CHAPITRE VI
LES COORDONNÉES PENTASPHÉRIQUES.
Du système de cinq sphères orthogonales. — Relation avec une substitution linéaire orthogonale à cinq variables. — Formules principales relatives aux distances et aux angles. — Emploi des coordonnées pentasphériques dans la théorie des lignes de courbure et dans celle des systèmes orthogonaux. — Inversion. = Étude du système de deux sphères. — Les six coordonnées de la sphère comparées à celles de la ligne droite. — La transformation de M. Sophus Lie.
150. Dans l'étude des systèmes conjugués nous avons vu que l^emploi des coordonnées homogènes et tangentielles met en évidence les propriétés projectives et dualistiques qui appartiennent à ces systèmes. Si Ton veut, de même, donner une exposition satisfaisante de la théorie analytique des lignes de courbure, on est conduit à introduire un système particulier de coordonnées auxquelles nous avons donné le nom de coordonnées pentasphériques. Nous nous proposons de définir, dans ce Chapitre, ce système de coordonnées et d^indiquer son rôle dans la théorie des lignes de courbure.
Considérons une sphère quelconque rapportée à des axes rectangulaires
K(x*-hj''-i- z^ ) -h '1 \ X -h 2hy -h- iC z -\- D = o.
Son rayon p sera donné par la formule
Ai-hB«-r-Cî— DK
La forme quadratique qui figure au numérateur joue un rôle fondamental dans la théorie de la sphère. Il est naturel de la ramener à une somme de carrés; et, dans ce but, nous écrivons l'équation de la sphère sous la forme
(i) i7Lx-^ià^y-\-2^z-ho- ■ ' — -hit "ïT ~ ^*
ai4 LIVRE II. — CHAP. VI.
Si Ton désigne par p le rayon et par Xq^ y^^ Zq les coordonnées du centre de cette sphère, on obtiendra les expressions suivantes de ces quantités
- -yR
> Vo
-pR
0 H- iz
8 — iz
Si la sphère n^est pas réduite à un point, on pourra toujours supposer que l'on a
et l'expression du rayon prendra la forme simple
Cette formule donne au rayon un signe déterminé; nous reviendrons plus loin sur ce point.
Si Ton substitue dans le premier membre de Téquation (i) les coordonnées d'un point quelconque, ce premier membre aura pour valeur
S désignant la puissance du point par rapport à la sphère considérée. Remarquons une fois pour toutes que, si la sphère se réduisait à un plan, on aurait
et le premier membre de l'équation (i) deviendrait égal au double de la distance du point à ce plan.
Supposons maintenant que Ton considère, en même temps que la sphère représentée par l'équation (i), une autre sphère (S') représentée par l'équation semblable
Soient p' le rayon et x\^ ^J,, z'^ les coordonnées du centre de
LES COORDONNÉES PENTASPHÉRIQV ES. 2l5
celle seconde sphère. Les formules (a) nous donnenl (6) . I aR^gat^ -^ ??' -4- -ff 4- Qo' -^ ee')
et, par suite, Téqualion
exprime la condition nécessaire et suffisante pour que les deux sphères se coupent à angle droit. Cette condition subsiste quand Tune ou Tautre des sphères se réduit à un plan; sa forme nous permettra de donner une théorie très simple du système de cinq sphères deux à deux orthogonales.
151. Considérons, en effet, cinq sphères (S|), (S2), ..., (S^) de rayons R|, • • ., R3 et écrivons leurs équations sous la forme
A 7.kX -4- 2 ^k-y -^ 2 YA-5 -¥■ Oji- ^ ^
^- iH '^—^ = o, j
Nous aurons d'abord, par hypothèse,
(9) 4 -^ ?l -+- ï* -H OÎ -^ 4 = Ir
et de plus, les sphères étant orthogonales,
(10) 7Lk y-k' -+- pA P*' -^ YA- Y A' -H 0 A- ^k' H" H 5^' = O.
Ces deux groupes de formules rattachent la théorie du système des sphères à celle d*une substitution linéaire orthogonale à cinq variables. Toute substitution de ce genre fournira un groupe de cinq sphères orthogonales et vice versa.
