=±^dp^-^-f^.

La première de ces formules montre que p est une fonction de u. Pour que la seconde puisse avoir lieu, il faut évidemment

que le rapport "~ soit égal à une constante que nous désigne-

rons par — • On aura donc

h rfcp ^ dv p* -+- A* ~ m

(^) { , hd9 dv

I dvx A — . — ^ = —

Les formules (5) et (6) nous conduisent, par des éliminations faciles, aux valeurs suivantes de p, rfcp, dv^ :

'" '"--g-^.-^-nïJ^^it/'"'--"-'-^'

Toutes les quantités qui figurent dans les formules (i) sont ainsi exprimées en fonction de ^^ et de v] la question proposée est donc complètement résolue.

75. Les hélicoïdes que nous venons de déterminer dépendent de deux paramètres arbitraires h et m. Il est aisé de s'assurer qu'ils

ne sont pas superposables. Considérons, en particulier, le cas où l'on a

et supposons m = i . Les formules précédentes deviendront

w*-ha* — A*

Si Ton donne à A toutes les valeurs comprises entre o et a, on aura une série continue d^hélicoïdes , tous applicables les uns sur les autres. Ils présenteront toutes les formes intermédiaires entre l'alysséide et Thélicoïde gauche à plan directeur, qui sont les termes extrêmes de cette série et qui correspondent respectivement aux valeurs o et « de l'arbitraire A.

76. Revenons aux formules générales (7). Si l'on y fait A = o, on obtient des surfaces de révolution, toutes applicables les unes sur les autres, aussi bien que sur les hélicoïdes généraux définis par ces équations. Elles sont déterminées par le système très simple

X = ah cos — , a