DES COURBES GAUCHES

IVplacemcnt d'un système invariable. — Application à la théorie des courljcs gauches. — Propriété caractéristique de l'hélice. — Formules de M. J.-A. Serret. — Indicatrice sphérique. — Recherche de la courbe dont les normales prinripales sont aussi normales principales d'une autre courbe. — Développées des courbes gauches.

1. Considérons un corps solide ou système invariable, mobile iiutour d*un point fixe. On sait qu^à un instant quelconque les vitesses des différents points du système sont les mêmes que s'il tournait autour d'une droite passant par le point fixe, droite qui a reçu le nom d'axe instantané de rotation. On démontre en Mécanique que les rotations peuvent être représentées géométriquement par des droites, comme les forces, et composées ou décomposées suivant la même loi, c'est-à-dire que, si l'on compose ou si Ton décompose les rotations comme les forces, la vitesse imprimée par la rotation résultante à un point quelconque est la résul- D.-I. 1

tante des vitesses qui seraient communiquées au même point par chacune des rotations composantes, existant isolément. On sait aussi que, si l'on considère un point mobile par rapport au système invariable, la vitesse absolue de ce point est la résultante de sa vitesse relative et de sa vitesse d* entraîne ment. On désigne sous ce nom la vitesse qu'aurait un point qui, à Tinstant considéré, coïnciderait avec le point mobile, mais demeurerait invariablement lié au système solide.

Il résulte de ces propositions que l'on pourra construire, à un instant quelconque, les vitesses de tous les points du système invariable dès que l'on aura, en grandeur et en direction, la rotation à cet instant. Il semblerait naturel de déterminer à chaque instant cette rotation par ses composantes relatives à trois axes rectangulaires, fixes dans l'espace et ayant pour origine le point fixe du système solide. En réalité, les éléments les plus importants, les seuls qui permettent le plus souvent une étude approfondie du mouvement, ce sont les composantes de la rotation relativement à des axes mobiles, entraînés dans le mouvement du système invariable. Rappelons rapidement la méthode employée en Mécanique.

Soient OX, OY, OZ trois axes fixes passant par le point fixe O du système et Ox^ O^, O^ trois axes rectangulaires invariablement liés au système mobile. Nous supposerons que les deux systèmes d'axes aient la même disposition, c'est-à-dire qu'ils puissent être amenés à coïncider. De plus nous supposerons que les sens des axes aient été choisis de telle manière que la rotation autour de OZ, qui déplacerait OX du côté de OY, soit représentée par une droite dirigée suivant la partie positive de OZ. Nous déterminerons les axes mobiles par les cosinus des angles qu'ils forment avec les axes fixes. Pour cela nous écrirons le tableau :

DU DÉPLACEMENT A UN PARAMéTRE. 3

qui fait connaître les cosinus des angles formés par chacun des axes fixes avec les axes mobiles.

On a les relations

aà -f

- bb'

ce'

ab -^

auxquelles il faut joindre toutes celles que l'on obtiendrait par des permutations circulaires effectuées, soit sur les lettres, soit sur les indices. Rappelons encore que les neuf cosinus peuvent être exprimés par les trois angles d'Euler, au moyen des formules (')

cosO sin^ sin<}/ -4- cos^p cos<|;,

cos6 sini}/ coscp — cos<|; sincp,

sinô sm'^y

cosô cos<}/ sincp — %m^ coscp,

cos6 cosi}/ coscp -4- sin<}/ sincp,

sinô cost];,

— sinô sin<p,

— sinô coscp,

cosô.

