CHAPITRE VIII
Applications des formules relatives aux lignes de courbure données dans le Chapitre précédent, — Transformation de M. Lie dans laquelle les lignes de courbure d'une surface correspondent aux lignes asymptoliques de la transformée. — Transformation par directions réciproques. — Relations entre les éléments correspondants dans cette transformation. — De l'inversion dans le système de coordonnées (a, p, Ç).
168. Nous aurons à faire différentes applications des systèmes de formules développés dans le Chapitre précédent. Dès à présent, nous allons étudier les suivantes, et, comme il s'agit de recherches générales, nous emploierons de préférence le premier système de formules étudié dans les n"* 164 et 166.
Remarquons d'abord que l'équation différentielle (26) [p. 245] des lignes de courbure est identique à l'équation différentielle des lignes asymptotiques donnée au n® 110. De là ce premier résultat :
A toute sur/ace dont on connaît les lignes asymptotiques on peut faire correspondre une surface dont on saura déterminer les lignes de courbure et vice versa (* ).
( * ) Le rapprochement des formules données aux n*>* 1 10 et 164 nous conduit au résultat suivant : Désignons par Xy y, z les coordonnées d'un point de la surface dont on connaît les lignes asymptotiques, et par p tl q les dérivées de z considérées comme fonction de Jc et de y; soient X, Y, Z, P, Q les quantités analogues relatives à la surface transformée dont les lignes de courbure correspondent aux lignes asymptotiques de la première. On aura
px
-h qy >
2 px-'-qy
q — X Lu théorie des transformations de contact permet d'ailleurs de déduire toutes
25o LIVRE II. — CHAP. VIII.
Nous avons déjà signalé (n** lo7) celle belle proposilion due à M. Lie; nous nous contenterons de remarquer ici que dans l'équation (3o) [p. i^o] des lignes asymptotiques, a et p désignent des quantités réelles pour tout point réel de la surface, tandis que, dans celle des lignes de courbure, a et ^ sont des variables complexes, même pour un point réel; par conséquent la correspondance définie par la proposition précédente ne saurait exister entre les éléments réels de deux surfaces réelles.
169. Envisageons maintenant Téquation différentielle des lignes de courbure
<i) dpdt — dq d^ — rdx^—t d^* = o;
elle possède de nombreuses propriétés qui donnent toutes naissance à des théorèmes de Géométrie.
D^abord elle ne change pas de forme si Ton remplace $ par la nouvelle variable
A, B, G, D désignant des constantes quelconques.
Proposons-nous de définir géométriquement cette transformation.
On peut évidemment l'obtenir par la composition des deux
suivantes :
Ç' = 5 H- A(a -+-?)-+- Cap -+-D,
La première équivaut, on le reconnaît aisément, à une translation de l'origine des coordonnées; la seconde remplace la surface par une surface parallèle menée à la distance h de la première. On sait en effet que, sur deux surfaces parallèles, les lignes de courbure se correspondent. Ainsi la première propriété qui se présente à nous de Téquation différentielle des lignes de courbure
CCS formules des relations
\-^iY r.— c -xZ, ^(X — tV) vr Z — r,
qui contiennent seulement les coordonnées des points correspondants.
APPLICATIONS DIVERSES. 25l
n'est que la traduction analytique d'une proposition géométrique importante, mais très connue.
170. Le déplacement le plus général de la surface proposée se traduirait par une substitution linéaire quelconque effectuée sur a et sur ^. Cela nous conduit à la proposition générale suivante que l'on vérifiera sans difficulté :
L'équation différentielle (i) conserve encore sa forme si l'on substitue à a, p, Ç les variables a', P', Ç' définies par Vune ou Vautre des substitutions
(3) «=èï^' ?^-Sî|^;' ?' = n5(Ca'-HD)(C.P'-^D,), <<) »=Èf^' ^^cJSt^' r = HÇ(Cp'-^D)(C.a' + D.), ow A, A,, . . . , H désignent des constantes quelconques.
