A ~ B ^ . ., 4AB
En substituant â 2 et â ^ les variables
*» - J i ' ^' -J ÎB '
on aura
«17» ds'=i\i — Bi>*</zi €/3|.
(^tte forme a été obtenue par M. O. Bonnet et par Bour. Si Ton emploie la forme
pour l'élément linéaire de la sphère, on sera conduit de même à Texpresslon suivante de Télément linéaire de la surface minima
(18 ; ds*' = (i-^ A, B, ;* €/ai €/3i,
qui est due à M. Lie.
209. Nous terminerons ce Chapitre en signalant d^autres tracés géographiques de la surface sur lesquels BJemann et M. Beltrami ( <) ont appelé Tattention.
(') RiEMAXN (B.)> Ueber die Flache vom kleintten InhcUt bei gegebener Btgrenzung (Œuvres complètes f p. 283).
Bkltrami (E.)» Sulle propriété generali délie superficie d'area minima {Mémoires de l'Académie des Sciences de Bologne, 2* série, t. VU, 1868).
Ils reposent sur la propriété suivante : Les sections de toute surface minima par une série de plans parallèles constituent une famille de courbes isothermes de la surface.
Employons, par exemple, les formules de M. Weierstrass. Toute fonction linéaire des coordonnées x^ y^ z d'un point de la surface sera de la forme
ax -\-by -\- cz = *(w)-h *i(W|).
Par conséquent, les sections de la surface par les plans parallèles»
ax -\-by -^ cz =^ const.
constituent une des deux familles du système défîni par les équations
4>(m)-^4>i(wi)= const.,
4>( w) — 4>i ( Wj ) = const. ,
système qui est à la fois isotherme et orthogonal. Si Ton oriente la surface de manière que les plans sécants soient horizontaux, les trajectoires orthogonales deviennent les lignes de plus grande pente de la surface.
Il résulte des remarques développées au Chapitre II que Ton peut, si la surface est donnée, obtenir par des difflérentiations et des éliminations les fonctions ^(w), <><(£/<). On pourra donc toujours déterminer sans aucune quadrature les lignes de plus grande pente de toute surface minima donnée.
Si Ton fait correspondre au point (w, Wj) de la surface le point d'un plan dont les coordonnées rectangulaires x^^y^ sont données parles relations
on aura les tracés géographiques dont nous voulions parler, et pour lesquels une série de sections parallèles de la surface est représentée, sur la carte, par les droites parallèles à l'axe des y^ tandis que les droites parallèles à l'axe des x représentent les lignes de plus grande pente de la surface.
Il existe évidemment une infinité de tracés géographiques de ce genre, puisque l'on peut choisir arbitrairement la direction des sections parallèles.
3a2 LIVRE III. — CHAP. V.