Désignons maintenant par /?, ry, r les composantes de la rotation à rinstant / par rapport aux axes mobiles. Considérons un point dont les coordonnées soient x, y^ «, relativement aux axes mobiles, et cherchons les composantes de sa vitesse absolue par rapporl aux mêmes axes. En écrivant que cette vitesse absolue est la résultante de la vitesse relative et de celles qui seraient dues aux trois

C) Dans ces formules, ^ désigne l'angle de OX avec rinterscction commune ON des deux plans des xy et des XY, o désigne l'angle dtOx avec la même droite ON ; enfin 6 est Tangle de Oz et OZ. L'angle cp mesure la grandeur de la rotation qu'il faut imprimer à ON dans le plan des xyy et dans le sens direct, pour faire coïncider ON avec Ox; on peut supposer qu'il varie de ©• à i8o». De même, <f mesure la rotation que l'on doit imprimer à ON dans le plan des XY, toujours dans le sens direct, pour amener cette droite à coïncider avec OX : cet angle varie de ©• à 36o».

rotations />, y, /•, on obtiendra les expressions suivantes de ces composantes

dx

(3) { \y= -£ -\-rx — pz,

dz

dont nous aurons souvent à faire usage.

Nous allons montrer, dès à présent, comment on peut en déduire les expressions de/?, (jr, /• en fonction des neuf cosinus et de leurs dérivées par rapport au temps. Pour cela, considérons le point pris sur l'axe OX à la distance i. Ce point a pour coordonnées relatives (c'est-à-dire relativement aux axes mobiles)», 6, c. En exprimant (|uc sa vitesse est nulle et en appliquant les formules (3), nous obtiendrons les équations fondamentales

/ da [dt-

- hr — çq ,

] db \ dt '

- cp — ar,

\ de

\ dt ~

^aq ùfy

auxquelles on peut joindre les suivantes

da' , ,

=za'q — b'p;

da" -, ,

-=br^cq,

dt de'

que Ton démontrera de la même manière.

On déduit de là les formules

Ipdt= Zcdb — — Zbdc, qdt — ^adc——"Lcda, r dt — Zbda~—Y.adhy

qui donnent les valeurs cherchées des rotations. Si Ton remplace les cosinus par leurs expressions en fonction des angles d'Euler, on aura le système

, ^d^ rfO

/? = sin<psinO-^— cos?^-, .

(6) < y = coscp sin6-i^ -H sin«p-T »

qu'il serait aisé de démontrer géométriquement. En résolvant par rapport aux dérivées des angles, on trouve

{') '^ sinO -~ = q cos^ -4-/? sinç,

—ï : .: r -f- coi6(/? sino -i- q cos©). at » •

2. Tout cela étant rappelé, nous allons étudier la question suivante, qui est fondamentale dans notre théorie : On donne p, q, r en fonction du temps t, et l'on propose de déterminer çomplvlement le mouv^ement.

Il est clair que la question sera résolue si l'on a les expressions des neuf cosinus en fonction du temps. Or il résulte immédiatement des formules (/J) que, si l'on sépare les cosinus en trois groupes, formés respectivement de a^ b^ c\ a', 6', c'; a", 6", c\ les trois cosinus de chaque groupe sont des solutions simultanées

du système

6 LIVRE I. — CIIAP. I.

Toute la difficulté se réduit donc à Tintégration de ce système. L'étude détaillée de cette intégration fera l'objet du Chapitre suivant. Pour le moment nous nous contenterons de signaler les propriétés suivantes du système (8).

D'abord, par suite de sa forme linéaire, il admettra toujours une solution, et une seule, pour laquelle les valeurs initiales de a, ^, y seront données.

En second lieu, si a, P, Y» ^\ P'? y' désignent deux systèmes de solutions quelconques, les expressions

a» -.- pî -X- Y«, aa'-f- ?p' -f- Yf', a'* H- ?'* -^ f*

seront des constantes. On le reconnaît aisément en les différentiant et tenant compte des équations (8).

Ces propriétés vont nous permettre d'établir qu'il y a toujours, quelles que soient les expressions de/?,qr, r en fonction du temps, une infinité de mouvements dans lesquels ces trois quantités sont les composantes de la rotation relativement aux axes mobiles.

