DU 8YSTÈUB ORTHOGONAL FORMÉ PAR LES LIGNES DE COURBURE. I

distances à l'axe des x et k Taxe des^, c'est-à-dire à deux droites

rectangulaires qui se coupent, soit constante.

Si l'on prenait

les équations des trois familles prendraient la forme

ar^'z = G,

\ 3 /3/a* = (j-î H- ti)V« -+- w»5*)« — (07* -4- w»/' -I- (05*)*,

co désignant une racine cubique imaginaire de l'unité. Ce résultat est dû à M. Gayley.

141. Revenons à la théorie générale. Les formules (a) prennent une forme particulièrement remarquable si l'on suppose que w, (^, iv, au lieu d'être simplement proportionnels aux cosinus directeurs de la normale, soient égaux à ces cosinus que nous appellerons c, (/, c'^ Alors les formules (i) prendront la forme

(20) X = a7-f-cR, Y=7-Hc'R, Z=zh-c''R,

et définiront un point de la normale situé à la distance R du pied de cette normale ; cette distance R aura d'ailleurs un signe, elle devra être portée dans le sens défini par les cosinus c, c', c", si elle est positive, et en sens contraire si elle est négative. Les formules (2) nous donneront les suivantes :

dx-^î{dc dy-^H de' dz -^ R de"

Ajoutons les numérateurs et les dénominateurs après les avoir multipliés respectivement par c, &, c", nous trouverons, en tenant compte de l'équation évidente

c dx -^ c' dy -{- c' dz = o,

que la valeur commune de ces rapports est égale à zéro. On peut donc écrire les formules suivantes :

(21) '^ dx -^ R de = Oy dy -^ R de' = o, dz -{- R de" = o,

qui sont dues à Olinde Rodrigues et qui jouent un rôle essentiel

dans la théorie des lignes de courbure. R désigne le rayon de courbure principal correspondant à la ligne considérée, et les coordonnées du centre de courbure correspondant sont définies par les formules (20).

142. On obtient aussi les équations d'Olinde Rodrigues en faisant usage dkme notion très importante qui est due à Gauss, celle de la représentation sphérique. Envisageons une portion quelconque d^une surface donnée et attribuons un sens aux normales en tons les points de cette région, en nous attachant à satisfaire à la condition que les cosinus directeurs c, c', c" de la normale soient des fonctions continues des deux paramètres qui définissent le pied de cette normale. Construisons maintenant le point dont les coordonnées rectangulaires sont c, c', c" \ il appartient évidemment à la sphère de rayon i ayant pour centre l'origine des coordonnées, et l'on voit que nous établissons point par point une correspondance entre celte sphère et la surface donnée. A un point M de la surface correspondra un point m de la sphère, à une courbe de la surface une courbe de la sphère, à une région continue de la surface une région également continue de la sphère. Ce mode de correspondance a reçu le nom de représentation sphérique ou àUmage sphérique de la surface, etGauss en a fait usage, nous le verrons plus tard, pour établir et formuler une des propositions les plus importantes de la théorie qui nous occupe.

Si nous considérons un point quelconque M de la surface et son image sphérique m, il résulte de notre définition que le plan tangent à la surface au point M est parallèle au plan langent de la Sj^hère en m\ les normales aux deux surfaces sont parallèles, et, en ce qui regarde leurs sens, on voit qu'au sens positif de la normale à la surface correspond celui de la normale extérieure à la sphère.

Imaginons que le point M se déplace à partir de sa position initiale sur la surface et décrive un élément de courbe MM', le point m qui lui sert d'image se déplacera à partir de ni et décrira un élément de courbe mni , Cherchons la relation entre ces deux éléments correspondants.

II est évident d'abord que Tare mm' mesure en grandeur l'angle des normales en M et M' ou, ce qui est la même chose, l'angle