DU SYSTEME ORTHOGONAL PORMB PAR LES LIGNES DE COURBURE

infiniment petit des plans tangents à la surface en ces deux points. C'est là une première propriété très importante de la représentation sphérique : elle permet d'étudier géométriquement la variation du plan tangent.

D'autre part, la tangente mnJ de la sphère et la tangente MM' de la surface ont évidemment pour conjuguées des droites qui sont parallèles, puisque les plans tangents aux points correspondants des deux surfaces le sont toujours. Or, dans la sphère, la conjuguée d'une tangente est perpendiculaire à cette tangente. On peut donc énoncer la proposition suivante :

U angle des tangentes en m et en M aux deux courbes correspondantes mm' et MM' est complémentaire de l^ angle formé par la tangente à la surface avec sa conjuguée.

Ou autrement :

A une tangente MT de la surface ayant pour conjuguéeWÏ' correspond une tangente mt de la sphère perpendiculaire à

Mr.

Appliquons cette remarque générale aux cas particuliers les plus intéressants.

Supposons d'abord que MT soit une tangente asymptolique : elle coïncidera avec sa conjuguée Mï' et sera, par conséquent, perpendiculaire à son image sphérique. On aura donc l'équation différentielle des lignes asymptotiques en écrivant que les déplacements correspondants sur la surface et sur la sphère sont perpendiculaires. On est ainsi conduit à l'équation

dx de -^ dy de* H- dz dd* = o,

que l'on déduit, en effet, de la première des formules (24) [p. i38] en y faisaut ^ = i.

Prenons maintenant pour MT une tangente principale : MT sera perpendiculaire à MT' et, par conséquent, parallèle à mt\ et, réciproquement, si MT est parallèle à mt^ elle sera perpendiculaire à sa conjuguée. Ainsi, les tangentes principales sont caractérisées par la propriété d'être parallèles à leur représentation sphérique. En écrivant les conditions de parallélisme, nous retrouvons

les équations

dr dy dz

de "" de' ~ de'

qui sont celles d'Olînde Rodrigues, d'où l'on aurait éliminé le rayon de courbure R ( * ).

Nous aurons fréquemment l'occasion d'employer la représentation sphérique et nous nous contenterons, pour le moment, des remarques élémentaires qui précèdent. Avant de continuer l'étude générale des propriétés des lignes de courbure, nous indiquerons comment on peut former leur équation diffurentielle dans les cas très variés qui peuvent se présenter.

143. Supposons d'abord que la surface soit considérée comme lieu de points et que les coordonnées rectangulaires x^ y^ z soient des fonctions données de deux paramètres a, p. On pourrait employer l'équation (4); la méthode suivante conduit au résultat d'une manière plus symétrique.

Les équations de la normale au point (x, J*, z) seront

dn 07. doL du *

en posant, pour abréger,

Exprimons que la normale engendre une surface développable, c'est-à-dire qu'il existe un déplacement pour lequel un point con-

(*) VoirJ. Bebtband, Traite de Calcul différentiel, pp. 665 et 697.

DU SYSTÈME ORTHOGONAL FORMÉ PAR LES LIGNES DE COURBURE. 9.o3

venablement choisi (X, Y, Z) de celte droite satisfait aux équations

dx --. dy -, t)z ^

0% OOL OOL

Di fleren dons les équations ( 2 2 ), en tenan t compte des précéden tes ; nous aurons

OOL (JOL OX 01

LVlimination de X, Y, Z entre les formules (22) et (24) nous donnera Téquation différentielle des lignes de courbure sous la forme d^m déterminant

ày

àz

jdx

et les formules (22) et (24) feront connaître le centre de courbure principal correspondant à chaque ligne de courbure.

Le résultat précédent peut être encore présenté sous la forme suivante. Considérons une équation linéaire aux dérivées partielles de la forme

et exprimons qu'elle admet les quatre solutions particulières :r, y^ -3, r; nous aurons ainsi quatre équations qui détermineront les rapports mutuels de A, B, C, A', B'. L'équation linéaire pourra

LIVRB II. — CHAP. V.

même s'écrire sous la forme d^ua déterminant

Jp«

dxO^

di^

dnO'^

tPr

Ox*

Ox f/3

II suffît de comparer cette équation au déterminant (aS) pour reconnaître que Téquation différentielle des lignes de courbure, ordonnée par rapport à rfa, rf^, pourra s'écrire

A, B, G étant les coefficients qui figurent dans l'équation (26). Nous pouvons donc énoncer cette première proposition :

Lorsqu*on aura obtenu^ par un procédé quelconque, Véqualion aux dérivées partielles de la forme {iC^) à laquelle satisfont à la Jois x^VjZ et x^ -\-y^ + ^^y l'équation différentielle des lignes de courbure sera donnée par la formule (27). En d'autres termes, les lignes de courbure seront les caractéristiques de cette équation aux dérivées partielles,

(^est la proposition déjà obtenue par une autre voie au n" 108.

lli. Nous rattacherons au résultat qui précède le théorème suivant :

Etant donnée V équation

iHiVi ~ ' Ox

co,

oii A, B, G sont des fonctions quelconques de a, ^, si Von en connaît cinq solutions particulières liées par une équation homogène du second degré à coefficients constants, on pourra

DU 8TSTÈMB ORTHOGONAL FORMÉ 1>AR LES LIGNES DE COURBURK. 2o3

obtenir une surface dont on saura déterminer les lignes de courbure.

Soient, en effet, 0|, 629 •••9^3 l^s cinq solutions satisfaisant à la relation homogène du second degré

?(e„ej,0s,0i,e5) = o.

On pourra, en effectuant sur ces solutions une substitution linéaire à coefficients constants, ramener la relation précédente à la forme

(•28) Oî -f. 62 -f- OJ — 26^05 = o.

Faisons dans l'équation en Q la substitution

0" satisfera à une équation linéaire comme 6, mais cette équation, devant admettre la solution o- r= 1 , sera de la forme

et ne contiendra plus le terme en o-. Elle admettra les solutions particulières

qui sont liées par la relation

Donc, en vertu de la proposition démontrée au numéro précédent, la surface lieu du point (^,^', z) admettra a et ^ pour paraftièlres de ses lignes de courbure.

145. Pour donner une application du théorème que nous venons d'établir, nous choisirons l'équation

(3o) a(û — pi)- h =0,

•2o6 LIVRE II. — CHAP. V.

qui admet la solution particulière

e = S^\/{p — a){pi — a),

quelles que soient les constantes A, a. Nous allons prendre pour ces constantes cinq systèmes de valeurs de la manière suivante :

Posons

/{u) = {u — ai)(u — at)..,(u—a^).

Les cinq solutions ô/ définies par la formule générale

satisferont à Tidcntité

Prenons

xi — 61, rj = Oj, X3 = 0,,

R désignant une constante quelconque*, les cinq solutions :r/ satisferont à ridenlité (28). Les formules (^^9) nous donneront ici