Par conséquent les formules (3) ou (4) font connaître une transformation de surfaces qui conserve les lignes de courbure. Nous laisserons au lecteur le soin de démontrer que cette transformation, quand elle est réelle, peut toujours être obtenue par l'emploi combiné d'un déplacement, d'une transformation homothétique et de la suivante qui, au premier abord, pourrait paraître trop particulière.
k désignant une constante quelconque, prenons
f — a: ^ ^ i-hA
Ces formules font correspondre au plan (P) défini par l'équation un autre plan (P') ayant pour équation
Nous voyons déjà que deux plans correspondants se coupent dans un plan fixe, le plan des ar/.. Voici comment on achèvera de définir la transformation.
'àST, LIVRE II. ~ GHAP. VIII.
Associons au plan (P) de la première figure le point m dont les coordonnées sont les cosinus directeurs de la normale au plan
I — a3 , . i-ha3 , a -h 3 c= f, c=i ^, c == ^•
Ce point se trouve sur la sphère de rayon i et, si le plan (P) enveloppe une surface (2), il est la représentation sphérique du point de contact de (P) et de (2).
Associons de même au plan (P')le point m' dont les coordonnées sont
a'— fi' ' * a'-^' ' a'-?''
et dont la relation à (P') est la même que celle de m à (P). Les formules (5) expriment, on le vérifie sans difficulté, que les points m, m' sont en ligne droite avec un point fixe situé à la distance A* sur Taxe des ;;. De là résulte la définition géométrique complète de la transformation.
Soient (S), (S') deux sur/aces correspondantes. Les plans tangents aux points correspondants se coupent dans un plan fixe (U). Les images sphériques des points correspondants sur la sphère de rayon i, placée d'une manière quelconque dans l'espace, sont inverses l'une de l'autre par rapport à un point fixe A, situé sur le diamètre de la sphère qui est perpendicula ire au p lan ( Il ) .
Cette proposition permet évidemment de construire les plans tangents de (S') quand on connaît ceux de (S). En ce qui concerne les points de contact, nous ajouterons la remarque suivante que l'on pourra vérifier, mais qui résultera aussi des propositions établies plus lo'in :
La droite qui joint les deux points de contact correspondants est parallèle à celle qui relie les images sphériques de ces deux points.
Les relations que nous venons d'indiquer entre les éléments correspondants sont évidemment réciproques et, par conséquent, la transformation est involutive. Cette propriété la rapproche de
rinversîon ; M. Laguerre, qui Ta étudiée d'une manière détaillée, lui a donné, pour cette raison, le nom de transformation par directions réciproques (*) que nous adopterons dans la suite. Mais la construction précédente donne lieu à une autre remarque essentielle; la transformation n'est pas univoque et elle fait, en général, correspondre à une surface (2) deux surfaces (S'), ou plutôt deux nappes différentes d'une môme surface. En effet, si Ton considère une région de la surface (S) pour laquelle le sens de la normale soit parfaitement défini, chaque point de cette région aura une représentation sphérique, complètement déterminée par le sens de la normale; et la construction indiquée plus haut fera connaître, sans ambiguïté, le plan, tangent de la surface correspondante; mais celle construction donnera évidemment des éléments différents si Ton change le sens de la normale en tous les points de (2). C'est ce que démontrent, du reste, les formules suivantes, équivalentes aux relations (5).
Soient
ux -^- vy -h ivz -\- p — o,
u'jr -h v'y -^ w' z -~- p' = o
les équations de deux plans correspondants; désignons, pour abréger, par h et par h' les radicaux
Si nous posons
// = ! — ap, i; = e(i -t- a 8), tr = a -r- p, /> = $, A = a — ji, //'=!- a' P', v' = iU-^7l^'), (v' = a' -+-?', />' = £', A' = a'-3'
les formules (5) nous donneront
u' = M, ir' -.- h' :- - —f ( «' /i),
La présence du radical h montre bien qu'à un plan donné
(V) Lagcerre, Sur la transformation par directions réciproques {Comptes rendus j t. XCII, p. 71 ; 1881).
correspondent deux plans différents, qu'il sera impossible de séparer analytiquement tant que la variable h ne sera pas un carré parfait.
