DU 8TSTÈBIB ORTHOGONAL FORMÉ PAR LES LIGNES DE COURBURE

on obtient l'équation cherchée sous la forme X* y^ z^

(.33) { /^î>^.^2|^î__Rî\î /^î uyî 4 22^R2\Î

a^ — h du — h

On trouvera de même les équations qui déterminent chaque ligne de courbure. En effet, les radicaux ô/ contiennent d'une manière symétrique les trois quantités A, p, pi ; Téquation précédente devra donc être encore vérifiée quand on y remplacera h par p et par pi. Cette remarque nous conduit immédiatement à la proposition suivante :

Si, dans l'équation (33), on considère h comme un paramètre variable, les surfaces correspondantes à deux valeurs distinctes de h se couperont mutuellement suivant une ligne de courbure commune à ces surfaces.

Si Ton chasse les dénominateurs dans l'équation (33), on reconnaîtra que, le coefficient de A* étant nul, elle est du troisième degré seulement par rapport à A; par conséquent, si l'on donne à A toutes les valeurs possibles de manière à obtenir une famille de surfaces, il y aura trois surfaces de cette famille passant par chaque point de Tespace. Ces trois surfaces, devant se couper mutuellement suivant des lignes de courbure communes, seront nécessairement orthogonales. Ainsi Téquation (33) définit un système triple orthogonal, analogue à celui qui est formé par les surfaces du second degré, et composé de trois familles représentées par la même équation. Si Ton suppose, par exemple, ai, «2, «3, «4 réels et rangés par ordre de grandeur, les trois familles correspondront aux valeurs de A couiprises entre a^ et aj, entre a^ et ^3, entre a^ et «4.

Les surfaces représentées par l'équation (33) sont du quatrième ordre et admettent pour ligne double le cercle de l'infini; elles ont reçu le nom de cyclides.

146. Nous indiquerons maintenant une application d'une autre nature. On sait que Yinversion, ou transformation par rayons

208 LIVRK II. — CIIAP. V.

vecteurs réciproques, définie, dans le cas le plus simple, par des formules telles que les suivantes

(34) X = ^JÎ;^., V=,^^^., Z- ^''

fait correspondre une sphère ou un plan à une sphère ou à un plan, qu'elle conserve les angles, les rapports de similitude des éléments infiniment petits. Nous allons montrer qu'elle conserve aussi les lignes de courbure.

Considérons, en effet, une surface quelconque (S), et soient o, Pi les paramètres de ses lignes de courbure. Nous savons que x^ y^ z satisferont à une équation de la forme

et cette équation se distingue de toutes celles qui seraient relatives à d'autres systèmes conjugués par la propriété, déjà signalée, d'admettre aussi comme solution x'^ -f-J>^" -h ^^- Ces quatre solutions de l'équation (35) s'expriment, au moyen de X, Y, Z, de la manière suivante :

-V -T- Y* -^- Z2 ' \i^\i^Zi' X2 -^- Y* -t- Z* ' \2^Y2-hZ«

Si donc on effectue dans l'équation (35) la substitution

l'équation en o- admettra les solutions particulières

et sera, par conséquent, de la forme

( 36 ) -— — = Al -. -^ B, - .

D'ailleurs l'équation (35) admettait la solution évidente 6 = i et, par conséquent, Técpiatiou (36) admettra, en même temps que X, \, Z, la solution

ff = X2 -r- Yî ^ Z^.

DU STSTÈUE ORTHOGONAL FORMÉ PAR LES LIGNES DE COURRURE. 209

Il résulte de là que la surface Heu du point (X, Y, Z) aura p, pi pour paramètres de' ses lignes de courbure. Ce résultat est précisément celui qu'il s'agissait d'établir.

147. On démontre d'ordinaire la proposition précédente en la rattachant au théorème de Dupin, relatif aux lignes de courbure des surfaces qui font partie d'un système triple orthogonal. Nous donnerons, en terminant ce Chapitre, une démonstration nouvelle de ce théorème.