Considérons en effet un trièdre trirectangle (Tq), de même sens que le trièdre OXYZ, formé par les axés fixes et soient «o? ^o^ Co, ... les cosinus directeurs de OX, OY, OZ par rapport aux axes de (To). Déterminons les trois systèmes de solutions des équations (8), a, 6, c; a', b\ c'; cH ^ 6", c", qui correspondent respectivement aux valeurs initiales suivantes : «o? ^o? ^oî OL^^ ^o»

^0 » ^Oî "o' ^0*

Les fonctions, telles que

a*-T- ô'-f- c', aa'-' bb' '{- ce', ...,

ayant pour valeur initiale i ou o, et devant rester constantes d'après les propriétés du système (8), ne cesseront pas de conserver leurs valeurs initiales ; par conséquent, les neuf quantités a, a', a"^ . . . seront à chaque instant les cosinus directeurs de trois droites rectangulaires formant un trièdre mobile (T) dont la position initiale sera (To). Comme cette position initiale peut être choisie à volonté, on voit qu'il existe une infinité de mouvements pour lesquels /?, q, r sont des fonctions données du temps.

Tous ces mouvements, qui dépendent de trois constantes arbitraireSy se réduisent au fond à un seul, mais qui serait rapporté à des axes fixes différents.

En effet, considérons, dans l'un quelconque d'entre eux, la position occupée par le trièdre mobile à l'instant initial, et choisissonsla pour le système d'axes fixes auquel nous rapporterons le mouvement du système mobile. Les valeurs initiales des neuf cosinus sont alors i ou o, la solution qui correspond à ces valeurs numériques ne contient aucune constante arbitraire et est bien déterminée.

Il résulte de ce qui précède que, lorsqu'on aura obtenu une solution quelconque du problème, c'est-à-dire un système de valeurs des neuf cosinus, il suffira, si l'on veut avoir la solution la plus générale, de changer d'axes fixes, ce qui introduira trois constantes ; puis de supposer que les nouvelles formules se rapportent aux anciens axes.

3. Nous allons maintenant étudier le cas où le système mobile n'a plus de point fixe. Alors il faut joindre aux composantes /?, qr, /• celles de la vitesse de l'origine O des axes mobiles, prises toujours relativement aux axes mobiles Ox^ O^, Oz. Désignons-les par Ç, Yj, !^; jointes aux trois rotations, elles interviennent dans toutes les questions relatives à l'étude du mouvement. Supposons que l'on connaisse les expressions de ces six quantités en fonction du temps, et cherchons comment on déterminera le mouvement du trièdre mobile. Désignons par (T) ce trièdre mobile, et soit (T') le trièdre dont l'origine est un point fixe quelconque et dont les axes sont parallèles à ceux de (T). Â un instant quelconque les deux trièdres sont animés de la même rotation et, par conséquent, les neuf cosinus se détermineront au moyen de/?, qr, r comme dans 'le cas précédent; d'ailleurs, si Xo, Yo, Zo désignent les coordonnées de l'origine mobile O par rapport aux axes fixes, on a évidemment, en projetant la vitesse de cette origine sur les axes fixes,

dX

dt

= aj -+- 07) H- cÇ,

^9) /^=«'?-^^^-Hc'!:,

dZ,

= a'l^b''Ti'hc''r:.

dt Quand on aura déterminé les cosinus, ces formules feront con-

naître Xq, Yo,Zo par de simples quadratures qui introduiront trois constantes nouvelles.

Ici encore, tous les mouvements possibles correspondants aux dilTérentes valeurs des six constantes arbitraires se réduisent à un seul et même mouvement, observé par rapport à des axes différents; car l'intégration n'introduit aucune constante arbitraire el ne donne qu'un seul mouvement, si l'on suppose que les axes fixes coïncident avec la position initiale des axes mobiles.

Je rappellerai, relativement au cas que nous venons déconsidérer, que si x^y, z sont les coordonnées d'un point relativement aux axes mobiles, la vitesse absolue de ce point aura pour composantes, relatives aux mêmes axes, les trois quantités

Considérons, par exemple, les points invariablement liés au système mobile et cherchons ceux pour lesquels la vitesse est minimum. Il faudra déterminer les valeurs de x, j', z rendant minimum la somme

($ -+- <7^ — r^)» H- (t) -4- rjc — />;:)« -h ( ; H-/>7 — <jrar)«.