171. Puisque la transformation précédente conserve les lignes de courbure, elle fera correspondre nécessairement une sphère à une sphère. On vérifie celte proposition de la manière suivante.
L'équation tangenticlle d'une sphère dont le rayon estR et dont le centre a pour coordonnées x^ y, z est
(7) ux -^ vy -^ Kvz -r- p =^ Kh,
h ayant la signification déjà donnée; car cette équation exprime que la distance du centre au plan tangent est constante. Pour obtenir la surface correspondante, effectuons la substitution définie par les formules (6). Nous obtiendrons l'équation
2 L I — a: iH- a- J
ou, en ordonnant et effaçant les accents,
Cette équation, de même forme que l'équation (7), représente une sphère dont le centre (x', y, z') et le rayon R' sont définis par les formules
, ,i-{-k* 2kK
, ,,, ikz i-+-X:*r>
qui donnent aussi
el, par conséquent,
yi H-y î ^ ^'1 — R'i = ar* -\-y^ -h >5* — R»,
Il suit de là qu'à une sphère (S) de la première figure, représentée par l'équation ponctuelle
X«-h Y*-4- Z»— ?arX — aj' Y — 25 Z -h x^H- y» + z»— R* = o, correspond une sphère (S') de la seconde, ayant pour équation
Xl^Y^4-Z^--2:rX~a7Y-2 r^^^^iy^^^^^
On voit que les deux sphères (S) et (S') coupent le plan des xv^ c'est-à-dire le plan (H) de la transformation, suivant un même cercle.
Appelons V, V les angles, définis par les formules
cosV — x^ y COS V = ^, )
l\ SX
que font les deux sphères avec le plan (II). Les formules (9) nous donnent entre ces angles la relation
1 -h cosV / I -i- ^'\* i — cosV I — cosV'~~\i — kj i-+-cosV'
que l'on peut ramener à la forme simple (10) tancr — tang — = j-«
Supposons que l'un des deux angles soit constant, il en sera de même de l'autre^ de là résulte un moyen nouveau de déterminer la surface (2') correspondante à une surface (2) : On construira les sphères (S) tangentes à (2) et coupant le plan (H) sous un angle constant ol. Par l'intersection de chaque sphère (S) et du plan (n) on Jera passer une sphère (S') coupant (II) sous un angle donné p. L* enveloppe des sphères (S') donnera la surface (S') correspondante à (S).
Une sphère de rayon nul doit être considérée comme coupant un plan ou une sphère quelconque sous un angle infini. La construction précédente contient donc la suivante comme cas particulier :
On construira les sphères (S) tangentes à (S) et coupant le
plan (II) sous un angle constant ol^ (*). Les sphères de rayon nul passant par l'intersection de chaque sphère (S) et du plan (II) décriront une sur/ace (S') correspondante à (S) avec conservation des lignes de courbure.
Bien antérieurement aux études récentes sur les transformations qui conservent les lignes de courbure, et à une époque où Ton ne connaissait, parmi ces transformations, que l'inversion et la dilatation par laquelle on passe d'une surface à la surface parallèle, M. O. Bonnet avait fait connaître une transformation qui est comprise dans la précédente et qui correspond au cas particulier où Tangle ai est droit (^).
Mais on peut, si l'on emploie les sphères, obtenir une construction géométrique encore plus simple de la transformation. Les formules (9) nous montrent en effet qu'une sphère coïncidera avec sa transformée, toutes les fois que l'on aura
ou
du
Daprès cela, si Von considère toutes les sphères (S) tangentes à une surface (S) <?/ coupant le plan (II) sous un angle con-
stant, de cosinus égal à j^ elles envelopperont, en même temps
que (2), la surface (S') homologue de (S) dans la transformation considérée {^).
(') Pour oblenir l'angle a,, il suffit de faire, dans la formule (10), tang — zr-hi.
On a ainsi
tang -1 1- -+-. I ~
( ») 0. Bonnet, Note sur un genre particulier de sur/aces réciproques {Comptes rendus, t. XLII, p. /|85; i8j6).
(*) Si la constante A- est plus petite que l'unité, les sphères (S) ne coupent pas le
plan (II); mais le rapport ^ est toujours constant. C'est dans cette hypothèse
qu'est tracée \di fig. 12.
