Considérons maintenant Finlégrale

dz

OÙ c désigne une constante réelle et positive, et cherchons le système orthogonal et isotherme formé par les courbes sur lesquelles la partie réelle ou la partie imaginaire de cette fonction demeure constante.

Posons

(27) ^ = c cos(a H- p/), /c* — z^ = — csin(a-T- PO;

l'intégrale aura pour valeur a -h ^i et les deux familles du système isotherme seront définies par les équations

a = consl., p = const.

Soient F, F' les points du plan ayant pour affixes c et — c; M désignant le point dont Taffixe est z, on aura

(28) ^-c = FMe'MK>, ;;-hc = F'Mc'^F'-r,

et par conséquent

FM = r = mod(^ — c) = cinod[cos(a -H PO — 1] ~ c[cosp/ — cosxj, F'M = r = mod(5 -H c) = c mod[cos(x -h ^i) -H 1] = c[cosPi -f- cosa|;

on déduit de ces équations

r -\- r' = accospi, r' — /• = ac cosa.

On voit que les courbes de la famille (jî) sont des ellipses admettant pour foyers F, F'; les courbes de la famille (a) sont les hyperboles homofocalcs.

D'autre part, si nous employons, avec M. Weierstrass, le symbole c^ pour indiquer la partie réelle d'une fonction, l'équation

DES SYSTÈMES ORTHOGONAUX ET ISOTHERMES. l65

des ellipses sera évidemment

et leur équation différentielle

(JH. > =o.

L'emploi des formules (2a) et (28) nous permet de transformer cette équation et de lui donner la forme

(o désignant Tangle de la tangente à la courbe avec Taxe des x. On a donc