I.xJ = o
Les formules (33) détermineront par conséquent un système triple orthogonal. Les surfaces qui le composent et qui ont reçu le nom de cyclides ne sont autres que les transformées par inversion de celles qui ont été définies au n" 14o; elles sont représentées par Téquation unique
où Ton remplacera X successivement par p, pi, po. Au reste, on vérifie immédiatement, en appliquant la condition d^orthogonalité (26), que deux surfaces correspondantes à deux valeurs différentes de )v se coupent mutuellement à angle droit. En se servant des formules (33), on trouvera la formule
f ^ j^^ d?, -+- j^^ rf,,,
qui permet d'obtenir Texpression de l'élément linéaire dans le système orthogonal considéré. La formule (^3) nous donnera
, (Pi-P.'(pi-P«)^., , (Pi — P)(p» — Pi),,., M ayant pour valeur
(' «A — ?)( «X- — pi )(^A: — p2 »
/ 1 M « V ' 4 /(«A — fi)(«x — pt
Si l'on fait, en particulier, p2 = const., on obtient l'élément linéaire d'une des cyclides qui composent le système sous la
a2| LIVRE II. — CHAP. VI.
forme
On voit que les cyclides possèdent la propriété, que nous avons déjà reconnue aux surfaces du second degré (n® 121), d'être divisibles en carrés infiniment petits par leurs lignes de courbure. On pourra donc faire la carte d^une région quelconque tracée sur Tune de ces surfaces.
155. Dans la théorie des systèmes conjugués et des lignes asymptotiques, Temploi des coordonnées homogènes nous a permis de reconnaître immédiatement et sans calcul que les propriétés de ces systèmes et de ces lignes subsistent quand on soumet la surface à une transformation homographique ou à une transformation par polaires réciproques. I^s coordonnées homogènes d*un point quelconque ne changent pas, en effet, quand on effectue une transformation homographique quelconque, pourvu que Ton suppose cetle transformation effectuée sur le tétraèdre de référence en même temps que sur les points de Tcspace. Le système des coordonnées pcntasphériques jouit d'une propriété analogue par rapport à l'inversion. Voici comment on peut le démontrer.
Rappelons d'abord que la théorie du contact des sphères, celle des centres et des axes de similitude, ont conduit les géomètres à considérer le rayon d'une sphère comme une quantité susceptible de signe ; de sorte que, dans beaucoup de recherches, il y a le plus grand avantage à regarder comme distinctes deux sphères de même centre, mais dont les rayons sont égaux et de signes contraires. Nous allons voir, en particulier, que, si l'on soumet une sphère quelconque à une inversion, on peut déterminer rationnellement le rayon de la sphère transformée en fonction du rayon de la sphère proposée.
Soient, en effet,
les formules qui définissent l'inversion.
Par l'application de ces formules à la transformation d'une
LES COORDONNÉES PENTASPHÉRIQUES. 2l5
sphère (S), de centre jFq^Vo^o et de rayon R, définie par Téquation
(39) S = (x-xo)* + (V -7o)» -"r (5 - ;:o)' - r^ = o,
on obtient Tidentité
(io) S='^^"^-^^^^'^'''[(X~Xo)» + (Y~Yo)' + (Z-Zo)»-R«],
Xo, Yo, Zq étant donnés par les formules
,4.) <Yo=,. *'^-»
^0 -+-Jo-i--0-'** ^'<> ~ ^ï ^ vi-x ..î ri '
On pourra prendre un signe arbitraire dans cette dernière formule; mais, si Ton convient de prendre constamment le même signe, par exemple le signe +, les formules (4 1) et la suivante
.rj H- r; H- ^5 — r«
détermineront non seulement la position de la sphère transformée, mais encore le signe de son rayon.
Dans celte hypothèse, la formule (4o) deviendra
ir y
S' désignant la puissance du point (X, Y, Z) par rapport à la sphère transformée, et Ton peut énoncer le résultat suivant : Si l'on clause la puissance S d^un point par rapport à une sphère
par le rayon r de cette sphère, et que l'on soumette la figure
S entière à une inversion, le quotient - se reproduira multiplié
par une quantité qui ne dépend pas de la sphère et ne contient que les coordonnées du point.