172. La dernière proposition que nous venons d'énoncer permet de donner une définition géométrique simple de la transformation plus générale que l'on obtient si Ton soumet une figure et sa transformée à une même inversion. A toutes les sphères qui coupaient le plan (II) sous un angle constant, Tinvcrsion fait en effet correspondre des sphères ou des plans coupant une sphère fixe (S) sous un angle égal et constant. Ainsi :
Si l'on construit toutes les sphères tangentes à une sur/ace (A) et coupant une sphère fixe (S) sous un angle constant, elles envelopperont, en même temps que (A), une surface {S!) qui correspondra « (A) avec conservation des lignes de courbure.
Si la sphère (S) se réduit à un plan (II), on retrouve la transformation par directions réciproques.
Il ne sera pas inutile de démontrer la proposition précédente d'une manière tout à fait élémentaire. Nous examinerons en premier lieu le cas où l'angle constant est droit.
Considérons toutes les sphères (U), qui ont leur centre sur une surface (S) et qui coupent à angle droit une sphère (S) de rayon R. Le centre O de (S) ayant la puissance constante R^ par rapport à toutes les sphères (U), les axes radicaux de trois sphères quelconques (U), et par suite la corde de contact de chaque sphère avec son enveloppe, viendront passer par le point O. De là résulte la construction suivante de l'enveloppe :
Les deux points de contact de la sphère {\]) de centre M avec son enveloppe se trouvent à V intersection de cette sphère et de la perpendiculaire abaissée du centre O de (S) sur le plan tangent en M à la sur/ace lieu des centres (E).
Soient [x, [jl' ces deux points placés symétriquement par rapport au plan tangent de (S). On aura évidemment
O {JL. O |x' = R«,
R désignant le rayon de (S), et, par conséquent, les deux nappes de l'enveloppe seront inverses l'une de l'autre par rapport au point O.
a58 LIVRE II. — CHAP. VIII.
M. Moutard a donné le nom à! anallagmatiques ( * ) aux surfaces qui ne changent pas quand on les soumet à une inversion déterminée. Les deux nappes de l'enveloppe précédente constituent donc une surface qui est anallagmatique par rapport au pôle O, et, réciproquement, il serait aisé de le montrer, toute surface anallagmatique peut être obtenue par la génération précédente. D'ailleurs, comme les deux nappes de l'enveloppe sont inverses l'une de l'autre, les lignes de courbure tracées sur ces deux nappes se correspondent une à une.
Etudions maintenant le cas général où les sphères variables (U) coupent la sphère fixe (S) sous un angle constant qui n'est pas droit. Nous commencerons par établir le lemme suivant :
Si des sphères variables (U) coupent une sphère fixe (S) sous un angle constant, différent de zéro et de tZj on peut toujours, en ajoutant une constante à tous leurs rayons, les transformer en des sphères (U') qui coupent à angle droit une sphère fixe (S') concentrique à (S).
Soient, en effet, p et R les rayons des sphères (U) et (S); d la
distance de leurs centres ; a l'angle constant sous lequel elles se
coupent; on aura
d^=z pî -I- R2 — 2 p R cos a,
ou encore
d^ =(p — Rcosa)«-+- R»sin2a.
Par suite, si Ton ajoute la quantité constante — Rcosa au rayon p de (U), ce qui donnera une sphère concentrique (U'), celte sphère (U') coupera à angle droit la sphère fixe (S') concentrique à (S) et de rayon R sina.
Ce lemme étant établi, si nous envisageons toutes les sphères (U) qui dépendent de deux paramètres et coupent (S) sous un angle donné, elles envelopperont une surface à deux nappes (A),
(*) Moutard, Note sur la transformation par rayons vecteurs réciproques {Nouvelles Annales de Mathématiques, 2" série, t. III, p. 3o6; 1864 ).
Sur les surfaces anallagmatiques du quatrième ordre ( même Recueil, t. III, p. 536; 186.4 ).
Lignes de courbure d'une clause de surfaces du quatrième ordre {Comptes rendus, t. LIX, p. 243; 1864 ).