On sait que les relations (9) et (10) entraînent comme conséquence les suivantes
(11) af -h 3r| -+-... -f- aî =1
(12) ai?i-+-...-4-a»p8= o,
et toutes celles que l'on obtiendrait en remplaçant, d'une manière quelconque, a et ^ par a, p, y, 3, e«
2l6 LIVRE II. — CHAP. VI.
On déduit de cette remarque une première propriété, fondamentale dans la théorie qui nous occupe. Désignons par Sa la puissance d*un point quelconque par rapport à la sphère (Sa); le
premier membre de l'équation (8) sera k^- Si Ton élève cette
équation au carré et si Ton ajoute toutes les équations ainsi obtenues, on trouvera, en appliquant les formules (i i) et (12),
Ainsi il existe, entre les puissances d*un point quelconque par rapport aux cinq sphères, la relation homogène
Nous rappelons que, si une des sphères (S*) se réduit à un plan
(P;t), ~ doit être remplacé par 2p;t, Pa désignant la distance du
point (x, j', z) à ce plan.
Si l'on multiplie de même le premier membre de l'équation (8) par Ofi-\- /£a, on trouve
2(^^^ + '^A)|^=-îàR
Saou encore
en remarquant que, d'après la formule (4 ), on a
lo2. Nous pouvons maintenant définir le système de coordonnées que nous nous proposons d'étudier. Nous appellerons coordonnées pentasphériques d'un point les cinq quantités Xk
proportionnelles à tt^ et nous poserons (i5) ^* = ^|^.-
LES COORDONNÉES PBNTAS PUÉRIQUES. 'liy
Comme dous n'emploierons que des équations homogènes, le
facteur X n'aura aucune influence sur les résultats. On trouvera
d'ailleurs, en vertu de la formule (i3), (i6) a^ÎH-x|-h. . .-4-a?| = o.
Ainsi nos cinq coordonnées seront toujours, comme il fallait s'y attendre, liées par une relation homogène. Il est aisé de montrer qu'il n'y a pas entre elles d'autre relation et que cinq quantités satisfaisant à l'équation (i3) déterminent un point et un seul.
Remarquons en effet que les équations (i3) et (i4) contiennent toutes les relations possibles entre les quantités Sa; car, pour déterminer un point, trois de ces quantités peuvent être choisies arbitrairement. D'ailleurs, si l'on substitue dans ces relations l'expression de Sk en Xfcy la première se réduit à l'équation (i6) qui est vérifiée par hypothèse, la seconde devient
Ha
et fait connaître le facteur de proportionnalité X.
Au reste, on peut obtenir les expressions de x, ^, z en fonction des variables Xf^ ; il suffit de résoudre le système
/ actA-j^-hapA^-t- iYA- \ -^^^ ^Tï ^''' —R =ïû = T'
où l'on donne à A* les valeurs i, 'JI, . . ., 5. En ajoutant ces équations après les avoir multipliées soit par a^, soit par ^a? YAi 3a, Sa on trouve
2X37 =^7H:XA, X(ar« -4-^2-4-^»— R*)= R^oa^a,
(19) / lly —^^k'TA, X(a7»-4-7'«-|-5Î-f-Rî)=— tR^EAJ-^i.
Les deux dernières équations feront connaître, par soustraction,
2l8 LIVRE II. — CHAP. VI.
le facteur X sous la forme
(20) aXR---ï(5A.-i-££A)J'it,
(jui est équivalente à Téquation (17); les autres donneront jr, /, z et même x^ -\-y^ -i- z^ ( * ).
En même temps qu'un point M dont les coordonnées x, y, z et Xfi sont liées par les formules (18), considérons un autre point >r dont nous désignerons les coordonnées par les mêmes lettres accentuées od ^ y\ z' et x\. On trouvera sans difficulté
(21) ] ^^k^'k —'^.^XkX\. ^
i ' 2XX' " ' '
2i^ V£i Ra ^ R^
telle est la formule qui donne la distance de deux points. Si Ton tient compte des relations identiques entre les coordonnées, on peut lui donner la forme
S(XA. — xi-)»
