MM

Zà Ra ^ ^k

(') Si Ton voulait se livrer à une élude plus détaillée, il faudrait signaler un ras d'exception. La formule (i3) montre que les cinq rayons satisfont à la relation

(jo)- \ — - ^ o :

si Ton cherche le point pour lequel on a

•^»" if/

«m trouvera qu'il est indéterminé et n'est assujetti qu'à une condition, celle d*élre

dans le plan de l'infîni.

D'autre part, un point du cercle de Tinfini a une infinité de coordonnées qui

sont déterminées par la formule

où h est quelconque et où les x^ satisfont, en même temps qu'à l'équation (16), à la relation

LES COORDONNÉBS PBNTASPHÉRIQUE8. 'II9

Lorsque les deux points sont infiniment voisins, on obtient l'expression suivante de Télément linéaire :

(a3) ds^^ — *

11 est inutile d'-insister sur l'analogie que présentent ces deux formules avec celles qui se rapportent à la géométrie de Descartes.

153. Proposons-nous maintenant d'établir les relations d'orthogonalité dans le système des coordonnées xi.

Quand les coordonnées sont fonctions de deux variables p, p, les courbes (p), (pi) seront perpendiculaires si le coefficient de clpdpt est nul dans l'élément linéaire, c'est-à-dire, d'après la formule (aS), dans la somme

I,dxl, Cette condition se traduit par la relation

dp Op

toule semblable à celle que Ton obtient avec les coordonnées cartésiennes.

Étant données maintenant deux surfaces par les équations homogènes

cherchons la condition pour qu'elles se coupent à angle droit. Nous remarquerons d'abord les relations suivantes, qu'il est aisé de vérifier, entre les puissances d'un point par rapport aux cinq sphères orthogonales

()x ùy dy ôz ôz

D'après cela, remplaçons dans les équations homogènes des deux

surfaces les Xi par les quantités proportionnelles ^ et posons,

pour abréger,

^^' ^^ dx dx dy ôy dz dz On aura évidemment

c'esl-à-dire, en tenant compte des formules (aS),

Puisque les fonctions sont homogènes, on a et la condition d'orthogonalité prend la forme

OU, en introduisant les quantités xi,

^Kn do d*^

(.6) ('P''!') = 425^ri="-

Plus généralement le cosinus de Tangle V, sous lequel deux surfaces se coupent et qui est donné par la formule

COSV = L2 Li

aura pour expression

^ do ô'}^

., ÂÊkdxk àxk

27 ) cos V =

\/ïm\/mi)'

154. Avant de continuer Tétude des coordonnées j?/, nous indiquerons leur rôle dans la théorie des lignes de courbure.

LES COORDONNEES PENTASPHÉRIQUES. 'À%1

CoDsidërons une surface quelconque et supposons que les coordonnées Xi d'un point quelconque de cette surface soient exprimées en fonction de deux variables indépendantes a, ^. Formons Téquation linéaire

à laquelle satisfont les cinq coordonnées. Nous allons montrer

que ses caractéristiques sont les lignes de courbure de la surface.

Si Ton pose, en effet,

0 = Xd,

). étant le facteur de proportionnalité qui figure dans les formules (i3) et qui est défini parréquation(i7), l'équation linéaire prendra la forme

d'où le terme en 7 a disparu, puisque X, étant une fonction linéaire des Xi^ est une solution particulière de Téquation (28). L'équation

en T, admettant les cinq solutions y- ou — qui sont des fonctions

linéairement indépendantes de x^-j-j'^H- 3', x, y^ Zy i, devra admettre comme solutions particulières les mêmes fonctions

Ce sera donc l'rquation considérée au n" 143 et dont les caractéristiques sont les lignes de courbure. Les caractéristiques do l'équation en a- étant les mêmes que celles de l'équation en 6, notre proposition est démontrée. On en déduit immédiatement la conséquence suivante, qui revient au fond au théorème du n** 114.

Si l'on connaît cinq solutions particulières .Ti , . . . , Xj d'une équation linéaire

liées par la relation

l,xî = o,

les quantités xi sont les coordonnées penta^phériques d'un

point d\ine surface pour laquelle ol et ^ sont tes paramètres des lignes de courbure.

De même le théorème relatif aux systèmes orthogonaux, donné au n® 148, recevra l'expression nouvelle qui suit :

Étant données trois équations linéaires

<)«e (je fW .

- — T- = m -7 V- n H/yô,

^ ^ àpàpt dpi 'dp ^

si l'on en connaît cinq solutions particulières xi satisfaisant à la condition

elles pourront être regardées comme tes coordonnées pentasphériques d'un point de l'espace, et p, pi, pa seront tes paramètres de trois familles de surfaces se coupant mutuellement à angle droit (*).

Considérons en particulier les trois équations

, f?«e (je (je

^ ^^ "^'Opâpt Opt dp

f)«e (je (je

qui admettent la solution commune

e = A/(a — p)(a — p,)(rt -- p,) ; si Ton pose

( Jj». ) /(«/) = ( M — «1 )( M - aj) . . . ( M — aj>,

(') G. Darbocx, Mémoire sur la Théorie des coordonnées curvilignes et des systèmes orthogonaux {Annales de l'École Normale, a' série, l. VII, p. 297;

LES COORDONNÉES PENTASPIIÉRIQU ES. U'i'(

les cinq solutions définies par la formule générale

satisferont à Tidentité