Soient

(40) p = f(x, y, z), pi =/i(^,r, -), pj=/î(^,r»-)

les équations de trois familles de surfaces se coupant mutuellement à angle droit. Si l'on résout ces équations par rapport à x, r, z^ les relations

Sdx dû

dz dz àp àfi = °' ^ , . . . , — — — — „, „, dz àz

dz dz

dpi dpf" '

dx dx dp dpi

dx dx

~ àp dpx

^ ày ày dp dpi

dx dx dp dpt

dx dx ^ dy dy ~ àp dpt dp dpi

dx dx

dpi dpt

dx dx "" àpi dpi

, ày dy "" dpi dpt

Sdx dx ^ dx ôx dy dy dpi dpt "" dpi dpi "^ dpi do*

où nous employons le signe S de Lamé pour indiquer une somme étendue aux trois coordonnées d'un même point, devront avoir lieu identiquement. Si nous difTérentions la première par rapport à P2, la deuxième par rapport à pi, la troisième par rapport à o, nous aurons

Sdx d^x Ç\ dx d^x

dp dpi dpi i5 dpi dp dpi ~ ^'

Sdx d^x r? dx d^x dp dpi dpi i5 dpi dpdpl

Sdx d^x n dx d^x

dpi dp dpi "^ ij dpf dpdpl "" ^

et, par suite,

dx d^x C\ dx d^x CS dx d^x

^^^^ \^dp dpx dpt ~ ï^dpl dp~dft ~" Jj5^

àpt dpdpi

D'après cela, on voit que l'on aura trois systèmes différents de D. - I. ,4

aïO LIVRE II. — CHAP. V.

solutions de réquatîon en //, r, tr

d.r àr ôz

o^ dp dp

si Ton prend, soit

soit

soit enfin

djr dy as

dpi dpi dpx

djT dy dz

o?t dp, ôpt

à?i Opt dpi dpi dpi dpi

Ces systèmes ne pouvant être linéairement indépendants, il faut que le dernier soit une combinaison linéaire des deux premiers, c'est-à-dire que x, j)', z soient des solutions particulières d'une équation de la forme

did d^ d^

Opidpi dpi dpt

Les variables pi, p^ définissent donc, sur la surface (p), un système conjugué, et comme, parla nature de la question, ce système rst orthogonal, il est nécessairement composé des lignes de courbure. On vérifie, d'ailleurs, aisément que Téquation linéaire (43) admet aussi la solution particulière

148. La démonstration précédente conduit à une nouvelle méthode de recherche des systèmes orthogonaux. Nous venons de voir que les coordonnées x, i', z et la somme x^ -hy^ -h ^^ satisfont à l'équation (43), et il est clair que ces solutions satisfont à deux autres équations semblables en p, p2 et pi , p. Nous allons montrer, réciproquement, que lorsque trois équations linéaires de la forme

di 0 <K) f)0

=r ffj h n — »

dpi dpt dpi dpt

~ nii -7- -+- /ij

dpi dp dp dpi

DU STSTéllE ORTHOGONAL FORMÉ PAR LES LIGNES DE COURBURE. 211

admettent trois solutions particulières Xy y^ z en même temps que la somme de leurs carrés x^ -\-y^ -^ z^^ le système de coordonnées curvilignes défini par les expressions de x^ y, z en fonction de p, pi, p2 ^st nécessairement orthogonal.

Considérons, en effet, Tune des surfaces coordonnées (p); le système de coordonnées curvilignes (pi, Pq), déterminé sur cette surface par les deux autres familles, est formé des lignes de courbure de cette surface; car x]yj z, considérées comme des fonctions de pi, p2, satisfont, en même temps que x^ -\-y^ 4- ^*, à la première des équations précédentes. Les surfaces des trois familles, se coupant mutuellement suivant leurs lignes de courbure, seront nécessairement orthogonales.

149. Pour ne pas traiter ce sujet d^une manière incomplète, nous remarquerons qu'on peut obtenir aisément les coefficients m, n, ... quand on connaît l'expression de l'élément linéaire

ds^ = H« dp^ -f H J dp} -H HJ dpi

dans le système orthogonal. Si l'on différentie, en effet, par rapport à pi Téquation

on aura

âW c\àx â*x

„ dH Ç\ox â*x àpi ^ ïjdp dp dpi

et, en remplaçant par sa valeur déduite de la dernière équa-

tion (44),

On a donc

I dH

Si Ton substitue cette expression et les valeurs analogues de /?2, m, n, ... dans les équations (44)) on les obtient sous la

21 '2 LIVRE II. ~ CUAP. V. — OU SYSTÂMB OBTUOCONAL, BTC

àpi àpi '

àpiOp

ôpôp^ ~

')ll

àp

qui csl duc à Lame.

LES COORDONNÉES PENTASPUÉRIQUES. 2l3