APPLICATIONS DIVERSES. sSg
(A'). Les sphères concenlriques (U'), qui coupent à angle droit la sphère (S'), envelopperont une surface à deux nappes (B), (B') respectivement parallèles à (A), (A'); et, comme les lignes de courbure se correspondent sur les deux nappes (B), (B'), qui sont inverses l'une de l'autre par rapport au centre commun des sphères fixes (S), (S'), il en sera de même en ce qui concerne les deux nappes (A) et (A'). La proposition que nous avions en vue se trouve ainsi établie dans toute sa généralité.
Soumettons la figure précédente à une inversion dont le pôle soit sur la sphère (S). Cette sphère se transformera en un plan (n); les deux nappes (A), (A') se transformeront en deux nappes ((j), (C), qui seront l'enveloppe commune d'une famille de sphères (Uî') transformées des sphères (U) et coupant par conséquent le plan (n) sous un angle constant. En d'autres termes, les nappes (C) et (C) se déduiront l'une de Tautre au moyen de la transfor mation par directions réciproques la plus générale. Or on peut passer de (C) à (C) en efiectuant les transformations suivantes : I" une inversion qui transforme (C) en (A); a" une dilatation qui transforme (A) en (B); 3® une inversion qui transforme (B) en (B'); 4° une dilatation qui transforme (B') en (A'); 5" une inversion finale qui transforme (A') en (C). Ce résultat est conforme à une proposition générale de M. Lie (*) d'après laquelle toutes les
(») Dans le Mémoire déjà cité, inséré au t. V des Alatliematische Annalen, M. Lie a fait connaître toutes les transformations de contact qui conservent les lignes de courbure; il a même signalé (p. i86) le cas particulier de la transformation par directions réciproques; mais cette transformation avait été déjà donnée dans différents travaux de M. Ribaucour. Voir, en particulier, Ribaccour, .\ote sur la déformation des surfaces {Comptes rendus, t. LXX, p. 332; 1870).
Sous une forme différente, elle a été l'objet des études de l'auteur publiées dans les Noies V et ÏX du Mémoire sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algébriques, 1873.
Les transformations générales considérées par M. Lie dans son Mémoire peuvent être défmies d'une manière élégante si l'on emploie les six coordonnées de la sphère reliées par l'équation
mj = o
et définies au n" 15G. Il suffit, pour les obtenir, de faire correspondre à une sphère de coordonnées m^ la nouvelle sphère dont les coordonnées mJ- se déduisent des précédentes par une substitution linéaire orthogonale à coefficients constants.
transformations de contact qui conservent les lignes de courbure se ramènent à des inversions et à des dilatations.
173. Revenons aux résultats que nous avons obtenus relativement à deux sphères qui se correspondent dans la transformation par directions réciproques. Ils vont nous permettre de compléter les constructions précédentes et de faire connaître de nouvelles relations entre les éléments correspondants.
Fig. la.
Considérons dans la première figure une surface (S) et prenons pour plan du tableau ^g* 12) le plan mené par un point quelconque M de cette surface perpendiculaire à la fois au plan (II) de la transformation et au plan tangent en M à (S). Soit MC la trace de ce dernier plan ; si nous construisons la sphère (U ) tangente en M à (S) et coupant le plan (II) sous un angle constant dont le cosinus
soit -Ti nous savons qu'elle enveloppe, en même temps que (S),
la surface (S') qui correspond à (S). Soit M' le point de contact avec (S'); le plan tangent en M' à (S') et le plan tangent en M à (S) devant couper le plan (II) suivant la même droite, le point M' sera dans le plan du tableau et on l'obtiendra en menant du point C, où la droite MC rencontre le plan (II), la seconde tangente au cercle suivant lequel la sphère (U) coupe le plan du tableau. U suit de là que le cercle décrit du point C comme
APPLICATIONS DIVERSES. a6l
centre avec CM pour rayon passera par le point M' et coupera normalement les surfaces (S), (S') en M et en M'. Ainsi, si l'on construit tous les cercles normaux à la fois à (S) et au plan (n), la sur/ace (S') coupera tous ces cercles à angle droit.
