MF:r-+-MF'a

ce qui donne la construction bien connue de la tangente à TeU lipse.

Nous terminerons ces applications, que Ton pourrait varier à rinfini, en prenant la fonction

où c et k^ désignent deux constantes réelles et positives.

Les courbes obtenues en égalant à une constante la partie réelle et la partie imaginaire de cette fonction formeront un système isotherme algébrique que Ton peutdéûnir comme il suit.

Posons :

/(^)=^"(a-?/), on aura

z= c sn*(aH-pi), z'= csn*(a— p«),

, z— c =— c cn«(a-4-3i), -' ^ = — c cn*(a— Qi), (•29) < \ i /i \ r /y

l66 LIVRE 11. — CHAP. III.

et, par conséquent, si l'on désigne par r, r', r" respectivement les distances du point (x, y) aux trois points en ligne droite

on aura

(r = c sn(a-t- pi) sn(a — p/), ^jQ^ r'= c cn(a-f-?Ocn(a — PO,

/•'= -î dn(a-^ pi)dn(a — pi).

Écrivons les formules bien connues

cnx cn(x -r- a) -^ dnasnjrsn(a: -^ a) = cna, dnor ân{x -r- a) -i- k^cna snx sn(x -h a) = dna,

relatives à l'addition des fonctions elliptiques; si nous y substituons les valeurs suivantes de j:: et de j: + a

iF = a -4- p i , .r -+- rt! = a — p «, nous trouverons, en tenant compte des formules (3o),

r'-4-rdn(2p0 ~ c cn(2pi),

/•"— rcn(2P0= T^dn(2p/);

Si Ton remplace ensuite x et x -i- a dans les mêmes formules par les valeurs suivantes

— X — 3. -^ ^ ij X -\- a = a. — p «*, elles donneront les deux relations nouvelles

/•' — rdn(2a)— c cn(2a), I r — rcn(2a) — j;^an{20L).

Les équations (3i) et (3?.) définissent les deux familles isothermes.

Comme on devait s'y attendre, ces deux familles sont représentées parla môme équation, mais avec des valeurs différentes de la constante arbitraire. Elles se composent d'ovales de Descartes ayant pour foyers communs les trois points

La double équation obtenue pour chaque famille met en évidence une belle propriété des ovales donnée par M. Cbaslcs dans V Aperçu historique, p. 352.

L'équation différentielle commune aux deux familles d'ovales est évidemment

Elle conduit à une construction géométrique très simple des tangentes aux deux ovales qui passent en un point M du plan. L'angle de Tune de ces tangentes avec l'axe focal sera la moitié de la somme des angles que font, aveccet axe, les trois rayons vecteurs menés du point M aux trois foyers. Celte somme n'étant définie qu'à un multiple près de tt, la construction donnera bien deux tangentes rectangulaires.

127. Une famille de courbes isothermes étant définie par une équation de la forme

le paramètre ). de cette famille satisfait à l'équation aux dérivées partielles

et, réciproquement, toute fonction )v vérifiant cette équation donne une famille isotherme. Cette remarque permet de traiter la question suivante :

Proposons-nous de déterminer toutes les familles isothermes composées de cercles. L'équation d'un cercle écrite avec les variables ^, ^^^ a la forme

(34) zz' -*- az -r- bz' -~- c = Of

et l'on obtiendra la famille de cercles la plus générale en prenant pour a, 6, c des fonctions arbitraires d'un paramètre )». Si l'on exige que cette famille soit isotherme, il faudra que la fonction A satisfasse à l'équation (33). On est ainsi conduit, par un calcul facile, à l'équation de condition

( 35 ) (ah — cXa' z -^ h" z' -^ c") — {ab'-^ ba — c'){az -^ b' z ~ c' ) = o,

OÙ «', h\ d \ a", 6", d' désignent les dérivées premières et secondes de rt, 6, c par rapport à X, et qui doit être une conséquence de Tcquation (34). Comme l'équation (35) est du premier degré seulement par rapporta :; et à 5', elle doit être vérifiée identiquement

et Ton a

<^ ^ __c^ ab'^ba' — c a! ~~ b' ~ c' ~~ ab — c

On déduit de là, en négligeant le dernier rapport et en intégrant,

b =r. me -+- /Wo,

/, /01 '^*) '''0 désignant des conslantes. L'équation (34) prendra donc la forme

zz' -1-/0-3 -r nioz' -T- c{ l z -T- m z' -{- 1) = o

et représentera nécessairement une famille de cercles passant par deux points distincts ou confondus. Il est inutile maintenant de continuer les calculs et de déterminer l'expression de c en fonction de).; car on sait que toutes les familles de cercles passant par deux points distincts ou confondus peuvent se déduire par une inversion d*une famille de droites parallèles, ou de droites concourantes, ou de cercles concentriques, et sont, par conséquent, isothermes. De plus, leurs trajectoires orthogonales, qui sont des cercles, constituent également une famille isotherme, conjuguée de la première. Nous retrouverons cette dernière propriété comme cas particulier d'un théorème général relatif aux cercles géodésiques tracés sur une surface quelconque.

Dans ses Mémoires Sur la construction des cartes géographiques, publiés en 1 779(^)7 Lagrange a étudié d'une manière détaillée une belle question que l'on peut maintenant résoudre en quelques mots. Considérant la Terre comme une sphère ou comme un sphéroïde de révolution, Lagrange se propose de rechercher tous les tracés géographiques dans lesquels les méridiens et les parallèles sont représentés par des arcs de cercle. Comme les méridiens et les parallèles forment deux familles isothermes con-

(') Lagra!(ge, Œuvres complètes, t. IV, p. 687.

juguées, les résultats précédents nous conduisent à la proposition suivante, qui donne la solution complète du problème de Lagrangc :

Les seuls tracés géographiques pour lesquels les méridiens ou les parallèles soient représentés par des arcs de cercle sont ceux pour lesquels ces deux systèmes de lignes sont figurés sur la carte par des arcs de cercle. On obtient tous ces tracés, dans le cas où la Terre est supposée sphérique, en combinant avec des inversions planes la projection stéréo graphique ou la projection de Mercator.