En particulier, les cinq quantités .^ se reproduisent toutes D. — I. lî
multipliées par le même nombre et, comme les coordonnées xi leur sont proportionnelles, on peut dire que ces coordonnées demeurent invariables, le facteur de proportionnalité étant seul changé, pourvu que Ton rapporte la nouvelle figure aux sphères orthogonales qui dérivent des sphères primitives par Tinversion considérée. On voit ainsi que toutes les propriétés établies pour une figure et indépendantes du choix des sphères coordonnées subsisteront nécessairement pour toutes les figures inverses de la figure considérée.
Cette proposition étant admise, le théorème du n** 154 montre immédiatement que Tinversion conservera les lignes de courbure de la surface.
156. Nous terminerons en indiquant les formules principales relalives à la sphère. L'équation (21) qui donne la distance de deux points nous permet d'écrire immédiatement Téquation d'une sphère dont le rayon est p et dont le centre a pour coordonnées ai, ..., as, sous la forme
Cette équation est linéaire par rapport aux coordonnées Xi- Réciproquement, toute équation de la forme
nn-Xk = o
représente une sphère ou un plan. Il suffit, pour le reconnaître, de remplacer les Xk par leurs expressions (18) en x, Vj z. Pour obtenir le centre et le rayon de cette sphère, il faudra identifier les équations (43) et (44)* On a ainsi les équations
ri
(45) »'^'"*'^^*^"^ Ri^S^ (A-= I, ..., 5),
où u désigne le facteur de proportionnalité.
Comme on peut multiplier les a^^ par un nombre quelconque, on peut remplacer le facteur ;jl par un nombre arbitrairement choisi^ nous ferons, par exemple,
LES COORDONNÉES PENTASPHËRIQUES. 227
Multiplions Téquation (45) par ^ et ajoutons les équations
correspondantes aux diverses valeurs de l'indice h. En tenant compte de la relation
If
déjà signalée dans la note de la page 218, nous aurons
D'autre part, si nous ajoutons encore les équations (45) après avoir élevé leurs deux membres au carré, nous trouverons
Le rapprochement des deux formules précédentes nous donnera
V^S ml
Ra et, en portant cette valeur de p dans l'équation (45), nous aurons
(47) '^k = nik
a Rit
Telle est la formule qui fera connaître les coordonnées pentasphériques du centre.
Une sphère est complètement déterminée si l'on connaît les rapports des cinq quantités nik que, pour cette raison, on peut appeler les coordonnées homogènes de la sphère. Mais, dans toutes les questions où le signe du rayon entre en considération, il est nécessaire d'introduire une coordonnée nouvelle propre à faire connaître la valeur du radical qui figure dans l'expression du rayon. Nous poserons, en désignant par m^ cette sixième coordonnée,
(48) «ma =
y/fi,
afin que la relation entre les six coordonnées prenne la forme très symétrique
ml = o.
Deux sphères de même centre et de rayons égaux et de signes contraires auront les mêmes coordonnées mi, ..., m^; mais les coordonnées m^ seront égales et de signes contraires. On aura, d'après la formule (46 )i
'V ntk
Cela posé, considérons deux sphères (S), (S'), de coordonnées nifiy m'f^ respectivement, et soient d la distance de leurs centres, p, p' leurs rayons. Les formules (21) et (4?) nous permettent de calculer d et nous donnent
(5i) rf«p«p'i =
2 7, /wa/wa-
Si donc nous voulons calculer l'angle V des deux sphères, en le définissant d'une manière précise par la relation
(52) ^=p*-T-p'»— 2pp'cosV,
nous aurons, en appliquant les formules (5o), (5i),
(53 ) cosV = î ~-
et, par conséqueni.
niknik
( 5 i ) 2 sin*— =
2 ni^m^
Ces formules vont nous conduire à plusieurs conséquences et, en
LES COORDONNéES PENTASPHÉRIQUE8. 229
particulier, à la définition géométrique des coordonnées de la sphère.