D'ailleurs, comme les deux plans tangents CM, CM' se correspondent dans la transformation, on pourra leur appliquer la formule (lo) établie pour deux sphères correspondantes quelconques et, si l'on désigne par V, V les angles de ces deux plans avec le
plan (n), on aura
V Y I — ^ tang-tang- = ^-^.
Si Ton tient compte du sens des normales aux deux plans, on aura
et, par conséquent,
îvrcà
Â-4-1 MCS
tang = -, tang
Cette cquati(m qui définit le point M', quand on connaît le point M, exprime que le rapport anharmonique formé sur le cercle par les quatre points M', M, S, S' est constant et égal à
, • On obtient donc le théorème suivant, qui est dû à M. Ri-
baucour et qui est compris comme cas particulier dans une proposition générale sur laquelle nous aurons à revenir :
Etant donnée une surface (2), on construit tous les cercles normaux à la fois à la surface et à un plan fixe (II). Ces cercles sont normaux à une famille de surfaces (S') qui sont définies de la manière suivante : Pour chacune d'elles, le rapport anharmonique du point où elle coupe chaque cercle normal à (S) et des trois autres points où ce même cercle est coupé par (S) et par (II) est un nombre constant. Les surfaces (S') sont celles qui dérivent de (S) dans les différentes transformations par directions réciproques qui admettent le même plan (U).
On peut signaler encore d'autres relations géométriques. Si, du
■i6a LIVRE II. — CHAP. VIII.
rentre P de la sphère qui enveloppe à la fois (S) et (2') on abaisse une perpendiculaire PR sur le plan (II), elle coupe le cercle en un |)oint Q qui décrit une surface normale au cercle, comme il est aisé de le démontrer. En effet, la tangente en Q et la ligne MM' coupant l'axe SS' en un même point H, on a, en vertu d'une proposition de Géométrie élémentaire,
.QCS ÎVÎCS^ M'GS
ou, on tenant compte de la formule donnée plus haut.
QCS , /A-i-i MCS tang-^ = ^,^-^tang^-;
lo rapport anharmonique des points Q, M, S, S' étant constant on \erlu do cotte équation, la surface décrite parle point Q est luon normale au cercle et elle correspond à {^) avec conser\'ation dos U:rnos do courbure. On a d'ailleurs
MV = MQ X MQ' = PR — RQ ou, on remarquant que MP, PR sont liés par l'équation (i i K
RQ = PR I I - X«;
on obtiendra donc la surface lieu du point Q, en réduisant dans le
rapport do y I — k^ à i les ordonnées perpendiculaires au plan (11^ do la ^urtaoo Hou du point P, De là le théorème solvant :
^/ /'on cùnsiJrrc /om/«c les sphères \ll) dont les centres décrù^nt une surùice ^S^ et qui coupent un plan \U ^ sous un
4Wi^le CK^nstiint. de cosimis efiil à j- elles enceloppent un^e sur-
M^v *) de7*jr niippes ,1! , i r ^ dont les lifnes de courhure correspondent point pttr point ti celJes de Iti surface «S"» obtenue en rt^di^ùi4%r,:^ d^rns le riipport de \ i — i^ à i. les ordonnées d^ >' pe'^per,dicuJ4a;res tiu pl^n U\
>K par ç v^jftj-Jo, U i^uTfacc .^S tsi du Sicrond dcCTÔ, co liéorême pcrmrîtra ào doK^imincr innnédialcmcnt Icj^ Lctcs de courbure
des deux nappes (S), (S'); elles correspondront, en effet, aux lignes de courbure de la surface (S') qui sera ici du second degré.
17t. Nous allons maintenant chercher ce que deviennent les formules relatives à la transformation par rayons vecteurs réciproques, quand on emploie le système de coordonnées (a, jâ, Ç).
Soient
les formules de la transformation. Au plan (12) wX -f- i^Y -}- wZ -^/? = o
correspondra la sphère
ux -^ vy -^-Kvz -\' y^(^*-+-^'-'-'S') = o.