En égalant à zéro les dérivées par rapport à x, à j>' et à 2, on obtient trois équations qui se réduisent aux deux suivantes :

Ces deux équations représentent une droite, l'axe central du mouvement à l'instant considéré. On trouve facilement, pour la valeur commune des rapports précédents,

ce qui donne, pour la valeur minimum de la vitesse,

ri rt

La condition nécessaire et suffisante pour que le mouvement du système se réduise à une simple rotation est donc la suivante

et, dans ce cas. Taxe de rotation est représenté par les trois équations

15 ^-qz — ry =0, T^ -t- rx — pz = o,

qui caractérisent en effet les points dont la vitesse est nulle, comme le montrent les formules (lo).

4. Pour indiquer dès à présent une application des propositions j)récédentes, considérons une courbe gauche quelconque et étudions le mouvement du trièdre (ï) formé parla tangente que nous prendrons pour axe des x^ la normale principale que nous j)rendrons pour axe des y^ en la supposant, par exemple, dirigée vers le centre de courbure, et la binormale qui sera Taxe des z et dont le sens est défini par les conventions déjà faites.

Prenons l'arc s comme variable indépendante ou, ce qui est la même chose, supposons

On a ici

dt=''

et, si jc, y^ z désignent les coordonnées du point de la courbe, qui est le sommet du trièdre, par rapport à des axes fixes,

dx , dy ^ dz

ds ds ds

Les formules générales (4) nous donnent (12) da = {br — cq)dsy db — {cp — ar)ds, de = {aq ~ bp) ds.

Exprimons que la binormale, dont les cosinus directeurs sont c, c\ c", est perpendiculaire au plan osculateur, c'est-à-dire aux deux droites dont les cosinus directeurs sont a, a', a!' et a H- da^ a'-\-da'j (f-j- da". L'une des équations sera satisfaite d'elle-même

lO LIVRE I. — CHAP. I.

et Tautre nous donnera la condition

Zcda = qds =: o.

Ainsi la composante q doit être nulle, et les formules (12) se réduisent aux suivantes :

/ o\ da , db de j

(i3) ^-—z=àr, —- T= CD — ar, -7-= — Op.

ds ds ^ ds ^

Il est aisé d'obtenir la signification géométrique des rotations p et r.

Menons en effet par un point fixe des parallèles aux arêtes du trièdre (T); nous obtiendrons un trièdre (T| ) dont la rotation sera la même, à un instant quelconque, que celle du trièdre (T). Un point situé à la distance i sur l'axe des x du trièdre (Ti ) aura une vitesse dont les composantes seront, d'après les formules (3),

et, par conséquent, ce point décrira le chemin rds\ ou, ce qui est

la même chose, la tangente à la courbe tournera de l'angle rds

quand son point de contact décrira l'arc ds ; donc la composante r

<'st égale à la première courbure de la courbe.

En prenant un point situé à la distance i sur l'axe des z du

Irièdre (T|), on verra de même que les composantes de sa vitesse

seront

et, par conséquent, le plan osculateur tournera de l'angle — p ds^ quand le point de la courbe décrira l'arc ds. En d'autres termes, — p sera la torsion de la courbe. Ainsi nous pourrons poser

p et T désignant les rayons de courbure et de torsion, et les formules (i3) deviendront

, . , da b de b db c a

ds p ds 'z ds z p

On reconnaît les formules de J.-A. Serret, qui jouent un rôle si important dans la théorie des courbes gauches.

DU DÉPLACEMENT A UN PARAMÈTRE. Il

o. La méthode qui nous a permis de les établir met en évidence quelques propositions qu'il serait aisé de démontrer autrement et dont on fait un usage continuel dans les démonstrations géométriques.

Étant donnée la courbe gauche (C), si par l'origine on mène une parallèle à la tangente de cette courbe, de longueur égale à i , l'extrémité de cette parallèle décrira une courbe sphérique que nous appellerons, avec M. P. Serret, Yindicatrice sphérique de la courbe gauche. Il résulte de ce qui précède que la tangente à l'indicatrice sphérique est parallèle à la normale principale de la courbe (C); car le point qui décrit l'indicatrice est celui qui est situé à la distance i sur l'axe des x du trièdre (T|), et nous avons

vu que la vitesse de ce point est égale à - et parallèle à la normale

principale.