Supposons que la sphère (S') se réduise à la sphère coordonnée (Sa), on aura
//tj = o, . . . , 'Wyt= I, • . . , ni^ = Oj et la formule (5o), où Ton fera p = R^, nous donnera
l'équation (53) deviendra donc
Va désignant l'angle de la sphère (S) avec la sphère (Sa).
Ainsi, les cinq coordonnées nit, ..., m^ d'une sphère quelconque sont proportionnelles aux cosinus des angles de cette sphère avec les sphères coordonnées. De plus, la relation entre les six coordonnées prendra la forme
^cos*Va= I»
tout à fait analogue à celle qui relie les angles d'un plan avec les irois plans coordonnés dans la Géométrie de Descartes. La formule (53) pourra s'écrire aussi sous la forme
(55) cosV = ^ cosVa cosV'x,
et son analogie avec celle qui donne le cosinus de l'angle de deux plans est également évidente.
La formule (54), si l'on tient compte de la relation identique entre les coordonnées, peut s'écrire
(56) 4sin»- = —
2 ( //lA — /ni- )«
Si l'on suppose que les deux sphères sont infiniment voisines
•-«3o LIVRE II. — CHAP. VI.
leur angle dç sera donc fourni par la relation
(57) dvi= ^
Toutes les fois que deux sphères sont tangentes, elles se coupent sous Pangle zéro ou tt; mais, dans les théories où Ton tient compte du signe du rayon, il y a avantage à considérer comme tangentes seulement celles qui se coupent sous l'angle zéro. Ainsi entendue, la condition de contact s'exprime par la relation
(58) ^^(^mk — m'k)'^ ^ — i^^niknik = o.
Quand les deux sphères sont infiniment voisines, la distinction relative au signe du rayon disparaît et la condition de contact devient
(59) Vrf/nJ = o.
157. La forme de la condition de contact conduit à un rapprochement capital entre la géométrie des sphères et celle des lignes droites. Reprenons les équations de la ligne droite, écrites sous la forme déjà employée au n® 139
(<>o) <rx—pz-i-qir=o,
\ py — q^-^ ri = o.
Les six coordonnées homogènes de la ligne droite satisferont, nous l'avons \u, à l'équation identique
(6i) ppi -^ ÇÇi -+- f'ri = o,
et réciproquement (n° 139) six quantités satisfaisant à cette relation définiront toujours une ligne droite. L'équation (6i) est quadratique, comme la relation (49) entre les six coordonnées de la sphère, et l'on peut ramener ces relations l'une à l'autre en posant
LES COORDONNÉES PENTASPHÉRIQUES. 1^3 1
OU, ce qui est la même chose,
nii = > mj = — 9 m^ = >
'P\ — P 'Qi — 7 .''i— '^ mt = i- —i mL = i— -y 171^ = 1 •
Les formules (6a) ou (63), qui conduisent à l'identité
PPi
-+- qÇi -H rri = ^ /w|.,
font correspondre à toute droite une sphère et vice versa. De plus, si Ton considère deux sphères, de coordonnées m^, m'f^ respectivement, et les deux droites correspondantes, de coordonnées />, g, r, . . .; /?', q', z*', , . . , il résulte de l'identité précédente et de la forme linéaire des équations de correspondance l'identité plus générale
1 iP -p')(Pi —P\ ) 6
Le second membre de cette formule s'annule quand les deux sphères sont tangentes et seulement dans ce cas; le premier membre s'annule quand les deux droites considérées se coupent. On voit donc que la transformation définie par les formules (62) ou (63) fait correspondre à deux sphères tangentes deux droites qui se coupent et vice versa.
Au reste, on peut définir cette transformation sans passer par les coordonnées homogènes qui ont été l'objet de nos études dans ce Chapitre ; car, si l'on prend les équations d'une droite sous la forme
ix = az -4- jt>.
la condition pour que deux droites différentes se coupent s'exprime par la relation bien connue
•aVj.