Cherchons Téquation tangentielle de cette sphère, c'est-à-dire la condition pour que le plan
lui soit tangent^ l'application des méthodes élémentaires nous conduit à l'équation cherchée
2pp
~ -h uu' -+- Vi>' -h ww' zh ^U^-i- i^^-r- iV* /a'* H- v'^-r tv'* = o.
Introduisons les coordonnées Ç, a, ji à la place de u, Vy (P, p et Ç', a', P' à la place de u\ i^', w' , p\ L'équation précédente prendra la forme
En prenant successivement le signe H- et le signe -^y nous aurons les deux équations
qui réalisent, en quelque sorte, le dédoublement de l'inversion.
Ces formules se ramènent Tune à Taulre quand on échange a et ^ : et cet échange ne modifie en rien Féquation d*un plan dans le système (a, p, ^); nous pourrons donc nous borner à considérer une seule des deux équations. Nous choisirons la formule (i3).
Quand le plan défini par l'équation (12) enveloppe une surface ( S), Ç est une fonction donnée de a et de ^, et la sphère définie par l'équation (i3) en a', P', ^ enveloppe la surface (2') correspondante à (2). Pour avoir le point ou plutôt le plan de contact de cetle sphère avec son enveloppe, il faut appliquer les principes généraux de la théorie des enveloppes et joindre à Téquation (i3) ses deux dérivées par rapport à a et à ^, ^ étant considérée comme une fonction de a et de p. En appelant/? et q les dérivées premières de Ç, on trouve ainsi le système
qui détermine a', p', Ç' en fonction de a et de p.
Si Ton différentie maintenant la première équation (i5), en tenant compte des deux autres, on trouve
On aura donc, en désignant par />', q' les dérivées de Ç' par rapport à a', p',
Les formules (i5), (16) définissent toutes les relations entre les éléments correspondants des deux surfaces. Elles fournissent le tableau suivant :
d'où Ton déduit, par un calcul facile,
dp' d%' — dq' d'^'=— — {dpd^- dq rfp ).
Cette équation établit de nouveau que Tinversion conserve les lignes de courbure.
Il importe d'établir nettement ce qui distingue, au point de vue géométrique, les formules (i3) et (i4)« Quand on échange a et ^ l'équation du plan tangent ne change pas et, par conséquent, on a toujours la même surface ; mais le sens positif de chaque normale est évidemment changé. Cela résulte des expressions
I — aS , . I -4- aS ^ a -h a
des cosinus directeurs de la normale. Par conséquent, les formules (i3) ou (i4)i quî se déduisent l'une de l'autre par l'échange de a et de p, font bien correspondre à une surface (S) la même surface (S'); mais à un sens déterminé d'une normale à la surface (S) correspondront des sens opposés de la normale à la surface (2') suivant qu'on adoptera la formule (i3) ou (i4)- Pour caractériser au point de vue géométrique chacune de ces formules, il suffira donc de donner la relation entre les sens positifs des deux normales, qui correspond par exemple à la formule (i3). Pour cela considérons deux surfaces homologues (S), (S'), et deux points correspondants M, M', sur ces deux surfaces. A un point de (S) décrivant une courbe infiniment petite autour de M dans un sens déterminé correspondra un point de (S') tournant également dans un sens déterminé autour de M'; attribuons aux deux normales un sens tel que les deux courbes paraissent être parcourues en sens contraire autour de leurs normales respectives; on aura ainsi la correspondance entre le sens des normales, définie par la formule (i3) et par celles que nous en avons déduites.
Pour le démontrer, il suffit de considérer la sphère (S) de rayon R ayant pour centre l'origine des coordonnées et dont l'équation est
Les formules (17) nous donnent pour la sphère correspondante
1l6G LIVRE II. — CHAP. VIII. — APPLICATIONS DIVERSES.
Les deux premières formules montrent que le sens positif de la normale se trouve changé et la proposition précédente se vérifie dans ce cas particulier. Cela sufGt; car, si Ton déforme progressivement la sphère (S) de manière à Tamener à coïncider avec une surface quelconque (S), la proposition établie pour la sphère (S) doit nécessairement se conserver, en vertu de la continuité, pour la surface (S).