De même, si par l'origine nous menons une droite de longueur I, parallèle à la binormale, l'extrémité de cette droite sera le point à la distance i sur l'axe des z du trièdre (T| ) ; ce point

aura une vitesse égale à - et qui sera encore parallèle à la normale

principale ; la courbe sphérique qu'il décrit sera parallèle à l'indicatrice : on l'obtiendra en portant sur les grands cercles normaux à l'indicatrice, et dans un sens convenable, une longueur égale à un quadrant; en d'autres termes, ce sera la courbe polaire de l'indicatrice sphérique.

6. Nous signalerons encore le théorème suivant qui est fort important ( * ) :

Toute courbe, dans laquelle le rapport - est constant, est une hélice tracée sur un cylindre quelconque.

En effet, si nous considérons le mouvement du trièdre (Ti) pa-

( * ) Voir, au sujet de ce théorème :

PuisBcx, Problème de Géométrie {Journal de LiouvUle, i'* série, t. VII) ; Bee- TiAND, Sur la courbe dont les deux courbures sont constantes (Journal de LiouvUle, !'• série, t. XIII); Lioo ville. Application de V Analyse à la Géométrie par Monge, 5* édition. Note I.

12 LIVRB I. — CHAP. I.

ralJèlc à (T), nous savons que, la composante q étant nulle, l'axe instantané de rotation est toujours dans le plan des xz. Lorsque le

rapport - ou — ^ demeurera constant, cet axe instantané deviendra

fixe par rapport aux axes mobiles. Or on sait que, lorsque Taxe instantané occupe une position invariable par rapport au système mobile, il demeure fixe dans l'espace. Le trièdre (T| ) tournera donc autour d'une droite fixe; son axe des x^ qui est parallèle à la tangente de la courbe, fera un angle constant avec cette droite fixe et engendrera un cône de révolution. On reconnaît la propriété caractéristique de l'hélice tracée sur un cylindre quelconque.

Lorsque p et t sont constants, cette hélice est tracée sur un cylindre de révolution. Dans ce cas, en efiet, le mouvement du Irièdre (T) présente à chaque instant une translation et une rotalion invariables. Alors tous les points du système mobile, et en |)articulier l'origine du trièdre, décrivent des hélices tracées sur des cylindres circulaires droits.

7. Dans le mouvement que nous venons d'étudier, trois des six quantités Ç, . . ., /?, ... sont nulles. Nous allons montrer que, réciproquement, si l'on a

l'origine du trièdre décrit une courbe qui est tangente à l'axe des X de ce trièdre et admet l'axe des y pour normale principale. Le premier point résulte immédiatement des équations

D'autre part, la composante q étant nulle, nous avons

2 c é/ct — o.

L'axe des z du trièdre mobile est donc normal à deux positions consécutives de l'axe des x. En d'autres termes, le plan des xy est le plan osculateur de la courbe décrite par l'origine des coordonnées.

En réduisant toutes les vitesses dans le même rapport, de manière que \ devienne égale à i, on doit remplacer/?, r par t> ?• La courbure et la torsion de la courbe sont données par les for-

DU DBI'LACEMHN'T \ IN PAnAMÈTRE. l3

nulles

8. La méthode cinématique que nous venons d'exposer s'applique d'une manière élégante à la solution complète du problème suivant, complètement résolu par M. Bertrand (*) : Rechercher s* il existe une courbe dont les normales principales soient aussi normales principales d*une autre courbe.

Soient M un point de la courbe donnée et (T) le Irièdre relatif à ce point. Si l'on porte sur la normale principale une longueur MM' = a, la vitesse du point M' aura pour composantes

da ,-ra, -, pa,

suivant M^r, M^, Mz respectivement; cela résulte des formiilivs (lo). Si l'on veut que la courbe décrite par le point M' soit normale à MWy il faudra que l'on ait

da

a devra être constant : ce résultat était évident a priori, et nous aurions pu le supposer immédiatement.

