X -r- tY = — y -t- a(5 -h /r

Sous cette forme on reconnaît immédiatement qu'elles fourniront pour X, Y, Z, R des expressions essentiellement réelles.

On passera d'ailleurs du premier système de formules au second en faisant la substitution très simple

Enfin on obtiendra également sans difficulté l'équation différentielle des lignes asymptotiques, qui est ici

(35) (i-Hap)(rc?a*-h25c?ac?p-+-<c?p*)-H2û?ac?P(5— /?a— yP) = o,

COORDONNEES TANGENTIELLES. 247

et Texpression de l^élément linéaire

(36) ds^ = (- doi -:- dq)(z d^ -f- dp),

qui se présente ainsi décomposé en ses deux facteurs.

166. Il ne sera pas inutile d^examiner, en vue des applications ultérieures, ce que deviennent les coordonnées a, p, Ç quand on change les axes coordonnés ou, ce qui est la même chose, quand on déplace la surface. Considérons d'abord le système primitif dans lequel Téquation du plan tangent est

(i - a3)X -+- i(i -I- ap) Y -^- (a 4- p)Z -f- 5 = 0.

Quand on imprimera à la surface une translation de composantes A, (JL, V, il faudra, dans Téquation précédente, remplacer X, Y, Z par X — ).. Y — [jl, Z — v; la nouvelle valeur Ç' de $ sera donc

Imaginons maintenant que Ton fasse tourner la surface autour de l'origine des coordonnées. Si nous remarquons que, d'après leur définition, a et [i sont les coordonnées symétriques du point m qui, sur la sphère de rayon i, sert de représentation sphériquc au plan tangent, il résultera des propositions développées (Livre 1, Chap. III) que le? nouvelles valeurs ai, p^ des coordonnées a, ^ s'obtiendront par une même substitution linéaire effectuée sur a et sur p. On aura

Désignons par Ç| la nouvelle valeur de ç. La distapcc de l'origine au plan tangent n'ayant pas changé, on aura

Cl ^

ou, en remplaçant a, ^ par leurs valeurs (40) 5= U'nq-np)

La question proposée est donc complètement résolue, en ce qui concerne le premier système de coordonnées.

3j8 LIVRS II. — CHAP. Vit. — COOBDONNÉBB TAN&KNTIBLLE8.

167. Ed reprenant la même méthode pour le second, dans lequel le plan langent a pour équation

ou en passant du premier système au second par la substitution (34)) on verra qu'une translation (X, ^t, v) de la surface donne la nouvelle valeur de S

il) e, = î-X(ct + p)-t>(p--r)-v(ap-i).

Et de même une rotation autour de l'origine des coordonnées sera définie par tes formules

(4ï) (iî)

pt,-hq n

, \,(mq — np)

*ii Pu Si désignant les nouvelles coordonnées. Si la rotation est réelle, on pourra prendre (n° 29)

Fil), n„ désignant les imaginaires conjuguées de m et de n. Les équations précédentes donneront alors

Ces formules nous s minîma.

nt utiles dans la théorie des surfaces