COS

sinco

l6 LIVRE I. — CHAP. I.

formules auxquelles on peut joindre le syslème suivant, obtenu en remplaçant r et p par leurs expressions dans les formules (17):

l V COS (U — I ,

[ i? sinu) — — j .

Les formules (19) et (20) contiennent toutes les relations entre h"^ deux courbes. On en déduit, par exemple,

COS 10 sincjt) sînu)

relation linéaire entre les deux courbures de la nouvelle courbe dont Texislence était évidente a priori. D'ailleurs le système (ly) peut être remplacé par le suivant

((ui est beaucoup plus simple ( *).

L'un des cas particuliers les plus intéressants avait été déjà signalé et étudié par Monge (^): c'est celui 011 les plans osculateurs des deux courbes sont perpendiculaires; on a alors

Chacune des deux courbes est le lieu des centres de courbure de l'autre et aussi le lieu des centres des sphères osculatrices à l'autre.

COSIO

sinco

(') Voir une Note Sur les courbes qui ont les mêmes normales principales, insérée par M. Mannheim dans les Comptes rendus (t. LWXV, p. 212), où se trouvent démonlrées quelques relations que l'on pourrait déduire des formules établies ici.

(') Mo!<GF., Supplément où l'on /ait voir que les équations aux différences ordinaires, pour lesquelles les conditions d'intégrabilité ne sont pas satisfaites, sont suceptibles d'une véritable intégration et que c'est de cette intégration que dépend celle des équations aux dérivées partielles élevées ( Mémoires de l'Académie lioyale des Sciences pour l'année 1784, p. 536 et suiv.).

Ce beau travail vient compléter, comme l'indique son litre, le célèbre Mémoire sur le Calcul intégral des équations aux différences partielles, publié dans le

DU DÉPLACEMKNT A UN PARAMÉTRE. I

i i. Les résultats obtenus par M. Bertrand donnent immédia lenient la solution d'un problème dont on s'est beaucoup occupé : Déterminer toutes les sur/aces gauches dont les rayons de courbure sont) en chaque point, égaux et de signes contraires.

En effet, les surfaces gauches cherchées devront avoir, en chaque point, pour indicatrice une hyperbole équilatère et, par conséquent, leurs lignes asymptotiques curvilignes doivent couper les génératrices rectilignes à angle droit. Le plan osculateur d'une ligne asymptotique étant le plan tangent de la surface, on voit que les génératrices rectilignes doivent être les normales principales de toutes les asymptotiques. D'après le résultat précédemment démontré, ces asymptotiques ne peuvent être que des hélices et la surface réglée un hélicoïde à plan directeur. On a vu d'ailleurs (n** 9) que cette surface jouit bien de la propriété énoncée. Ainsi r hélicoïde gauche à plan directeur est la seule surface réglée dont les rayons de courbure soient, en chaque point, égaux et de signes contraires,

12. Nous terminerons ce sujet en donnant la détermination des développées d'une courbe gauche.

Considérons le trièdre (T) relatif à un point M. La développée devra être engendrée par un point N du plan des ^5, et ce poinl devra être choisi de telle manière que la tangente à la courbe qu'il décrit vienne, à chaque instant, passer en M.

Appelons j^ et z ses coordonnées. Les composantes de sa vitesse sont

dr dz

même Volume (p. ii8), et où se trouvent les premières recherches de Mongcsur l'équalion aux dérivées partielles des surfaces minima. Monge fait voir, dans le Supplément, que si une courbe a un rayon de courbure constant, le lieu des centres de courbure jouira de la même propriété et aura ses centres de courbure sur la courbe primitive. De plus, les plans osculateurs des deux courbes aux points correspondants seront rectangulaires. Mais le procédé que Monge fait connaître, pour la détermination de Téquation en termes finis des courbes dont la courbure est constante, est évidemment inexact. Les équations finies que donne l'illustre géomètre contiennent, en effet, deux fonctions arbitraires que Monge regarde comme indépendantes, bien qu'il ait démontré, quelques pages auparavant, qu'elles sont liées Tune à l'autre par une cciuation dilTôrcntielIe.

D. — I. îi

Exfnmotïê que la tîu^?^ e*l «iîri^«ie Ter? k p>ûit M. Xoas aTon>

Kn înU^çnot. ooos trouTons

ar*- UDz - — I —

Od a donc

f z -- y uni ^ -^

^^4 tf^qaatîoDS coDtîeDDent toute la théorie des développées. On voit que Taugle V, formé par la oormale principale avec la droite qui joint le fKjint de la développée au point correspondant de la courl^e, a pour valeur

donc les normales de la courbe qui enveloppent deu\ développées diflTérentes font, entre elles, un angle constant. Réciproquement, si deu\ normales à la courbe font un angle constant, et si Tune enveloppe une développée de la courbe, il en est de même dr Tautre. Ce sont là des propositions dont on fait souvent usage.

Xjà première des formules (a3) nous montre encore que les développées sont tracées tout entières sur la surface polaire y enveloppe des plans normaux à la courbe proposée. Il résulte, en effet, des formules (22) relatives à la vitesse du point (r, z) r|ue tous les points du plan normal situés sur la droite )'= p ont leur vitesse dirigée dans ce plan; donc cette droite est la génératrice de contact du pian avec son enveloppe, la surface polaire. iJ'ailieurs, le plan osculaleur de la développée, contenant la tangente à la courbe proposée, est, par cela même, normal à la surface polaire.