Alors la vitesse ç de M' est perpendiculaire à My cl, si Ton appelle tù l'angle qu'elle fait avec Mx, on a

Îv costo = 1- ra, V sin tu = pa,

La droite M' M sera alors normale de la courbe décrite par l<* point M'; mais elle ne sera pas en général normale principale. Construisons le trièdre (T') formé par la tangente M' j:' à lacourbr décrite par le point M', par la droite M'y et par la perpendiculaire commune à ces deux droites, et remarquons que l'axe d(vs y dr

(') J. Bertrand, Mémoire sur la théorie des courbes à double courbure {Journal de Liouvillcj i'* série, t. XV, p. 33a ). Voir aussi le Mémoire de M. Bonnet inséré dans le XXXII" Cahier du Journal de l'École PolytechniquCt où l'aiileur démontre (p. i34) que, si deux courbes ont les mêmes normales principales, leurs plans osculaleurs aux points correspondants font un angle constante

l4 LIVAE I. — CUAP. 1.

ce trièdre coïncide avec Taxe de même nom de (T). On aurait un trièdre ayant même orientation que (T') en faisant tourner le trièdre (T) de Tangle co autour de son axe des y. On obtiendra donc la rotation instantanée du trièdre (T') en composant les deux

rotations /?, r du trièdre (T) avec une rotation -^ autour de Mj'.

Or la condition nécessaire et suffisante pour que la droite Mj' ou Wy soit la normale principale de la courbe décrite par le point M' est, nous l'avons vu, que la rotation de (T') autour de M' V soit nulle. Il faudra donc que l'on ait

di

et, par suite, que Tangle co soit constant. Ainsi les plans osculateurs des courbes décrites par les points M, M' devront se couper sous un angle constant co.

Si Ton se reporte maintenant aux formules (17)1 on en déduit, par Félimination de r,

sinco

= /-5in(«) — pcoscu

mi, en remplaçant r cl p par leurs expressions géométriques,

. ^ sincu sinct) coscu

Ilj' a donc une relation linéaire entre les deux courbures.

9. Réciproquement, s'il existe une relation linéaire entre les deux courbures

la courbe jouira en général de la propriété indiquée. On identifiera la relation précédente avec Téquation (18), et l'on aura

a = 77 > col w ==---.

Signalons cependant deux cas d'exception :

Si l'on a C = o, sans que A soit nul, la relation entre les cour-

bures prend la forme

- = const.)

et a devient infini. Ainsi la seconde courbe, lieu de M', est rejeter à Pinfini. La courbe proposée est alors une hélice.

Si l'on a A = o, c'est-à-dire si la courbe a une torsion constante , a est nul et les deux courbes, lieux de M et de M', se confondcnl.

On peut avoir plus de deux courbes ayant les mêmes normales principales : i® si la valeur de a est indéterminée, c'est-à-dire si l'on a A = C = o; dans ce cas, la courbe sera plane; a** s'il y a plus d'une relation linéaire entre les courbures, c'est-à-dire si 1rs deux courbures sont constantes; dans ce cas, l'équation (18) sera satisfaite pour toute valeur de a et fera connaître co; il y aura doue une infinité de courbes ayant les mêmes normales principales. La courbe primitive et, par conséquent, toutes les autres seront des hélices tracées sur des cylindres circulaires droits ; la surface formée par les normales principales sera l'hélicoïde gauche à plan directeur.

10. Revenons au cas général et cherchons les deux courbures de la courbe lieu de M'. «Le trièdre (T') relatif à cette courbe esl invariablement lié au trièdre (T). Il suffira donc, pour avoir les composantes/?', r' relatives au trièdre (T'), de projeter les rotations /?, r sur les axes de (T'). Cela donne

p' — /? costo -h r sinu), /•' — — p sinu) -^- /• cosco.

Or on a, d'après les formules (iC), en désignant par— > -, les deux courbures de la courbe lieu de (M'),

Les relations précédentes nous donnent donc, par la substi tution des expressions de /?, </, /?', q'^